[PDF] [PDF] Un outil local : les développements limités I - Généralités

[PDF] Développements limités I Généralités - Classe Préparatoire aux

I Généralités 1 I D Exemples de développements limités au voisinage d'un point ou de l'infini Si la fonction f admet un développement limité d'ordre n en 0

[PDF] Chapitre 5 Développements limités

5 2 Généralités sur les développements limi- tés Définition (Développement limité d'une fonction en 0) Soit n ∈ N Soit f une fonction définie au voisinage de 0

[PDF] DEVELOPPEMENTS LIMITES

b) Concavité IV : Développements limités usuels I : Généralités 1– Définition f admet un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n si f est de la forme :

[PDF] Un outil local : les développements limités I - Généralités

Un outil local : les développements limités I - Généralités Définition 3 Soit f : I → R et x0 ∈ I On dit que f admet un développement limité à l'ordre n ∈ N (en 

[PDF] Développements limités - Mathématiques PTSI

Généralités Définitions Premi`eres propriétés La formule de Taylor-Young Intégration d'un développement limité 2 Développements limités usuels 3

[PDF] Développements limités

intégration : toute primitive de f admet un développement limité d'ordre n + 1 en 0 , dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f 8 Page 10 Maths en  

[PDF] Développements limités - Nathalie DAVAL - Free

II Dévéloppements limités II 1 Généralités Définition 1 Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R contenant 0 On dit que f admet un 

[PDF] Développements limités - Melusine

Chapitre 14 : Développements limités Analyse réelle et complexe Page 1 sur 14 Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle, et a un point de I I Généralités

[PDF] Résumé ; développements limités, équivalents - Maths-francefr

1) Définitions, généralités un = n→+∞ Plus généralement, f admet un développement limité d'ordre n en le réel x0 ⇔ il existe un polynôme P = a0 + a1X +

[PDF] Développements limités - Exo7

[PDF] Développements limités - Exo7

[PDF] Développements limités - Exo7

[PDF] Développements limités - Exo7

[PDF] Développements limités - Exo7

[PDF] Formule de Taylor, développements limités, applications

[PDF] Développements limités usuels en 0

[PDF] Formule de Taylor, développements limités, applications

[PDF] Développements limités I Généralités

[PDF] Définition du développement local - Ville de Montréal

[PDF] Les défis du développement local au Sénégal - UQAC

[PDF] Bonnes pratiques de développement local au Sénégal - PNDL

[PDF] Approche théorique du développement local durable et - UVCW

[PDF] Développement local - Ministère de l'Industrie et des Mines

[PDF] Approche intégrée de développement territorial - Europe en France

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20231

Un outil local : les développements limités

On observe avec Geogebra que lorsquengrandit la courbe de la fonction polynomiale P n(x) = 1 +x+x2

2!+x33!+...+xnn!est très proche de la courbe de exp.

Nous allons voir comment approximer localement une fonctionpar une fonction polynomiale, ce qui nous fournira un outil très efficace de calculs de limites, ou d"équivalents...

Dans tout le chapitreIdésigne un intervalle non vide et non réduit à un point etIl"intervalle

Iauquel on ajouté éventuellement ses bornes (on dit queIest l"adhérence deI).

I - Généralités

I.1 - Notion de fonction négligeable

Définition 1 (Fonction négligeable)Soitfetgdeux fonctions réelles définies surIeta? I?{±∞}. On dit quefest négligeable devantgau voisinage dea(ou quegest prépondérante devantf), signe s"annule pas au voisinage deaetlimafg= 0. On note alorsf=x→ao(g)ou f=o(g). Cela revient à dire qu"il existe une fonctionεtelle que au voisinage dea: f(x) =g(x)ε(x)et limx-aε(x) = 0.

Exemples :

• lim x→af(x) = 0??f(x) =x→ao(1) • Au voisinage de +∞,x2=o(x3) mais au voisinage de 0,x3=o(x2). • les limites de croissances comparées lim x→+∞ln xx= 0 et limx→+∞xe-x= 0, s"interprètent ainsi comme lnx=x→+∞o(x) etx=x→+∞o(ex) Proposition 2 (Une somme est équivalente à son terme prépondérant)On a f(x) =g(x) +o(g(x))??f(x)≂g(x)

Exemple : 2e

x-5x3+1x≂+∞2ex.

