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Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) = x→0 n ∑ k=0 f(k) (0)

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Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2 2/" (0) +

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Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 Développements en série entière usuels e ax = ∞ ∑ n=0 an n xn a ∈ C , x ∈ R sh x = ∞ ∑ n=0 1

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Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 2+ ··· + xn au voisinage de 0, on dit que (2) est un D L (développement limité) `a l'ordre n de f en x0

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I A Définitions usuelles Définition 1 Soit f : I → R une fonction 1 On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 (noté DLn(0)) si f

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Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 2+ ··· + xn n + O(xn+1) sh x = x + x3 3+ ··· + x2n+1 (2n + 1) + O(x2n+3) ch x = 1+ x2 2 + x4 4+ ··· +

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La fonction ln(x) n'admet pas de DL en 0, car lim x→0 ln(x) = −∞ (4) Si f admet un définie par g(h) = f(x0 + h) admet un développement limité à l'ordre n en 0

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I Obtenus par les formules de Taylor Tableau des développements limités usuels en 0, `a l'ordre n ou préciser par la puissance dans le o ex = n ∑ k=0 1 k

Développements limités usuels

Les développements limités ci-dessous sont valables quandx tend vers 0et uniquement dans ce cas.

Formule deTaylor-Youngen0.f(x) =x→0n

k=0f (k)(0) k!xk+o(xn). ex=x→01+x+x22+...+xnn!+o(xn) =x→0n k=0x kk!+o(xn) chx=x→01+x2

2+...+x2n(2n)!+o(x2n) =x→0n

k=0x

2k(2k)!+o(x2n) (et mêmeo(x2n+1)et mêmeO(x2n+2))

shx=x→0x+x3

6+...+x2n+1(2n+1)!+o(x2n+1) =x→0n

k=0x

2k+1(2k+1)!+o(x2n+1) (et mêmeo(x2n+2)ouO(x2n+3))

cosx=x→01-x2

2+...+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n) =x→0n

k=0(-1)kx2k(2k)!+o(x2n) (et mêmeo(x2n+1)ouO(x2n+2)) sinx=x→0x-x3

6+...+ (-1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+1) =x→0n

k=0(-1)kx2k+1(2k+1)!+o(x2n+1) (et mêmeo(x2n+2)ouO(x2n+3)) tanx=x→0x+x3

3+2x515+17x7315+o(x7)

1-x=x→01+x+x2+...+xn+o(xn) =x→0n

k=0x k+o(xn) 1

1+x=x→01-x+x2+...+ (-1)nxn+o(xn) =x→0n

k=0(-1)kxk+o(xn) ln(1+x) =x→0x-x2

2+...+ (-1)n-1xnn+o(xn) =x→0n

k=1(-1)k-1xkk+o(xn) ln(1-x) =x→0-x-x2

2+...-xnn+o(xn) =x→0-n?

k=1x kk+o(xn)

Arctanx=x→0x-x3

3+...+ (-1)nx2n+12n+1+o(x2n+1) =x→0n

k=0(-1)kx2k+12k+1+o(x2n+1) (et mêmeo(x2n+2)ouO(x2n+3))

Argthx=x→0x+x3

3+...+x2n+12n+1+o(x2n+1) =x→0n

k=0x

2k+12k+1+o(x2n+1) (et mêmeo(x2n+2)ouO(x2n+3))

(1+x)α=x→01+αx+α(α-1)2x2+...+α(α-1)...(α- (n-1))n!xn+o(xn) (αréel donné)

x→0n k=0? k? x k+o(xn) 1 (1-x)2=x→01+2x+3x2+...(n+1)xn+o(xn) On obtient un développement de Arcsinx(resp. argshx) en intégrant un développement de1 ⎷1-x2= (1-x2)-1/2(resp. 1 ⎷1+x2= (1+x2)-1/2). c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.frquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

[PDF] [PDF] Développements limités usuels

Développements limités usuels

Formule deTaylor-Youngen0.f(x) =x→0n

2+...+x2n(2n)!+o(x2n) =x→0n

2k(2k)!+o(x2n) (et mêmeo(x2n+1)et mêmeO(x2n+2))

6+...+x2n+1(2n+1)!+o(x2n+1) =x→0n

2k+1(2k+1)!+o(x2n+1) (et mêmeo(x2n+2)ouO(x2n+3))

2+...+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n) =x→0n

6+...+ (-1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+1) =x→0n

3+2x515+17x7315+o(x7)

1-x=x→01+x+x2+...+xn+o(xn) =x→0n

1+x=x→01-x+x2+...+ (-1)nxn+o(xn) =x→0n

2+...+ (-1)n-1xnn+o(xn) =x→0n

2+...-xnn+o(xn) =x→0-n?

Arctanx=x→0x-x3

3+...+ (-1)nx2n+12n+1+o(x2n+1) =x→0n

Argthx=x→0x+x3

3+...+x2n+12n+1+o(x2n+1) =x→0n

2k+12k+1+o(x2n+1) (et mêmeo(x2n+2)ouO(x2n+3))