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Les nombres r´eels
MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal DELAHAYE
16 novembre 2017
1 Historique de la construction deR
C"est environ au VI`eme si`ecle avant JC que l"intuition de l"existence de nombres non rationnels apparaˆıt. Hyppase de
M´etaponte, un Pythagoricien affirme alors que⎷2 n"est pas un nombre rationnel. Cette id´ee r´evolutionnaire est alors
rejet´ee par la communaut´e de math´ematiciens et Hyppase de M´etaponte est jet´e `a la mer...
Il faut attendre 200 ans plus tard, pour qu"Euclide prouve par l"absurde qu"Hyppase de M´etaponte avait raison.
L"ensemble des nombres est d´esormais constitu´e des rationnelsQ(rapport de deux entiers) et des irrationnels (les
autres). Cet ensemble est appel´e l"ensemble des nombres r´eelsR.Cependant, il faut attendre la deuxi`eme partie du XIX`eme si`ecle pour qu"une d´efinition formelle deRsoit propos´ee.
Le math´ematicien allemand D´edekind d´efinit alors un nombre r´eelcommeun ensemble de rationnels major´e et tel
que tous ses ´el´ements soient inf´erieurs `a tous les ´el´ements de son compl´ementaire dansQ. Ces ensembles sont com-
mun´ement appel´es lescoupures de D´edekind. Ainsi par exemple,⎷2 est d´efini par l"ensemble :⎷
A la mˆeme ´epoque, une autre d´efinition deRest propos´ee par Cantor et M´eray. Pour eux,Rest l"ensemble des li-
mites des suites de Cauchy (cf le cours de Sp´e). On dit alors queRest complet (il n"y a plus de trou dans l"axe des r´eels).
structure deCORPS totalement ordonn´e(Voir le cours sur les structures alg´ebriques). Nous n"utiliserons les in´egalit´es
strictes que lorsqu"elles sont r´eellement n´ecessaires.Soitx?R.
1. Six?Qon dira que x est unrationnel
2. Six?R\Qalors on dira que x est unirrationnel.
1 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/2 Propri´et´e de la borne sup´erieure
Dans les d´efinitions suivantes, con consid`ereAune partie non vide deR. D´efinition 1 :Majorants, minorants d"une partie2. Un r´eelm?Rest unminorantde la partieAssi tout ´el´ement deAest sup´erieur `am:?x?A, x≥m
Remarque1.Existence et unicit´e?
D´efinition 2 :Parties born´ees
ou encore : D´efinition 3 :Plus grand (maximum), plus petit ´el´ement (minimum) d"unepartie S"il existe, le plus grand ´el´ement est unique et on le note a= maxA2. Un r´eelb?Rest unplus petit ´el´ementde A ssi :b?Aet?x?A, x≥b
S"il existe, le plus petit ´el´ement est unique et on le note : b= minARemarque2.
1. Le plus grand ´el´ement deAest aussi appel´e lemaximumet le plus petit ´el´ement leminimumdeA.
2. Le maximum deAest un majorant qui appartient `aAtandis que le minimum deAest ...
3. Existence et unicit´e?
D´efinition 4 :Borne sup´erieure (ou inf´erieure) d"une partie1. Si l"ensemble des majorants deAadmet un plus petit ´el´ementM, alors on dit queMest laborne
sup´erieuredeA. Dans ce cas,Mest unique et l"on noteM= supA
2. Si l"ensemble des minorants deAadmet un plus grand ´el´ementm, alors on dit quemest laborne
inf´erieuredeA. Dans ce cas,mest unique et l"on note m= infARemarque3.Existence et unicit´e?
Remarque4.
Lorsqu"il existe, le plus grand ´el´ement d"un ensemble est aussi la borne sup´erieure de l"ensemble.
En revanche, la r´eciproque est fausse :A= [0,1[. Th´eor`eme Fondamental 1 :Propri´et´e FONDAMENTALE de la borne sup´erieureSiAv´erifie???A?R
A?=∅
Preuve 1 :Cette propri´et´e fait partie des axiomes de d´efinition deR.Pour prouver que?supAexiste
A?=∅
Remarque6.Le th´eor`eme de la borne sup´erieure sera en particulier utilis´e plus tard pour :
2 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/1. d´efinir la notion d"int´egrale de Riemann.
2. d´emontrer le th´eor`eme de la limite monotone (suites et fonctions).
3. d´emontrer le th´eor`eme de convergence des suites adjacentes
4. d´emontrer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
Exercice : 1
(?) SoitAest une partie deRnon vide et born´ee telle queA=A1?A2,A1et?A2´etant ´egalement non vides.