I.2 - Notion de développement limité

Sifest une fonction dérivable ena, alors au voisinage dea, on a f(x) =f(a) + (x-a)f?(a) +o(x-a). Cela consiste à approximerfau voisinage dea, par la fonction affinex?→f(a)+(x-a)f?(a). Nous allons généraliser ce concept en essayant d"écrire localement une fonction comme un polynôme plus un terme d"erreur "négligeable». ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20232

Définition 3Soitf:I→Reta?

I. On dit quefadmet un développement limité à l"ordre n?N(en abrégéDLn) au voisinage deas"il existe des réelsa0,...,antels que : f(x) =n k=0a k(x-a)k+o((x-a)n). Le polynômeP=?nk=0ak(X-a)kest appelé partie principale ou régulière duDLn.

Exercice 1Déterminer desDLen 0 de

x?→11-xetx?→11 +x2

I.3 - Propriétés

Proposition 4 (Condition nécessaire de DL)Sifadmet unDLena, alorsfadmet une limite finie ena.

Application : la fonctionx?→1

x2n"admet pas deDLen 0 car admet une limite infinie en 0. Proposition 5 (Unicité des coefficients et troncature)Soitfune fonction qui admet un DL nena. Alors

1. la partie régulière duDLnest unique.

2.fadmet aussi unDLppour tout entierp?n. De plus, la partie régulière duDLpest

obtenue en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal àpde la partie régulière

duDLn. Remarque : la réciproque est fausse, la fonction racine carrée admet unDL0en 0 mais n"admet pas deDL1. Proposition 6La partie régulière d"un DL en 0 d"une fonction paire (resp. impaire) ne com- porte que des puissances paires (resp. impaires).

II - Développements limités usuels en 0

Nous allons établir et retenir les DL des fonctions usuelles auvoisinage de 0. Ce sera notre voisinage favori, on pourra s"y ramener en "changeant de variable» : sixest au voisinage dea, alorsh=x-aest au voisinage de 0. On écrira alors unDLen 0 def(a+h)

Exercice 2Déterminer leDL2en 1 dex?→1

1+x.

II.1 - On peut primitiver les DL

Proposition 7 (Primitiver des DL): Soitf:I→Rune fonction dérivable eta?I. Sif? admet unDLnenaavecf?(x) =?nk=0ak(x-a)k+o((x-a)n), alorsfadmet unDLn+1en aavec f(x)-f(a) =n k=0a k k+ 1(x-a)k+1+o?(x-a)n+1?. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20233 Attention à ne pas oublier la constantef(a) lorque l"on primitive un DL.

Exercice 3Déterminer lesDLen 0 de

ln(1 +x) et arctanx.

II.2 - Cas des fonctions de classeCn

Lorsque la fonction est de classeCn, c"est-à-dire dérivablen-fois et que sa dérivéen-ième est

continue, nous serons assuré de l"existence d"unDLngrâce au théorème fondamental suivant que l"on démontre par récurrence surn: Théorème 8 (Formule de Taylor-Young): Soitf:I→Rune fonction de classeCnet a?I. Alorsfadmet unDLnen a donné par : f(x) =n k=0f (k)(a) k!(x-a)k+o((x-a)n. On obtient ainsi la plupart des développements limités usuelsena. Pour les retenir, il est utile de regarder laparitéet l"alternance de signedans la partie régulière : ex,chx,shx,cosx,sinx,(1 +x)α,⎷1 +x,1⎷1 +x.

Exercice 4Déterminer leDL3en 0 de⎷

1 +x, en déduire leDL5en 0 de arccosx.

III - Opérations sur les DL

Un des inconvénients des équivalents était que l"on ne pouvait pas en général les ajouter ou

les composer. Pour les DL, nous n"aurons plus ce souci. Voici quelques points à retenir : • Somme : sifetgadmettent unDLn, alorsf+gadmet unDLn. • Produit : sifetgadmettent unDLn, alorsf×gadmet unDLn. Pour obtenir sa partie régulière, on multiplie les parties principales defetgen ne gardant que les monômes de degré?n. Remarque : parfois pour obtenir unDLndefg, on peut utiliser desDLdefougd"ordre inférieur àn. Par exemple pour leDL4en 0 dex?→sin(x2)ln(1 +x), il suffit d"unDL3 de sin(x2) et d"unDL2de ln(1 +x). • Composition : comprendre par exemple pourquoi on obtient sans calcul leDL5(0) suivant : sin(x2) =x2+o(x5). • Quotient : dans la pratique, on utilise le DL de 1

1-xet on est ramené à un produit de

DL.

