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Chapitre 5 : Nombres complexes

1STI2D 3, 2014-2015

1. Forme algébrique d"un nombre complexe

1.1. Le nombrei

Lenombreiest un nombre dont le carré vaut-1. Ainsi,i2=-1. De plus, son opposé-ia aussi pour carré-1. En effet :(-i)2= [(-i)×(-i)]2=i2=-1. L"équationx2=-1possède alors deux solutions : x

2+ 1 = 0équivaut àx2-i2= 0soit(x-i)(x+i) = 0doncx=ioux=-i.

1.2. Définition

Définition 1.

L"ensemble des nombres complexes est noté :C.

Chaque élémentzde l"ensembleCs"écrit sousforme algébriquede manière uniquez=a+ib, aetbétant des réels. ?aest appelépartie réelledezet est noté?e(z) ?best appelépartie imaginairedezet est noté?m(z)

Remarque 1.

?sib= 0, on az=a,zest donc réel ?sia= 0, on az=ib, on dit quezest unimaginaire pur Exemple 1.Donner la partie réelle et imaginaire dans chacun des nombres complexes suivants :

1z1= 2 + 3i

2z2=-1 +12i

3z3=-i

4z4=π

5z5= 4i-13

L"ensembleRdes nombres réels est inclus dans l"ensembleCdes nombres complexes.

Propriété 1.

Remarque 2.Cest alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a :N?Z?

D?Q?R?C

2. Opération sur les nombres complexes

2.1. Addition, soustraction dansC

Définition 2.Siz1=a1+ib1etz2=a2+ib2, alorsz1+z2= (a1+a2) +i(b1+b2). Exemple 2.Soit les nombres complexesz1= 3 + 7i,z2= 4 + 5ietz3=1 2-i.

1Calculerz1+z2.

2Calculerz1+z3.

3Calculerz2+z3.

1/6

Définition 3.•Soit le nombre complexez=a+ib. On appelle opposé dezle complexe noté-zet défini par :

-z=-a-ib. •La soustraction dansCest définie comme l"addition de l"opposé. Exemple 3.Soit les nombres complexesz1= 2 + 5i,z2= 3 + 4ietz3=-6-i.

1Calculerz1-z2.

2Calculerz1-z3.

3Calculerz3-z2.

2.2. Multiplication dansC

Définition 4.Siz1=a1+ib1etz2=a2+ib2, alorsz1z2= (a1a2-b1b2) +i(a1b2+a2b1). Remarque 3.Les propriétés de la multiplication dansRrestent vraies dansC, on utilise la distributivité avec en plusi2=-1. Il est donc inutile d"apprendre la formule précédente. Exemple 4.Soit les nombres complexesz1= 3 + 2ietz2= 3-2i.

1Calculerz1z2.

2Calculerz21.

3Calculerz22.

2.3. Conjugué; inverse; quotient

2.3..1 Conjugué d"un nombre complexe

Définition 5.Soit le nombre complexez=a+ib.

On appelleconjuguédez, et on note¯z, le nombre complexez=a-ib. Exemple 5.Donner les conjugués des nombres complexes suivants :7-2i,-4-3i,-9iet-6. Soit le nombre complexez=a+ib. On a :z¯z=a2+b2.

Propriété 2.

Exemple 6.Soit les nombres complexesz1=-7 + 3ietz2= 4-i.

1Calculerz1¯z1.

2Calculerz2¯z2.

2.3..2 Inverse d"un nombre complexe non nul

On appelleinversedu nombre complexez(z?= 0), le nombre complexe1ztel quez.1z= 1.

De plus,

1 z=¯zz¯z.

Propriété 3.

Exemple 7.Soit le nombre complexez= 2 +i:

1Écrire l"inverse dez.

2Écrirezsous forme algébrique (a+ib).

2/6

2.3..3 Quotient de deux nombres complexes

On appellequotientdez1parz2(z2?= 0), le nombre complexez1z2=z1×1z2=z1¯z2z2¯z2.

Propriété 4.

Remarque 4.Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous formealgébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Exemple 8.Écrire sous forme algébrique (a+ib) :

1le nombre complexez1=1⎷2-i.

2le nombre complexez2=1+4i1+i.

3le nombre complexez3=2+5i3-2i.

3. Représentation géométrique d"un nombre complexe

3.1. Interprétation géométrique d"un nombre complexe

Dans toute la suite du cours, on munit le plan d"un repère orthonormé(O;?u;?v).

Définition 6.

