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ALGÈBRE 1

6 janvier 2016

ALGÈBRE 1

TABLE DES MATIÈRES

I. Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Généralités sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Groupes opérant sur un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Groupes abéliens de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Le groupe GL

n(Z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Groupes simples et suites de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Groupes résolubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7. Groupes nilpotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Croissance des groupes de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II. Groupes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1. Préliminaires sur les corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Le groupe linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Formes bilinéaires et quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Théorème de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Groupe de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7. Groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8. Groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9. Formes sesquilinéaires et hermitiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11. Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

III. Algèbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1. Produit tensoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2. Algèbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

3. Algèbre extérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4. Pfaffien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5. Algèbre symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

6. Algèbre de Clifford et groupe spinoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

6TABLE DES MATIÈRES

IV. Représentations des groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

1. Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

2. Caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

3. Propriétés d"intégralité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

CHAPITRE I

GROUPES

1. Généralités sur les groupes

1.1. Définition. -Ungroupeest la donnée d"un ensemble G muni d"une loi de compo-

sition

G£G!G

(g1,g2)7!g1g2 et d"unélément neutre e2G satisfaisant les propriétés suivantes

1°associativité: pour tousg1,g2,g3dans G, on a

(g1g2)g3AEg1(g2g3) ;

2°élément neutre(nécessairement unique)

8g2GgeAEegAEg;

3°inverse: chaque élémentgde G admet un inverse (nécessairement unique), c"est-

à-dire un élémentg¡1de G tel que

¡1AEg¡1gAEe.

On note aussi souvent 1 l"élément neutre. Pour tout élémentgd"un groupe G, et tout n2Z, on note g nAE8 >>>>:nfoisz}|{ g¢¢¢gsinÈ0 ; esinAE0 ;

¡nfoisz}|{

¡1¢¢¢g¡1sinÇ0.

Sim,n2Z, on a alors la formule habituelle

g mÅnAEgmgn. On dit que G estabélien(ou commutatif) si, pour tousg1,g22G, on ag1g2AEg2g1.

Dans ce cas, on note généralement la loi de composition additivement (g1Åg2), l"élément

neutre 0, et l"inverse degest appelé l"opposé, noté¡g.

8CHAPITRE I. GROUPES

On dit que le groupe G estfinisi c"est un ensemble fini. On appelle alors son cardinal sonordre,notéjGj.

Si G et G

0sont des groupes, on peut former un groupe G£G0appeléproduit directen

munissant l"ensemble produit de la loi de composition (g1,g01)(g2,g02)AE(g1g2,g01g02). Exemples 1.1. -1° L ap aire( Z,Å) est un groupe abélien.

2° SiKest un corps(1)(commeQ,RouC), (K,Å) et (K£,£) sont des groupes abéliens;

plus généralement, pour un anneau A, on a le groupe abélien (A,Å) et le groupe multipli- catif (A £,£) des unités de A (les éléments de A inversibles dans A). sont ditscycliques.

4° Si X est un ensemble, l"ensemble Bij(X) des bijections de X dans X, muni de la com-

position des applications, est un groupe. En particulier, le groupe symétriqueSndes bi- jections de l"ensemble {1,...,n} est un groupe fini d"ordren!, non abélien pournÊ3.

général linéaireGLn(K). Si E est unK-espace vectoriel, les applications linéaires bijectives

de E dans E forment un groupe GL(E); si E est de dimension finien, le choix d"une base de

E fournit un isomorphisme entre GL(E) et GL

n(K). Les applications affines bijectives de E dans E (c"est-à-dire les applications du typex7!u(x)Åb, avecu2GL(E) etb2E) forment aussi un groupe, legroupe général affine,noté GA(E).