Attention, pour leDLndef

g, parfois il ne suffit pas d"avoir unDLndefet deg. En effet, par exemple si le terme de plus bas degré de la partie principale defest de 2, notre quotient se simplifie parx2, et on aura besoin deDLn+2pourfetg. Par exemple, entraînez vous auDL5en 0 de tan. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20234 Exercice 5 (Somme et produit)Déterminer lesDLsuivants en 0 :

1. sinx+ cosxà l"ordre 3 2. excosxà l"ordre 3 3. ln(1 +x)chxà l"ordre 4 4. cos2(x) à l"ordre 4

Exercice 6 (Composée et quotient)Déterminer lesDLsuivants en 0 :

1. ln(cosx) aux ordres 4, puis 6 2. exp(chx) à l"ordre 3 3. tanxà l"ordre 3 4.shx

sinxà l"ordre 4.

IV - Applications des DL

IV.1 - Calcul de limites, recherche d"équivalents Pour obtenir un équivalent, quelques réflexes • on peut faire des produits, des quotients ou des puissances d"équivalents

• une somme est équivalente à son terme prépondérant, en particulier le premier terme non

nul d"un DL donne un équivalent. Proposition 9 (Lien entre DL et équivalent)Sif(x) =n k=pa k(x-a)k+o((x-a)n)avec a p?= 0, alors f(x)≂x→x0ap(x-a)p.

Exercice 7Déterminer les limites en 0 :

1. sinx-x x3-x82.⎷

1+2x-(1+x)

x2-5x3

Exercice 8Déterminer un équivalent de :

1. ln(1 +x2)-sin2xen 0 2. 3x-2xen 0 3. ch(e-n)-cosπ

nen +∞

IV.2 - Etude de régularité

Proposition 10 (Lien entre DL et régularité)Soitf:I→Reta?I. Alors : •fadmet unDL0enassifest continue ena, et dans ce casf(x) =f(a) +o(1). •fadmet unDL1enassifest dérivable ena, et dans ce casf(x) =f(a) +f?(a)(x- a) +o(x-a).

Remarque :

• si le pointan"est pas dansImais est une borne deI, on a un énoncé similaire en remplaçantfest continue (resp. dérivable) enaparfse prolonge en une fonction continue (resp. dérivable) ena. • c"est faux à partir den= 2. La fonction serpentfdéfinie parf(x) =x3sin1 x2six?= 0 et f(0) = 0 admet unDL2mais n"est pas deux fois dérivable. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20235

IV.3 - Prolongement continue ou de classeC1

Exercice 9Démontrer que la fonctionx?→ln(1+x) xse prolonge en une fonction de classeC1 sur [0,+∞[. IV.4 - Position de la courbe par rapport à la tangente Lemme 11 (Deux quantités équivalents ont même signe local)Sif(x)≂g(x)au voi- sinage dea, alorsf(x)etg(x)sont de même signe au voisinage dea Corollaire 12 (Position d"une courbe par rapport à sa tangente)Soitf:I→Ret a?Ietp?2. Sif(x) =a0+a1(x-a) +ap(x-a)p+o(x-a)pavecap?= 0, alors l"équation de la tangente àCfenaesty=Ta(x)avecTa(x) =a0+a1(x-a). De plus la position de la courbe par rapport à la tangenteTaest donnée par le signe de f(x)-(a0+a1(x-a)) =ap(x-a)p+o(x-a)p≂ap(x-a)p. Exercice 10Soitfune fonction telle quef(x) = 3+2(x-1)+5(x-1)3+o((x-1)3). Allure locale defen 1.

Exercice 11Déterminer leDL2en 0 def(x) =x

ex-1. En déduire quefse prolonge en 0 en une fonction dérivable, préciser la position de la tangente en0 par rapport à la courbe. IV.5 - Étude des branches infinies, recherche d"asymptotes obliques et position

Exercice 12Démontrer quex?→?

x3 x-1admet en +∞une asymptote oblique d"équation y=x+1

2et que sa courbe est au-dessus de l"asymptote.

quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37