Montrer que?infA= min(infA1,infA2)
supA= max(supA1,supA2). Proposition 2 :Existence d"un plus grand ´el´ement dans une partie deZ Toute partie non vide et major´ee deZadmet un plus grand ´el´ement. Toute partie non vide et minor´ee deZadmet un plus petit ´el´ement.Preuve 2 :Th´eor`eme admis car il d´ecoule des axiomes de construction deNqui sont hors-programme.
Remarque8.Ce th´eor`eme sert en particulier `a : prouver l"existence du PPCM et du PGCD de deux nombres entiersd´efinir la partie enti`ere d"un r´eel.
Th´eor`eme 3 :Caract´erisation de la borne sup parεSoitA?Reta?R. Alors :
?ε >0,?xε?A∩[a-ε, a] Caract´erisation parεde la borne sup´erieurePreuve 3 :
?: C"est la traduction de la d´efinition. ?: On montre facilement par l"absurde deaest le plus petit des majorants.Remarque9.Sauriez-vous ´enoncer et d´emontrer un th´eor`eme ´equivalent pour la borne inf´erieure?
Corollaire 4 :Caract´erisation s´equentielle de la borne supSoitA?Rnon vide eta?R.
a= supAssi?aest un majorant il existe une suite (xn)?ANtelle que (xn)→a. Caract´erisation s´equentielle de la borne sup´erieure 3 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 4 :On construit la suite recherch´ee en prenant pour toutn≥1,ε=1n Exemple 2.Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :1.E1={1/n|n?N?}2.E2={1/n+ (-1)n|n?N?}3.E3={x2+y2|xy= 1,(x,y)?R2}
Exercice : 2
(?) SoientA?RetB?Rdeux parties non-vides et major´ees deR.Exercice : 3
(??) SoientAetBdeux parties deRnon vides et major´ees.On note :A+B={x?Rtq?(a, b)?A×B, x=a+b}
Montrez queA+Bposs`ede une borne sup´erieure et que : sup(A+B) = supA+ supB3 Partie enti`ere d"un r´eel
Th´eor`eme 5 :D´efinition de la Partie Enti`ere d"un r´eelSoit un r´eelx?R.
nest appel´e lapartie enti`eredexet est le plus souvent not´ee :n=?x?.Exemple 3.On a :?6,34?= 6 et?-23,56?=-24
Python
>>> floor(6.34) # A importer depuis la biblioth`eque math >>> int(6.34) # uniquement pour les nombres positifsProposition 6 :Encadrements
Pour toutx?R, on a les encadrements suivants :
Preuve 6 :Imm´ediat!
Encadrements
Exercice : 4
(?) Soitx?R. Prouver que pour toutp?]1,+∞[, la suite d´efinie parun=?pnx?pnconverge versx. M´ethode :Pour calculer une partie enti`ere, on pourra :1. soit transformer la variablexsous la formex=?x?+ravecr?[0,1[ et effectuer les calculs
2. soit proc´eder `a un encadrement pr´ecis de la valeur dont on cherche la partie enti`ere.
4 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 7 :Une propri´et´e calculatoire utile :?x?R?n?Z:?x+n?=?x?+n Preuve 7 :Il suffit d"encadrerx+npar deux entiers... ou d"exprimerxsous la formex=?x?+r.Exemple 4.(?) D´eterminer le nombre de chiffres que comporte l"´ecriture d´ecimale d"un entiern?N?.
Proposition 8 :Pi`eges dans les calculs :
La fonction "Partie enti`ere" n"est pas lin´eaire!!Ainsi, en g´en´eral :
1.?x+y? ?=?x?+?y?2.?n.x? ?=n?x?(n?Z)
Preuve 8 :Trouvez des contres-exemples!!
Graphe de la fonction Partie Enti`ere
Exercice : 5
(?) Soitx?Retn?N?. Prouver par deux m´ethodes diff´erentes que :??nx? n?=?x?.Exercice : 6
(?) Etudier la continuit´e de la fonctionfd´efinie surRparf(x) =?x?+ (x- ?x?)2.Corollaire 9 :Rest archim´edien
Siαest un r´eel strictement positif, alors : Preuve 9 :Par ´equivalences successives on obtient :k=?xα?.Rest archim´edien
Remarque10.Ce r´esultat s"´ecrit aussi de la fa¸con suivante : 5 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Corollaire 10 :Valeurs d´ecimales approch´eesSoit un r´eelx, et un entier natureln≥1.
Alors, il existe un unique entier relatifptel que :On dit que :
1.p.10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar d´efaut`a la pr´ecision 10-n.
2. (p+ 1).10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar exc`es`a la pr´ecision 10-n.
Preuve 10 :C"est une application imm´ediate du fait queRest archim´edien en prenantα=110n.Exemple 5.
