La somme des n premières racines par Ivan Debouzy, Jérôme Dal, élèves de TC du Lycée Pablo Neruda de Saint Martin d'Hères enseignants : MM Laurent
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Somme de deux racines carrées Un thème à dérouler sur plusieurs niveaux Richard Choulet(*) Le point de départ de cette étude est un exercice d'un livre de
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On remarque que le nombre entier à l'intérieur de la somme est constant Brouillon 1 Soit n ∈ N∗ On obtient par télescopage : Sn+1 − Sn = (n+1)2−1 ∑
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La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté x dont le carré est égal à x Ainsi, la somme de 12 et 27 est 12 27=2 3 3 3=5 3
[PDF] la somme des n premieres racines - MAThenJEANS
La somme des n premières racines par Ivan Debouzy, Jérôme Dal, élèves de TC du Lycée Pablo Neruda de Saint Martin d'Hères enseignants : MM Laurent
[PDF] Chapitre N3 : Racines carrées 49
Le nombre positif dont le carré est 36 est noté 36 et se lit « racine carrée de 36 » On a vu dans les Activité 3 : Somme de deux racines carrées Dans toute
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RACINE CARREE EXERCICES CORRIGES Les carrés parfaits : ( sauf 1 ) 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , et la racine carrée de ces carrés parfaits :
[PDF] Chapitre 1, exercice 3 1 Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle Démonstration Soit x1 un nombre irrationnel positif Montrons que sa racine carrée est
[PDF] Chapitre 7 : Racines carrées
Déterminez les entiers naturels dont la racine carrée est un entier : n n 0 1 2 3 4 5 par exemple nécessaire pour réduire une somme de termes comportant
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positifs est-elle égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres ? Justifie Q3 La racine carrée d'une somme de deux nombres positifs est-elle
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La somme des
n premières racines. par Ivan Debouzy, Jérôme Dal, élèves de TC duLycée Pablo Neruda de Saint Martin d'Hères
enseignants : MM.Laurent Delgado et Jean-Claude Oriol
chercheur : M.Charles Payan, Laboratoire deStructures Discrètes et de Didactique de Gre-
noble. [NDLR : Sujet initial du groupe : Points, droites, cercles, figures É étonnant, non ?]Nous avons cherché un encadrement de la
somme Sndes n premières racines :Nous avons obtenu :
N ous avons écrit un programme infor- matique pour calculer Sn.A l'aide du tableau des valeurs de Snainsi obte- nu (voir page suivante), nous avons cherché à partir de quelle valeur de n la somme des n premières racines était minorée par k´n , pour k = 1, 2, 3, É .On passe de n1àn3en ajoutant 18, de n3à
n5en ajoutant 2´18, de n5àn7en ajoutant3´18, de n7àn9en ajoutant 4´18. [NDLR :
On fait donc l'hypothèse suivante :] la sous-
suite (nk) de rang impair s'exprime par : ou soit, après simplification :On exprime k en fonction de nk:
On obtient :
O n démontre par récurrence que l'in-égalité
(1) est vraie pour tout n¹0. donc si on montre que alors .Après calculs :
Sn1+2+É+n=i
i=1 n n 34n+5£i
i=1 n n 3 4n+6A partir de
n1 = 1 n2= 8 n3 = 19 n4 = 35 n5 = 55 n6 = 80 n7 =109 n8 =143 n9 =181 n10=224 on aSn³ n
Sn³ 2n
Sn³ 3n
Sn³ 4n
Sn³ 5n
Sn³ 6n
Sn³ 7n
Sn³ 8n
Sn³ 9n
Sn³ 10n
n k1118218Ék-12()=+´+´++´18
nk=1+ k-1 218+(k-1)´9
2 ae nk=1+ 9 4 (k 2-1) k= 1 3 4nk+5Sn³
n 3 4n+51°/ S1 = 1 ³ 1
39 (= 1)
2°/ Sn+1 = Sn + n + 1 ³ n
34 n + 5 + n + 1
n 34 n + 5 + n + 1 ³ n + 1
34 (n+1) + 5
Sn+1 ³ n + 1
34 (n+1) + 5
n 34 n + 5 + n + 1 ³ n + 1
3 4 n+9Û - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 9 ³ 0
Si - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 5 ³ 0
alors - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 9 ³ 0. ÒMATh.en.JEANSÓ au Palais de la Découverte - 1992page 47Loi de Antoine 7
Si Xet Y sont deux nombres différents de 0
et si Y>XX(Y - X) Y__ +______ =___ =1
Y Y Y
O n compare Snà une valeur légèrement supérieure à la première borne : (choix arbiraire). [NDLR: démons- tration non fournie ici, mais juste.] (2) Exemple prouvant la très grande précision de l'encadrement :Or - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 5 ³ 0Û 64 n + 5 ³ 12 n + 1
Û 4 n + 5 ³ 4n + 4 . C.Q.F.D.
Sn £ n
34 n + 6
S100 000 » 21 082 008,4
100 000
34 ´ 100 000 + 5 » 21 081 982,83
soit une différence de » 26 ou encore une précision de 1,3 10-4%100 000
34 ´ 100 000 + 6 » 21 082 009,18 :
précision < 10-7% n : 1 : 8 : 15 : 22 :29 :
36 :
43 :
50 :
57 :
64 :
71 :
78 :
85 :
92 :
99 :
106 :
113 :
120 :
127 :
134 :
141 :
148 :
155 :
162 :
169 :
176 :
183 :
190 :
197 :
204 :
407 :
414 :
421 :
428 :
435 :
442 :
Sn 1,000