6° Plus généralement, si A est un anneau commutatif, on peut former le groupe GL

n(A) des matrices inversibles d"ordrenà coefficients dans A : il s"agit exactement des matrices dont le déterminant est dans A £(2). Par exemple, le groupe GLn(Z) est constitué des ma- tricesn£nà coefficients entiers de déterminant§1. Exercice 1.2. -S oitG u ngr oupet elqu eg2AEepour toutg2G. Montrer que G est abélien. Exercice 1.3. -M ontrerq ueGL n(Q) est dense dans GLn(R).

1.2. Sous-groupes, générateurs. -Une partie H d"un groupe G est appelée unsous-

groupe(on note H·G, et HÇG si de plus H6AEG) si la loi de composition de G se restreint à H et en fait un groupe, ce qui est équivalent aux propriétés suivantes :

1°e2H;

2° pour tou sh1,h22H, on ah1h22H; 3° pour tou th2H, on ah¡12H. Exemples 1.4. -1° L "intersectiond "unef amillequ elconquede sous- groupesd "un groupe G est un sous-groupe de G.

2° Les sous-groupes deZsont lesnZpourn2N.1. Dans ces notes, un corps est toujours commutatif, sauf mention expresse du contraire.

2. Si une matrice M admet un inverse M

¡1à coefficients dans A, on obtient, en prenant les dérteminants

dans la formule M¢M¡1AEIn, la relation d´et(M)d´et(M¡1)AE1, qui entraîne que d´et(M) est inversible dans A.

Inversement, si d

´et(M) estinversible dans A, laformule M¢tcom(A)AEd´et(M)Inentraîne que Madmetuninverse

à coefficients dans A.

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES9

3° Le groupe O

n(R) des matrices M de taillen£nréelles orthogonales (c"est-à-dire qui satisfont tMMAEIn) est un sous-groupe du groupe GLn(R).

4° Soitnun entierÊ2. Legroupe diédralDndes transformations orthogonales deR2

préservant les sommets d"un polygone régulier àncôtés centré à l"origine est un sous-

groupe d"ordre 2nde O2(R) : sirest la rotation d"angle2¼n etsla symétrie par rapport à une droite passant par l"un des sommets, on a D nAE{Id,r,...,rn¡1,s,rs,...,rn¡1s}, avecrsrsAEId. On peut voir aussi Dncomme un sous-groupe du groupeSn, puisque ses

éléments permutent lesnsommets du polygone.

5° Lecentre

Z(G)AE{h2Gj8g2GghAEhg}

Par exemple, le centre de GL

n(K) est constitué des homothéties.

Exercice 1.5. -Q uelest l ec entredu gr oupeD n?

Exercice 1.6. -Q uelest l ec entredu gr oupeSn?

Proposition 1.7. -SoitAune partie d"un groupeG. Il existe un plus petit sous-groupe de GcontenantA. On l"appellesous-groupe engendréparAet on le notehAi.

Démonstration. -I ly a deux cons tructionséq uivalentes.L ap remièrecon sisteà d éfinir

hAicomme l"intersection de tous les sous-groupes de G contenant A (utiliser l"ex. 1.4.1°). La seconde construction consiste en la description explicite :

hAiAE{x"11x"22¢¢¢x"nnjn2N,xi2A,"i2{1,¡1}}.Unepartie AdeGestunepartiegénératricedeG,ouengendreG,ouestunensemblede

générateurs de G, sihAiAEG. On dit que G estde type finis"il admet une partie génératrice

finie. Tout groupe fini est bien sûr de type fini. Attention : un sous-groupe d"un groupe de type fini n"est pas nécessairement de type fini (cf.exerc. 1.11)! premier àn.

2° Voici trois ensembles de générateurs pour le groupe symétriqueSn:

tou tesle str anspositions; l est ranspositions(1 2),(23),...,((n¡1)n); l at ransposition(12 )et le cy cle(12 ¢¢¢n).

3° Avec les notations précédentes, le groupe diédral D

nest engendré par la rotationret la symétries. Exercice 1.9. -M ontrerq u"ungr ouped et ypefini est dénombr able. Exercice 1.10. -M ontrerq uel eg roupe( Q,Å) n"est pas de type fini.