3.14159 est une valeur d´ecimale approch´ee par d´efaut deπ`a la pr´ecision 10-5
3.14160 est une valeur d´ecimale approch´ee par exc`es deπ`a la pr´ecision 10-5
Exercice : 7
(??) Soitp?N?. D´eterminer une formule donnant lap`eme d´ecimale d"un nombre r´eelx.4 Densit´e
D´efinition 5 :Densit´e
SoitAune partie deR.
On dit que la partieAest dense dansRlorsque?(x1, x2)?R2avecx1?=x2,A∩]x1, x2[?=∅Cela signifie qu"entre 2 ´el´ements quelconques deR, on pourra toujours trouver un ´el´ement deA.
Remarque11.En fait, cette d´efinition implique qu"entre deux r´eelsx1etx2quelconques distincts, il existe une infinit´e
d"´el´ements distincts deA.Adense dansR
Proposition 11 :Caract´erisation parε(de la densit´e)SoitA?R.
Cela signifie que l"on peut trouver un ´el´ement deAaussi proche que l"on veut de n"importe quel r´eelx.
Preuve 11 :Pas de difficult´e.
Caract´erisation de la densit´e deAdansRparεExemple 6.
6 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/1.Zn"est pas dense dansR
2. Si Δ est une partie deRde cardinal fini,R\Δ est dense dansR
Proposition 12 :Caract´erisation s´equentielle (de la densit´e)SoitA?R.
Aest dense dansR?? ?x?R,il existe une suite (an) d"´el´ements deAtelle que (an)→x Preuve 12 :Pas de difficult´e en prenant pour toutn?N?,ε=1n Caract´erisation de la densit´e deAdansRpar les suitesRemarque12.Important!
On peut adapter la d´emonstrationpr´ec´edentepour prouver que l"on peut choisir (an)?major´ee parx
croissanteou?minor´ee parx d´ecroissante.Exemple 7.(?) Montrer que si?A?B?R
Adense dansRalorsBest aussi dense dansR.
Th´eor`eme Fondamental 13 :Qest dense dansR
Preuve 13 :Avec la caract´erisation s´equentielle : Pour toutx?R, on peut par exemple, introduire la suite (xn)?QNd´efinie par :xn=?10nx? 10n.Remarque13.Comme le montre la d´emonstration pr´ec´edente, l"ensemble des nombres d´ecimaux relatifs est lui-aussi
dense dansR Exemple 8.(?) Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :E={sinx|x?Q}.Th´eor`eme 14 :R\Qest dense dansR
Preuve 14 :Utilisons la d´efinition de la densit´e.Lorsque (x, y)?Q2, on prouve quez=x+ (y-x).⎷
22est un irrationnel de [x, y].
Sauriez-vous d´emontrer le r´esultat `a l"aide de la caract´erisation s´equentielle?Remarque14.On peut r´esumer les 2 th´eor`emes pr´ec´edents en disant qu"entre deux r´eels distincts on pourra toujours
trouver un rationnel et un irrationnel.Exemple 9.(?)
1. D´eterminer les applications croissantes deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.
2. D´eterminer les applications continues deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.
Exercice : 8
(? ? ?) On souhaite d´emontrer que l"ensembleZ+πZ={a+bπ|(a, b)?Z2}est dense dansR.1. D´emontrer que l"application?:n?Z?→n.π- ?nπ?(la partie fractionnaire denπ) est injective.
7 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/2. On noteF={?(n), n?Z}
(a) Montrer queFest de cardinal infini. (c) En d´eduire queZ+πZest dense dans [0,1]. Vous pourrez pour cela utiliser le caract`ere archim´edien deRavecα=|f1-f2|3. En d´eduire queZ+πZest dense dansR.
