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Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12

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donc par somme 12 + 31 ≡ 7

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Chapitre1 :multiples,division euclidienne,congruence3novembre2014

Contrôle de mathématiques

Mardi 04 novembre 2014

Exercice1

Multiples(4 points)

1) Déterminer les 18 diviseurs positifs de 700. On les classera par ordre croissant.

2)detnsont des entiers naturels,d?0.

a) Démontrer que siddivise 9n+2 et 7n-3, alorsddivise 41. On citera le théorème utilisé. b) Quelles sont les valeurs possibles pourd.

3) Déterminer les entiers naturelsntel quen+4 divise 3n+22

Exercice2

Division euclidienne(2 points)

On divise un entier naturelnpar 152, puis par 147. Les quotients sont égaux et les restes respectifs sont 13 et 98.

Quel est cet entier natureln?

Exercice3

Congruence(2 points)

1) Donner suivant les valeurs de l'entier natureln, les restes de la division euclidienne de

2 npar 5. (On pourra éventuellement donner le résultat par un tableau).

2) En déduire alors le reste de la division euclidienne par 5 de 20122015.

Exercice4

ROC(4 points)

1) Citerlethéorèmedelacompatibilitédelacongruenceavecl'addition,lamultiplication

et la puissance.

2)Pré-requis :a≡b(modn)?a-b≡0 (modn)

Soita,b,cetdquatre relatifs tels que :a≡b(modn) etc≡d(modn).

Montrer que :a+c≡b+d(modn)

3)Application :Montrer que 44≡3 (mod 11) puis en déduire que :

?n?N,44n+2-3n+3est divisible par 11

Exercice5

Date d'anniversaire(5 points)

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissancejle rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissancem, le rang du mois dans l'année.

PaulMilan1 TerminaleSsp´e

contrˆole de math´ematiques Par exemple, pour une personne née le 14 mai, alorsj=14 etm=5.

Partie A

de calcul (A) suivant : " Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire ». Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : " Votre anni- versaire tombe le 1 eraoût!».

1) Vérifier que pour une personne née le 1

eraoût, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 308.

2) a) Pour un spectateur donné, on notezle résultat obtenu en appliquant le programme

de calcul (A). Exprimerzen fonction dejet demet démontrer quez≡m(mod 12). b) Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateurayant obtenu le nombre

455 en appliquant le programme de calcul (A).

Partie B

Lors d'une autre représentation, le magi-

cien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance estjet le numéro du mois de naissance estm, le magicien de- mande de calculer le nombrezdéfini par z=12j+31m.

On considère l'algorithme ci-contre :

Variables:j,mentiers

Traitement

pourmde 1 à ...faire pourjde 1 à ...faire

12j+31m→z

si... ...alors

Afficherj,m

fin fin fin

1) Compléter cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs dejet demtelles que :

12j+31m=503

2) Quel est alors la date d'anniversaire correspondante?

Exercice6

Pièces d'un puzzle(3 points)

En rangeant lesnpièces de son puzzle, Raja constate que : •si elle les range par groupe de 5, il lui reste 3 pièces; •si elle les range par groupe de 7, il lui reste 2 pièces; •si elle les range par groupe de 9, il lui reste 1 pièces; •et si elle les range par groupe de 11, il ne lui reste plus de pièce. Sa mère affirme qu'alors 2n-11 est divisible par 5, 7, 9 et 11.

1) A-t-elle raison?

2) Combien ce puzzle contient de pièces sachant que ce nombre est inférieur à 2000?

PaulMilan2 TerminaleSsp´e

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