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c) Démontrer que les nombres a et b sont multiples de 5 si et seulement si n - 2 est multiple de 5 3 Montrer que 2n+ 1 et n sont premiers entre eux 2 On pose c

[PDF] Solution complète de lexercice B

Démontrer que les entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs u et v tels que 1 au bv + = 2 En déduire que si ( )2 2

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Les entiers suivants sont-ils premiers entre eux ? 12 et 15 ; 34 et 39 ; 78 et 126 ; 245 et 515 ; 13 et 12813 Exercice 02 (voir réponses et correction) Démontrer 

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Exercice 1 : /7 On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux On pose S = x + y et P = xy 1) a) Démontrer que x et S sont premiers 

[PDF] 1 Diviser ou être multiple dun pgcd 2 Être premiers entre eux

Ainsi, montrer qu'un entier d divise pgcd(a, b) revient à prouver qu'il divise à la fois Avec la décomposition primaire Montrer que a et b sont premiers entre eux  

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Ils sont dits premiers entre eux deux `a deux si i = j implique pgcd(ai,aj)=1 Des entiers Pour le montrer, prouvons d'abord par récurrence sur n ≥ 1 que n−1

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Énoncer puis démontrer le théorème de Gauss Voir le cours D'après le théorème de Bezout, 14k + 3 et 5k + 1 sont premier entre eux 3) Deux entiers positifs 

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Deux nombres sont donc premiers entre eux s'ils n'ont d'autres diviseurs communs Démontrer, en utilisant le théorème de Bezout, la propriété : « le PGCD de 

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nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux" 2) Soient a ≥ 2,n ≥ 1 Montrer que si an + 1 est premier alors a est pair et n est une

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Terminale S spé

Contrôle de mathématiques

Correction du Lundi 06 décembre 2010

Exercice 1

Question de cours. (2 points)

Énoncer puis démontrer le théorème de Gauss.

Voir le cours

Exercice 2

PGCD et PPCM. (4,5 points)

1) A vecl"algorithme d"Euclide, déterminer le pgcd de 2010 et 5159.

On obtient les divisions suivantes :

5159=20102+1139

2010=11391+871

1139=8711+268

871=2683+67

268=674

On en déduit que : PGCD(2010;5159)=67

2) Démontrer que pour tout entier relatif k, 14k+3 et 5k+1 sont premier entre eux.

Calculons la quantité suivante :

5(14k+3)+(14)(5k+1)=70k+1570k14=1

D"après le théorème de Bezout, 14k+3 et 5k+1 sont premier entre eux. 3) Deux entiers positifs ont pour PGCD 6 et pour PPCM 102. Déterminer ces entiers. Soitxety,xEn remplaçant, on trouve :

102=6x0y0,x0y0=17

or 17 n"a que deux diviseurs 1 et 17, doncx0=1 ety0=17 qui sont premiers entre eux. Les deux entiers sont doncx=6 ety=617=102.Paul Milan 1 sur4 10 décembre 2010 contr

ˆole de math´ematiquesTerminale S spé4)Existe-t-il des couples d"entiers ( x;y) solution de l"équation 51x+39y=1? Vous

citerez le théorème utilisé. Calculons le PGCD(51,39) par l"algorithme d"Euclide :

51=391+12

39=123+3

12=34 Donc le PGCD(51;39)=3. De plus le corollaire de Bezout nous dit que : l"équa- tionax+by=cadmet des solutions entière si et seulement sicest un multiple du PGCD(a;b). Or 1 n"est pas un multiple de 3, donc l"équation 51x+39y=1 n"admet pas de solution entière.

Exercice 3

Vrai - Faux (4 points)

Pour chacune des 4 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et don- ner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition 1: Pour tout entier naturelnnon nul,net 2n+1 sont premiers entre eux. Proposition vraie: en eet, on a (2)n+(1)(2n+1)=1, donc d"après le théorème de Bezout, les entiers naturelsnet 2n+1 sont premiers entre eux. Proposition 2: L"ensemble des couples d"entiers relatifs (x;y) solutions de l"équation

12x5y=3 est l"ensemble des couples de la forme (4+10k;9+24k) oùk2Z.

Proposition fausse: il existe des solutions de l"équation 12x5y=3 qui ne sont pas de la forme (4+10k;9+24k). Par exemple (9;21) est solution de l"équation :

129521=108105=3 et n"est pas de la forme (4+10k;9+24k).

Proposition 3: Si un entier naturelnest congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n+4 et 4n+3 est égal à 7. Proposition vraie: Soitd=PGCD(3n+4;4n+3), doncddivise 3n+4 et 4n+3 doncddivise 4(3n+4)3(4n+3)=7 De plus sin1 mod 7, d"après la compatibilité de la congruence avec l"addition et la multiplication, on a :

3n+43+4 mod 7 donc 3n+40 mod 7 et

4n+34+3 mod 7 donc 3n+40 mod 7

Les entiers 3n+4 et 4n+3 sont donc divisible par 7 et commeddivise 7, on ad=7 Proposition 4: S"il existe deux entiers relatifsuetvtel queau+bv=2 alors le PGCD deaetbest égal à 2. Proposition fausse: en eet 5 et 7 sont premiers entre eux et (1)5+(1)7=2

Exercice 4

PGCD (2,5 points)

Soitnun entier naturel non nul. On considère les nombresaetbtels que : a=2n3+5n2+4n+1 etb=2n2+n:Paul Milan 2 sur4 10 décembre 2010 contr ˆole de math´ematiquesTerminale S spé1)Montrer que 2 n+1 diviseaetb.

On obtient par factorisation :

a=(2n+1)(n+1)2etb=n(2n+1) ce qui prouve que 2n+1 diviseaetb. 2)

Montrer que le PGCD de aetbest 2n+1.

Comme 2n+1 diviseaetb, on a :

PGCD(a;b)=(2n+1)PGCD((n+1)2;n)

or 1(n+1)2+(n2)n=1, donc d"après le théorème de Bezout (n+1)2etn sont premiers entre eux et donc PGCD(a;b)=2n+1.

Exercice 5

Pompon et manège (7 points)

1) On considère l"équation ( E) : 17x24y=9 où (x;y) est un couple d"entiers relatifs. a) Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l"équation ( E). On a 179246=153144=9, donc le couple (9;6) vérifie l"équation (E). b)

Résoudre l"équation ( E).

On a :

(17x24y=9

179246=9

on déduit par diérence : 17(x9)24(y6)=0,17(x9)=24(y6) (1). Donc 24 divise 17(x9), mais étant premier avec 17, d"après le théorème de Gauss, divisex9. Il existe donck2Ztel quex9=24k

En reportant dans (1), on obtient :y6=17k.

L"ensemble des couples solutions de l"équation (E) est donc : (x=9+24k y=6+17kk2Z 2) a) Montrer que ( x;y) est solution de l"équation (E) de la question 1) Jean a eectuéytours avant d"attraper le pompon à l"instanttet le pomponxtours.

Pour le pompont=17x, et comme Jean met38

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