•Au pointMde coordonnées(a;b)on peut associer le nombre complexez=a+ib, on dit quez=a+ibestl"affixedu point M. •Au vecteur-→wde coordonnées(a?;b?)on peut associer le nombre complexez?=a?+ib?, on dit quez?=a?+ib?estl"affixedu vecteur-→w.-→west appelé vecteur image du nombre complexez?. •Lorsqu"on repère un point ou un vecteur par sonaffixedans un repère orthonormé, on dit qu"on se place dans leplan complexe. O?u?v

M(a+ib)

w a a b b?

Exemple 9.Dans le plan complexe, représenter :

?le pointAd"affixez1= 2 + 3i ?le pointBd"affixez2= 3 +i ?le pointCd"affixez3=-1 + 2i ?le pointDd"affixez4= 3i ?le vecteur-→rd"affixez5= 2-i ?le vecteur-→sd"affixez6=-2i ?le vecteur-→td"affixez7=-i-3 O?u?v 3/6

3.2. Calcul de l"affixe d"un vecteur

SiAetBsont deux points d"affixeszAetzB, alors l"affixe du vecteur-→ABestz-→AB=zB-zA.

Propriété 5.

Exemple 10.

1Représenter les pointsA,BetDd"affixes respectifs-i,2et1 +i.

2Lire graphiquement l"affixe deM?

3Calculer l"affixe des vecteurs-→ABet--→DM.

4Donner la nature deABMD? (on justifiera)

O?u?vM

Si-→w1et-→w2sont deux vecteurs d"affixesz1=a1+ib1etz2=a2+ib2, alors le vecteur-→w1+-→w2

a pour affixez1+z2.

Propriété 6.

Exemple 11.Les pointsA,BetCont pour affixes respectifs :-2-2i,1 +iet10 + 2i. O?u?v

1Placer dans le plan complexe ci-dessus les pointsA,BetC. Représenter-→ABet--→BC.

2Déterminer les affixes des vecteurs-→ABet--→BC.

3Calculer l"affixe de-→AB+--→BC.

4Calculer l"affixe du vecteur-→AC. Quelle relation vectorielle est vérifiée?

4/6

4. Forme trigonométrique d"un nombre complexe4.1. Module d"un nombre complexe

Définition 7.Lemoduledu complexezest le réel positif noté|z|tel que|z|=ρ=⎷z¯z=? ?e(z)2+?m(z)2=⎷a2+b2.

Remarque 5.Siaest un réel,|a|=⎷

aa=⎷aa=⎷a2cara=a. La notion de module dansCgénéralise donc celle de valeur absolue dansR.

Exemple 12.Calculer les modules suivants :

?|3 + 4i| ?|1-i| ?|-5-2i| ?|-5| ?|9i|

4.2. Argument d"un complexe non nul

On se place dans un plan muni du repère(O;?u,?v). Définition 8.Soitz=a+ibun nombre complexe non nul etMle point d"affixez: ?On appelleargumentdeztout nombre réelθtel queθ= (-→u ,--→OM)[ 2π], ?On noteθ= arg(z)[ 2π], ?θvérifie :?????cosθ=a ⎷a2+b2, sinθ=b ⎷a2+b2. Exemple 13.Calculer l"ensemble des arguments des nombres complexes suivants : ?z1= 2 + 2i ?z2= 1 +i⎷ 3

4.3. Écriture trigonométrique

On se place dans un plan muni du repère(O;?u,?v). Définition 9.Tout nombre complexe non nulzpeut- être écrit sous la formez=ρ(cosθ+isinθ)avec : ?arg(z) =θ?Rest un argument dez. ?|z|=ρ?R?+est le module dez. cette écriture s"appelle laforme trigonométriquedez.

0-→u-→

v

ρ=⎷a2+b2

M(z) a=ρcosθb=ρsinθ 5/6 Méthode 1.Pour trouver la forme trigonométrique d"un nombrez, il faut donc calculer succes- sivement le module et un argument dez. Exemple 14.Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : ?z1= 1-i ?z2=⎷ 3 +i

5. QCM

Pour chaque question, indiquer la réponse exacte.

1DansC, l"équationz2-1 = 0:

(a) n"a pas de solution; (b) a pour solutionsiet-i; (c) a pour solutions1et-1.

2Le nombre complexe1 +i⎷3a pour module et argument :

(a)1etπ

6; (b)2etπ3; (c)4et-π3.

3Soit le nombre complexeztel quez= 2 +i(5-i). La partie réelle dezest :

(a)2; (b)3; (c)5.

4Une solution de l"équationz-iz+i=-1(avecz?=-i) est :

(a)1; (b)i; (c)0.

5Soit le nombre complexeztel quez=-2(cos(π6) +isin(π6)). Un argument dezest :

(a)

6; (b)-π6; (c)7π6.

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