10CHAPITRE I. GROUPES

Exercice 1.11. -S oitG le sous- groupe(d et ypefin i)de GL 2(Q) engendré par les matricesµ2 0 etµ1 1 . Montrer que le sous-groupe de G qui consiste en les éléments de G dont les coefficients diagonaux sont tous les deux égaux à 1 n"est pas de type fini (3).

1.3. Morphismes (de groupes). -Unmorphisme de groupesest la donnée d"une appli-

cationf:G!G0entre groupes, satisfaisant

8g1,g22Gf(g1g2)AEf(g1)f(g2).

Sifest bijective, son inversef¡1est aussi un morphisme (de groupes) et on dit quefest unisomorphisme. Si en outre GAEG0, on dit quefest unautomorphismede G. Sif:G!G0est un morphisme de groupes, lenoyauet l"imagedef, ker(f)AE{g2Gjf(g)AEe} , im(f)AE{f(g)jg2G} sont des sous-groupes de G et G

0respectivement. Plus généralement, l"image inverse par

fde tout sous-groupe de G0est un sous-groupe de G, et l"image parfde tout sous-groupe de G est un sous-groupe de G 0. si im(f)AEG0. Exemples 1.12. -1° S oitn2N. La surjection canoniqueZ!Z/nZest un morphisme surjectif. Son noyau est le sous-groupenZdeZ. le noyau est legroupe alternéAn. Ce groupe est engendré par les 3-cycles (abc), car (ab)(ac)AE(acb) et (ab)(cd)AE (acb)(acd).

3° L"application exponentielle exp : (C,Å)!(C£,£) est un morphisme surjectif. Son

noyau est le sous-groupe 2i¼ZdeC.

4° SoitKun corps. Le déterminant d´et : GLn(K)!K£est un morphisme surjectif. Son

noyau est legroupe spécial linéairedes matrices de déterminant 1; il est noté SLn(K).

5° L"ensemble des automorphismes d"un groupe G, muni de la loi de composition des

applications, est un groupe noté Aut(G).

Sig2G, l"application

g:G¡!G x7¡!gxg¡1 est un automorphisme de G. Un tel automorphisme de G est appeléautomorphisme inté- rieurde G et

est un morphisme de groupes dont le noyau est le centre Z(G).3. Un théorème de Higman, Neumann et Neumann dit que les sous-groupes des groupes de type fini sont

tous les groupes dénombrables (dont la plupart ne sont pas de type fini!).

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES11

1.4. Classes à gauche. -Soit H un sous-groupe d"un groupe G. On définit sur G une

relation d"équivalenceRpar g

1Rg2() 9h2Hg2AEg1h.

Les trois propriétés caractéristiques des relations d"équivalence (réflexivité, symétrie,

transitivité) se vérifient facilement. La classe d"équivalence d"un élémentx2G est gHAE{ghjh2H}. Les partiesgH (pourg2G) sont appeléesclasses à gauchede G, et l"ensemble quotient de G parR, c"est-à-dire l"ensemble des classes à gauche, est noté G/H. Si cet ensemble est fini, son cardinal, noté [G:H], est appelé l"indicede H dans G. On peut définir aussi lesclasses à droitecomme les ensembles HgAE{hgjh2H}, et

l"ensemble des classes à droite est noté H\G. Heureusement, il est à peu près indifférent

d"utiliser des classes à droite ou à gauche, car l"application inverseÁ: G!G,g7!g¡1, envoiegH sur Hg¡1, donc envoie classes à gauche sur classes à droite, induisant ainsi une bijection

G/H¡!H\G.

Soitg2G. L"application H!G,h7!gh, induit une bijection

H¡!gH.

