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Chapitre1

LesNombresR´eels

1.1Introduction

Onappelle:

0,1,2,3,....

10p,pN,αZ.

q,pZ,qN,q=0? souslaformex=p commun.

Nousavonsp2

q2=2d"o`up2=2q2:p2estdoncunnombrepair. impliquequeqestlui-mˆemepair. q? 2=2. nombresr´eels. 1.2

´Ebauche delaconstructiondeR

estenrelationavecyetonnotexy. 3 xdivisey. exemple,l"Oise,estunaffluentdelaSeine. couplesdeX. d"ordresi

1.estr´eflexive:xXxx,

3.esttransitive:x,y,zX,sixyetyzalorsxz.

OnditalorsqueXestunensembleordonn´e.

Durance,affluentduRhˆone.

d"ordrepartiel. commesuit: x=maxx,x.

Exemple1.2.71/2=1/2,2=2.

b´el´ementdeA. l"infini.

Exemple1.2.19SoitA=xQ,0 ntendversinfA. cemanque. 5

Labornesup´erieuredeBdansRest

2.

2estlalimitedelasuiteu0=1,u1=

1,4,u2=1,41etainsidesuite.

1.3Propri´et´esdeR

d"ordre:

Soienta,b,c,dRtelsqueabetcd.Alorsa+cb+d.

Soienta,b,cRtelsqueabet0c.Alorsacbc.

Soienta,b,cRtelsqueabetc0.Alorsbcac.

bParextension:

[a,b[=xR,axbetx=b, ]a,b]=xR,axbetx=a, ]a,b[=xR,axbetx=betx=a, ],b]=xR,xb, ],b[=xR,xbetx=b, [a,+[=xR,ax, ]a,+[=xR,axetx=a. p/qestunrationneldel"intervalle]a,b[. Corollaire1.3.9QuelquesoitxR,quelquesoitVvoisinagedex, ilexisteunrationneldansV. x. densedansR. supx,x.

3.xR,x=x.

4.x,yR,xyx y.

5.x,yR,xyxyx+y.

6.x,yRtelquey>0,x

Preuve:

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