2 jan 2009 · 1-1 Exercices corrigés 2-1 1 Exercice 4a – Formes bilinéaires et quadratiques Soit la forme bilinéaire f dans R3 de matrice associée A = Finalement, parmi les applications f1,f2,f3 toutes bilinéaires, seule f2 définit un
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques
Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique
[PDF] Devoir 2 pour le 23 Avril Exercice 1 - Université Claude Bernard
Corrigé Exercice 1 Soit ϕ la forme bilinéaire de (R2[X])2 définie par : ∀P, Q ∈ R2[X] Montrons que ϕ est une forme bilinéaire symétrique Soient P, Q et R
Feuille dexercices sur les formes bilinéaires symétriques et les
Quelle est sa signature ? Trouver une base orthogonale de R3 pour cette forme quadratique Exercice 6 Soit q la forme quadratique sur R3
[PDF] Algèbre linéaire et bilinéaire
6 mai 2015 · d'une application bilinéaire (voir plus bas) L×L → L On dit alors que L est Corrigé de l'exercice 5 6 4 : Les énoncés de cet exercice sont
[PDF] Corrigé du devoir surveillé no1
Exercice I Soit q: R3 → R la forme quadratique définie par la formule q(x, y, z) = x2 + 4xy + 6xz + 4y2 + 16yz + 9z2 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique
[PDF] Formes bilinéaires et formes quadratiques, orthogonalité Cours
miné par une série des exercices, en plus diune section pour les examens des années passées et leurs corrigés types afin diéclairer le contenu et lienrichir se sont des cas particuliers des applications bilinéaires sur un produit cartésien de
[PDF] ALG`EBRE LIN´EAIRE Module 2 PAD - Exercices - PédagoTech de
2 jan 2009 · 1-1 Exercices corrigés 2-1 1 Exercice 4a – Formes bilinéaires et quadratiques Soit la forme bilinéaire f dans R3 de matrice associée A = Finalement, parmi les applications f1,f2,f3 toutes bilinéaires, seule f2 définit un
[PDF] Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
Correction de quelques exercices de la feuille no 5: forme bilinéaire symétrique sur E Montrer que la forme quadratique associée `a ψ est définie positive un espace préhilbertien et u un endomorphisme sur E Montrer que l' application
[PDF] Examen premi`ere session - Corrigé - webusersimj-prgfr
13 mai 2015 · Exercice 1 Soit φ une application bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel E, et soit A l'aide de la question précédente, calculer une base du noyau des formes bilinéaires symétriques associées `a Q1 et Q2 Corrigé
[PDF] TD n 5 : Formes bilinéaires et formes quadratiques
Exercice 2 Pour chacune des matrices suivantes, écrire la forme bilinéaire sur Rn (n étant la dimension de la matrice) dont c'est la matrice dans
[PDF] comment traduire un mail sur gmail
[PDF] verbe écrire en portugais
[PDF] gmail correcteur orthographique anglais
[PDF] gmail en français internet
[PDF] traduction gmail android
[PDF] changer langue correcteur gmail
[PDF] alphabet portugais clavier
[PDF] forme canonique en ligne
[PDF] classification des nombres
[PDF] catégories de nombres
[PDF] type de nombre math
[PDF] famille de nombres
[PDF] ensemble de nombres mathématiques
[PDF] nombre négatif ordre croissant
ALG
Module 2
PAD - Exercices
January 2, 2009
Table des Matiµeres
1 Espaces euclidiens 1
31-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .
61-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 81-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 111-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 15 15 192-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2425
2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2626
2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes
2731
3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .
3132
3-1.3 Exercice 9a { Polyn^omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .
35i iiTABLE DES MATIµERES
3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4040
42
3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453-3.2 Exercice 8c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453-3.3 Exercice 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46Chapitre 2
13 2-1 2-1.1 1. f1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2
f2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2
f3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3
(a) deR3. (b) (c) (d) 2. A=0 @2¡1 0¡1 2¡1
0¡1 21
A dans la base canonique deR3. (a) (b) En partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et en utilisant le f-orthogonale. 1. canonique deR3: f1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2
¡x1x2x3¢0
@2¡1¡1¡1 2¡1
¡1¡1 21
A0 @x 1 x 2 x 31A f
2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2
¡x1x2x3¢0
@2 1 1 1 2 11 1 21
A0 @x 1 x 2 x 31A f
3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3
¡x1x2x3¢0
@2 2 2 0 2 20 0 21
A0 @x 1 x 2 x 31A q
1(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x1x3¡2x2x3
q2(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3
q3(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3
On a :
q1(x) = 2³
x1¡x2
2¡x3
2 2+3 2 (x2¡x3)2 f1n'est pas un produit scalaire.
Faisons de m^eme pourq2:
q2(x) =x21+x22+x23+ (x2+x1+x3)2
qui est bien positive.Supposons :q2(x) = 0 on a :
8>>< >:x 21= 0x 22= 0
x 23= 0
(x2+x1+x3)2= 0 de m^eme pourf2puisqueq2=q3 produit scalaire. 2. (a) La matriceA=0 @2¡1 0
¡1 2¡1
0¡1 21
A f(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x2y3¡x3y2 et q(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x2x3 q(x) = 2x21+ 2(x22¡x1x2¡x2x3) + 2x23= 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 x21+3 2 x23¡x1x3 ou encore : q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x21¡2 3 x1x3) +3 2 x23Finalement :
q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x1¡1 3 x3)2+4 3 x23Donc pour toutx, on aq(x)¸0:
De plus
q(x) = 0,8 :(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2= 0 3 2 (x1¡1 3 x3)2= 0 4 3 x23= 0 8< :(x2¡1 2 x1¡1 2 x3) = 0 3 2 (x1¡1 3 x3) = 0 x3= 0,8
:x 2= 0 x 1= 0 x 3= 0 scalaire. (b) Nous pouvons ainsi, en partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et f-orthogonale. f-orthogonal µau1:On doit avoir : f(au1+e2;u1) = 0 soit :a=¡f(e2;u1) q(u1) avec f(e2;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0¡1 2¡1
0¡1 21
A0 @0 1 01 A =¡1 et q(u1) =f(u1;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0¡1 2¡1
0¡1 21
A0 @1 0 01 A = 2On obtienta=1
2 et donc :u2=au1+e2=0 @1=2 1 01 A orthogonal µau1et µa:u2on doit avoir : f(au1+bu2+e3;u1) = 0 soit :a=¡f(e3;u1) q(u1) avec : f(e3;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0¡1 2¡1
0¡1 21
A0 @0 0 11 A = 0 donc :a= 0De plus, on doit avoir :
f(au1+bu2+e3;u2) = 0 soit :b=¡f(e3;u2) q(u2) avec : f(e3;u1) = (0;0;1)0 @2¡1 0¡1 2¡1
0¡1 21
A0 @1=2 1 01 A =¡1 et q(u2) =f(u2;u2) = (1=2;1;0)0 @2¡1 0¡1 2¡1
0¡1 21
A0 @1=2 1 01 A = 3=2On obtientb= 2=3:Ainsi :u3=au1+bu2+e3=0
@1 =3 2=3 11 A B f=8 u10 @1 0 01 A ;u20 @1=2 1 01 A ;u30 @1=3 2=3 11 A9= 2-1.2 q(x;y;z) =¡x2+ 2xy+ 4xz¡y2+z2 1. 2. la forme : q(X;Y;Z) =aX2+bY2+cZ2Est-elle orthogonale ou orthonormale ?
1. q(x;y;z) =¡x2+ 2xy+ 4xz¡y2+z2= (z+ 2x)2¡5µ x2¡2
5 xy+y2 5 donc q(x;y;z) = (z+ 2x)2¡5Ã x¡1 5 2 +4 25y2!