En particulier, si H est fini, le cardinal d"une classe à gauchegH est égal à l"ordre de H. Les

classes à gauche forment donc une partition de G par des classes de même cardinal. On en déduit le résultat suivant. Théorème de Lagrange 1.13. -SoitHun sous-groupe d"un groupe finiG. On a jGjAEjHj[G:H]. En particulier, l"ordre d"un sous-groupe deGdivise l"ordre deG. Exercice 1.14. -S oitG u ng rouped etype fin iet soi tH un sou s-grouped "indicefini de G . Montrer que H est de type fini (Indication :sia1,...,amengendrent G, et sig1H,...,gnH sont les classes à gauche, avecg1AEe, on pourra montrer que l"ensemble fini H\{g¡1iakgjj1É kÉm, 1Éi,jÉn} engendre H).

1.5. Sous-groupesdistingués. -Onditqu"unsous-groupeHd"ungroupeGestunsous-

groupe distingué, ousous-groupe normal, et on note HEG (et HCG si de plus H6AEG), s"il est stable par tout automorphisme intérieur, c"est-à-dire si

8g2G8h2Hghg¡12H.

Pour tout groupe G, les sous-groupes {e} et G de G sont distingués. Le groupe G est dit simples"il n"a pas d"autre sous-groupe distingué et si G6AE{e}. Sif:G!G0est un morphisme de groupes, ker(f)EG (attention, il est faux en général

0EG0,onaf¡1(H0)EG.

Il est important de noter que si H est distingué dans G, les classes à droite sont égales La réciproque est vraie : si H est un sous-groupe de G tel que G/HAEH\G, alors H est distingué dans G.

12CHAPITRE I. GROUPES

Exemples 1.15. -1° D ansu ngr oupeabélie n,tous l essous- groupessont dist ingués.

2° Le groupe alternéAnest distingué dans le groupe symétriqueSn, car c"est le noyau

du morphisme signature. SinÊ3, ce dernier n"est donc pas simple.

3° SiKest un corps, le sous-groupe SLn(K) de GLn(K) est distingué, car c"est le noyau

du morphisme déterminant. Exercice 1.16. -S oitG un gr oupeet s oitH u nsou s-groupede G d "indice2 .M ontrerq ueH est distingué dans G.

1.6. Quotients. -Soit H un sous-groupe d"un groupe G. On souhaite munir G/H d"une

structure de groupe telle que l"application (surjective) p:G¡!G/H g7¡!gH qui envoie un élément sur sa classe à gauche soit un morphisme de groupes. L"élément neutre de G/H doit nécessairement êtrep(e)AEeH, donc le noyau depdoit être la classe est suffisante. Théorème 1.17. -SiHest un sous-groupe distingué deG, il existe surG/Hune unique structure de groupe telle que la surjection p:G!G/Hsoit un morphisme de groupes. Si H est un sous-groupe distingué de G, on a G/HAEH\G et on obtient le même groupe quotient en considérant les classes à droite ou à gauche. Démonstration. -P ourqu epsoit un morphisme de groupes, il faut que la loi de com- position sur G/H vérifie (g1H)(g2H)AEg1g2H. (1) La première chose à faire est de vérifier que cette formule ne dépend pas des choix deg1 etg2dans leurs classes : sig1AEg01h1etg2AEg02h2, on a g Puisque H est distingué dans G, on ag0¡12h1g022H, doncg1g2HAEg01g02H. La formule (1) définit donc bien une loi de composition sur G/H. On vérifie qu"il s"agit d"une loi de groupe.Soit H un sous-groupe distingué d"un groupe G et soitp: G!G/H la surjection cano- nique. On vérifie que les applications {sous-groupes de G/H}¡!{sous-groupes de G contenant H} K

07¡!p¡1(K0)

p(K)7¡!K sont des bijections inverses l"une de l"autre. De plus, K

0est distingué dans G/H si et seule-

ment sip¡1(K0) est distingué dans G.