5 Connaissez-vous votre cours?
Vous devez imp´erativement savoir r´epondre aux diff´erentes questions suivantes :QuestionsR´eponses attendues
1.Connaissez-vous les notions deminorantetmajorantd"une partie deR?Cf cours
Connaissez-vous les notions deplus petitetplus grand´el´ement d"une partie deR? Connaissez-vous les notions deborne inf´erieureetborne sup´erieured"une partie deR?2.Donner s"ils existent des minorant, majorant, plus petit ´el´ement, plus grand ´el´ement,min, ppe et binf : 0
borne sup et borne inf de l"ensemble suivant : Δ ={1 +1n|n?Z?}.maj, pge et bsup : 23.Connaissez-vous le th´eor`eme d"existence de la borne sup? de la borne inf?cf cours
4.Comment caract´eriser avec?le fait quea= supA?cf cours
Comment caract´eriser s´equentiellement le fait quea= supA?5.Comment prouver qu"une partie deZadmet un ´el´ement maximal?cf cours
12.Comment est d´efinie lapartie enti`ered"un r´eel? A quoi ressemble son graphe?cf cours
13.Encadrerx`a l"aide de sa partie enti`ere. Inversement?cf cours
14.A-t-on?x+y?=?x?+?y??Non en g´en´eral
Oui six?N
15.Que signifie la proposition "Rest archim´edien"? Illustration graphique?cf cours
16.D´efinir les notions de "valeurs approch´ees" `a l"aide de la partie enti`ere.cf cours
17.Donner la d´efinition et les deux caract´erisations de la densit´e.cf cours
18.Pouvez-vous justifier la densit´e deQet deR\QdansR?cf cours
19.Donner des exemples d"application de la densit´e.cf cours
8 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/6 Exercices de TD
Codage
1. Les exercices avec des coeurs♥sont `a traiter en priorit´e.
2. Le nombre d"´etoiles?ou de coeurs♥correspond `a la difficult´e des exercices.
6.1 Borne sup´erieure d"une partie
Le th´eor`eme le plus utilis´e est l"axiome de d´efinition de la borne sup (ou inf).1. il s"applique lorsque la partie ´etudi´ee est une partie deR, non vide et major´ee.
2. il permet de prouver l"existence d"une borne sup.
3. il permet aussi d"en otenir une majoration puisque la brone sup est major´e par tout majorant de la
partie ´etudi´ee, et donc par le majorant qui nous a permis d"utiliser le th´eor`eme. L"autre th´eor`eme fondammental est la caract´erisation de la borne sup.Il nous dit en particulier que la borne sup peut ˆetre consid´er´ee comme la limite d"une suite d"´el´ements de la
partie ´etudi´ee. En introduisant de telles suites, on peut faicelement obtenir des majorations ou des minorations
utiles par passage `a la limite.Exercice de TD : 1
(♥) SoitAune partie non vide et born´ee deR. Montrer que [infA,supA]est le plus petit segment (au sens de l"inclusion) tel queA?[infA,supA].Exercice de TD : 2
(?) D´eterminer les bornes sup et inf deA={un|n?N}o`u?un= 2nsinest pair u n= 2-nsinest impair.Exercice de TD : 3
(??) SoitXune partie non vide et major´ee deR.Montrer que si supX=Malors pour toutε >0, il existe une infinit´e d"´el´ements de X dans [M-ε, M]
Exercice de TD : 4
(?) On se propose d"´etablir?n?N?,?(p, q)?N2tel quen= 2p(2q+ 1).Pourn?N?fix´e, on poseA={m?N|2mdivisen}.
1. Montrer queAadmet un plus grand ´el´ementp
2. Montrer que pour cet ´el´ementp, on peut ´ecriren= 2p(2q+ 1) avecq?N.
Exercice de TD : 5
(♥♥) SoitAune partie non vide et born´ee deR. On appelle diam`etre deAle r´eel positif d´efini par :δ(A) = sup{|x-y|,(x,y)?A2}. Justifier l"existence de ce r´eel et montrer queδ(A) = supA-infA.Exercice de TD : 6
(♥♥) SoitAune partie deRnon vide et minor´ee. On note-Al"ensemble des oppos´es des ´el´ements deA.
Prouver que : sup(-A) =-infA.
Exercice de TD : 7
(??) Etudier l"existence et pr´eciser la valeur lorsqu"elles existent des quantit´es supA, infA, maxAet minAlorsque :
Exercice de TD : 8
(?) SoitIun intervalle deRetfetgdeux fonctions r´eelles born´ees d´efinies surI.Montrer que :
sup x?I|f(x)|+ sup x?I|g(x)| 9 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/6.2 Partie enti`ere
1. La d´etermination de la partie enti`ere deA(x) se fait en g´en´eral par deux m´ethodes :
(b) soit par calculs en rempla¸cantxparx=?x?+ravecr?[0,1[.2. Deux encadrements sont souvent tr`es utiles lorsqu"on travailleavec des parties enti`eres :
Exercice de TD : 9
(♥) Montrer que pour tout r´eel x on a :?x2?+?x+ 12?=?x?Exercice de TD : 10
(♥) Soitxetydeux entiers relatifs. Calculer?x+y2?+?x-y+ 12?. Aide : il semble assez naturel de proc´eder `a une disjonction de cas...Exercice de TD : 11
(??) Montrer que pour tout r´eelx≥1 on a : 2(⎷x+ 1-⎷x)<1⎷x<2(⎷x-⎷x-1)
En d´eduire un encadrement de la partie enti`ere de :x=100? k=11 ⎷k