Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2 2/" (0) +
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Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) = x→0 n ∑ k=0 f(k) (0)
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Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2 2/" (0) +
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Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 Développements en série entière usuels e ax = ∞ ∑ n=0 an n xn a ∈ C , x ∈ R sh x = ∞ ∑ n=0 1
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Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 2+ ··· + xn au voisinage de 0, on dit que (2) est un D L (développement limité) `a l'ordre n de f en x0
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Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0 Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles A) Famille exponentielle
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Nous verrons que toutes les fonctions usuelles admettent un développement limité nage de 0, donc la fonction admet un développement limité, dont la partie
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I A Définitions usuelles Définition 1 Soit f : I → R une fonction 1 On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 (noté DLn(0)) si f
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Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 2+ ··· + xn n + O(xn+1) sh x = x + x3 3+ ··· + x2n+1 (2n + 1) + O(x2n+3) ch x = 1+ x2 2 + x4 4+ ··· +
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La fonction ln(x) n'admet pas de DL en 0, car lim x→0 ln(x) = −∞ (4) Si f admet un définie par g(h) = f(x0 + h) admet un développement limité à l'ordre n en 0
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I Obtenus par les formules de Taylor Tableau des développements limités usuels en 0, `a l'ordre n ou préciser par la puissance dans le o ex = n ∑ k=0 1 k
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