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES13

Exemple 1.18. -Le gr oupeZ/nZest le groupe quotient deZparnZ. On peut en déduire les sous-groupes deZ/nZ: leur image réciproque par la surjectionp:Z!Z/nZest un sous-groupe deZcontenantnZ, donc de la formedZpourdjn, donc les sous-groupes de Z/nZsontexactementles sous-groupes cycliquesengendrés par les entiersdtels quedjn. En particulier, le groupeZ/nZest simple si et seulement sinest un nombre premier. Théorème 1.19(Propriété universelle du quotient). -SoitGun groupe, soitHun sous- unique morphisme ˆf:G/H!G0tel que fAEˆf±p, c"est-à-dire que le diagramme suivant est commutatifGG

0G/H.f

p fEn outre,ker(ˆf)AEker(f)/Hetim(ˆf)AEim(f). Démonstration. -O nv eutposer ˆf(xH)AEf(x). Cela a un sens à condition quef(xh)AE

H. L"application

ˆf:G/H!G0ainsi définie est manifestement unique. On vérifie que c"est

un morphisme, avec le noyau et l"image indiqués.Corollaire 1.20. -Si f: G!G0est un morphisme de groupes,ˆf: G/ker(f)!im(f)est

un isomorphisme. Démonstration. -O napp liquele t héorèmeà ˜f: G!im(f), coïncidant avecfmais dont on a restreint le but, et à HAEker(f). On obtientˆf: G/ker(f)!im(f), avec kerˆfAE

ker(f)/ker(f)AE{e} et imˆfAEim˜fAEim(f).Corollaire 1.21. -Le sous-groupehgiengendré par un élément g d"un groupeGest iso-

En particulier, par le théorème de Lagrange (th. 1.13), l"ordre d"un élément d"un groupe fini G divise l"ordre de G, et un groupe d"ordre un nombre premierpest nécessairement isomorphe au groupe cycliqueZ/pZ.

Démonstration. -Le m orphisme

g:Z¡!G n7¡!gn a pour imagehgi. SoitÁgest injectif, auquel cas il induit un isomorphismeZ»¡!hgi, soit le corollaire précédent, un isomorphisme

ˆÁg:Z/nZ»¡!hgi.Exemples 1.22. -1° O na u nisomorph ismeSn/An'Z/2Zprovenant du morphisme

signature (on peut aussi dire que ce groupe quotient a deux éléments, donc il est néces- sairement isomorphe àZ/2Z).

14CHAPITRE I. GROUPES

2° La restriction du déterminant au groupe diédral D

nÇO2(R) induit une surjection D n!{§1}. Son noyau est le sous-groupe de Dnengendré par la rotationr. Il est d"indice 2 et est isomorphe àZ/nZ.

4° Le groupe Int(G) des automorphismes intérieurs de G est distingué dans Aut(G). On

appelle le quotient Out(G):AEG/Int(G) le groupe des automorphismes extérieurs de G. Proposition 1.23. -SoitGun groupe et soitHun sous-groupe distingué deG.

1° SiGest de type fini (cf. §1.2),G/Hest aussi de type fini(4).

2° SiHetG/Hsont de type fini,Gest de type fini.

Démonstration. -1° L "imaged ansG/H d "unepa rtieg énératricefin iede G est u nepar tie génératrice finie de G/H.

2° Soit A une partie finie de Gdontl"image dans G/H engendre G/H, etsoitB une partie

génératrice finie de H. Soitxun élément de G. Sa classe dans G/H s"écritxAEx "11x "22¢¢¢x "mmAEx "11x"22¢¢¢x"mm, avec"1...,"m2{1,¡1} etx1,...,xm2A. Cela entraîne x

¡"mm¢¢¢x¡"22x¡"11x2H.

et on peut donc écrire x avec"01...,"0n2{1,¡1} ety1,...,yn2B. On en déduit ce qui prouve que A[B engendre G.Exercice 1.24. -S oitFqun corps fini àqéléments. Montrer jGLn(Fq)j AE(qn¡1)(qn¡q)¢¢¢(qn¡qn¡1), jSLn(Fq)j AE(qn¡1)(qn¡q)¢¢¢(qn¡qn¡2)qn¡1. Exercice 1.25. -O nr appellequ eGL n(Z) est le groupe des matrices carrées d"ordrenà co- efficients entiers, dont le déterminant est§1. a) Montrer que les éléments de GL

2(Z) qui sont d"ordre fini sont d"ordre 1,2,3,4 ou 6 (Indica-

tion :on pourra considérer les valeurs propres des matrices d"ordre fini). b) Déterminer une fonctionf:N!Ntelle que tous les éléments de GLn(Z) qui sont d"ordre fini sont d"ordreÉf(n) (Attention, c"est beaucoup plus difficile!). Exercice 1.26. -S oientK et H des sou s-groupesdist inguésd "ungr oupeG av ecK ·H. Mon- trer que le sous-groupe H/K de G/K est distingué et que (G/K)/(H/K)'G/H. Exercice 1.27. -S oientH et K des s ous-groupesd "ung roupeG ,av ecH EG. Montrer que HK :AE{hkjh2H,k2K}estunsous-groupedeG,queHKAEKHAEHKH,queH\K estdistingué

dans K et que les groupes HK/H et K/(H\K) sont isomorphes.4. On a vu dans l"exerc. 1.11 que H n"est pas nécessairement de type fini.

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES15

Exercice 1.28. -S oitKun corps et soit E unK-espace vectoriel. Montrer que le groupe des translations de E est un sous-groupe distingué du groupe affine GA(E) (cf.ex. 1.1.5°) iso- morphe au groupe additif (abélien) (E,Å) et que le groupe quotient est isomorphe à GL(E). Exercice 1.29. -L ebutdecetexerciceestdemontrerquetoutsous-groupefiniGdugroupe multiplicatif d"un corpsKest cyclique. En particulier, le groupe multiplicatif d"un corps fini est cyclique. La seule propriété qu"on utilisera est que l"équationxnAE1Ka au plusnsolutions dansK. Soitgun élément de G d"ordre maximaldet soithun autre élément de G, d"ordree. a)Supposons que e ne divise pas d.Il existe alorsq, puissance de nombre premier, qui diviseemais pasd. Soitrl"ordre deghe/q. Montrer queqdivise ppcm(d,r), puis quer est divisible par ppcm(d,q), et aboutir à une contradiction (Indication :on pourra calculer (her/q)d/pgcd(d,r)). b) On a doncejd. En déduire quegengendre G. Exercice 1.30. -S oitFquncorpsfiniàqéléments.Lebutdecetexerciceestdemontrerque l"ordre maximal d"un élément de GL n(Fq) est exactementqn¡1 . a) Soit M2GLn(Fq). Montrer que l"ensemble {P(M)jP2Fq[X]} contient au plusqnéléments (Indication :on pourra utiliser le théorème de Cayley-Hamilton). En déduire que l"ordre de

M dans le groupe que GL

n(Fq) est au plusqn¡1. Montrer par un exemple que cet ordre ne divise pas nécessairementqn¡1. n(Fq)d"ordreqn¡1(Indication:onad- sixengendre le groupe multiplicatif (Fqn,£) (exerc. 1.29), on considérera une matrice de po- lynôme caractéristique le polynôme minimal dexsurFq).

1.7. Quotients d"espaces vectoriels. -Si V est unK-espace vectoriel et WµV un sous-

espace vectoriel, alors en particulier, pour la structure de groupe abélien, W est un sous- groupe de V donc on peut former le quotient V/W. Dans ce cas, la structure deK-espace vectoriel passe aussi au quotient, en définissant pourx2V la multiplication par le scalaire ¸2Kdans V/W par¸(xÅW)AE(¸x)ÅW : en effet, si on prend un autre représentantyAE xÅf(f2W) de la classe dexdans V/W, alors¸yAE¸xÅ¸freprésente bien la classe

¸xÅW2V/W puisque¸f2W. La surjection

p:V¡!V/W

est alors aussi une application linéaire de noyau W et la propriété de factorisation (théo-

rème 1.19) reste valable en remplaçant les morphismes de groupes par des applications manière unique, par une application linéaire ˆÁ:V/W!V0telle queÁAEˆÁ±p. À nouveau, cette propriété caractérise le quotient.

Si on choisit dans V un supplémentaire W

tionpjW0: W0!V/W est un isomorphisme linéaire. Via cet isomorphisme, l"application linéaire induite au quotient, ˆÁ, peut s"identifier à la restrictionÁjW0, mais ce n"est pas in- trinsèque, car le supplémentaire W

0n"est pas unique.

Attention, cette propriété est particulière aux espaces vectoriels : dans le cas desquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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ALGÈBRE 1

6 janvier 2016

ALGÈBRE 1

TABLE DES MATIÈRES

1. Généralités sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Groupes opérant sur un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Groupes abéliens de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Le groupe GL

5. Groupes simples et suites de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Groupes résolubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7. Groupes nilpotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Croissance des groupes de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1. Préliminaires sur les corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Le groupe linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Formes bilinéaires et quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Théorème de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Groupe de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7. Groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8. Groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9. Formes sesquilinéaires et hermitiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11. Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1. Produit tensoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2. Algèbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

3. Algèbre extérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4. Pfaffien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5. Algèbre symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

6. Algèbre de Clifford et groupe spinoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

6TABLE DES MATIÈRES

1. Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

2. Caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

3. Propriétés d"intégralité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

CHAPITRE I

GROUPES

1. Généralités sur les groupes

1.1. Définition. -Ungroupeest la donnée d"un ensemble G muni d"une loi de compo-

G£G!G

1°associativité: pour tousg1,g2,g3dans G, on a

2°élément neutre(nécessairement unique)

8g2GgeAEegAEg;

3°inverse: chaque élémentgde G admet un inverse (nécessairement unique), c"est-

à-dire un élémentg¡1de G tel que

¡1AEg¡1gAEe.

¡nfoisz}|{

¡1¢¢¢g¡1sinÇ0.

Sim,n2Z, on a alors la formule habituelle

8CHAPITRE I. GROUPES

Si G et G

0sont des groupes, on peut former un groupe G£G0appeléproduit directen

2° SiKest un corps(1)(commeQ,RouC), (K,Å) et (K£,£) sont des groupes abéliens;

4° Si X est un ensemble, l"ensemble Bij(X) des bijections de X dans X, muni de la com-

E fournit un isomorphisme entre GL(E) et GL

6° Plus généralement, si A est un anneau commutatif, on peut former le groupe GL

1.2. Sous-groupes, générateurs. -Une partie H d"un groupe G est appelée unsous-

1°e2H;

2° Les sous-groupes deZsont lesnZpourn2N.1. Dans ces notes, un corps est toujours commutatif, sauf mention expresse du contraire.

2. Si une matrice M admet un inverse M

Inversement, si d

à coefficients dans A.

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES9

3° Le groupe O

4° Soitnun entierÊ2. Legroupe diédralDndes transformations orthogonales deR2

éléments permutent lesnsommets du polygone.

5° Lecentre

Z(G)AE{h2Gj8g2GghAEhg}

Par exemple, le centre de GL

Exercice 1.5. -Q uelest l ec entredu gr oupeD n?

Exercice 1.6. -Q uelest l ec entredu gr oupeSn?

2° Voici trois ensembles de générateurs pour le groupe symétriqueSn:

3° Avec les notations précédentes, le groupe diédral D

10CHAPITRE I. GROUPES

1.3. Morphismes (de groupes). -Unmorphisme de groupesest la donnée d"une appli-

8g1,g22Gf(g1g2)AEf(g1)f(g2).

0respectivement. Plus généralement, l"image inverse par

3° L"application exponentielle exp : (C,Å)!(C£,£) est un morphisme surjectif. Son

4° SoitKun corps. Le déterminant d´et : GLn(K)!K£est un morphisme surjectif. Son

5° L"ensemble des automorphismes d"un groupe G, muni de la loi de composition des

Sig2G, l"application