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DERNIÈRE IMPRESSION LE18 août 2017 à 13:56
Représentation matricielle des
applications linéairesTable des matières
1 Matrice d"une application linéaire2
1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées àA. . . . . . . . . 2
1.2 Rang d"une application linéaire. Image d"un vecteur. . . . . . . . . 3
1.3 Matrice de la composée et de la réciproque. . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Changements de bases, équivalence et similitude5
2.1 Changement de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Matrices équivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Matrices extraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Matrices semblables et trace d"un endomorphisme. . . . . . . . . . 9
3 Diagonalisation des matrices carrées10
3.1 Valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE
1. MATRICE D"UNE APPLICATION LINÉAIRE
1 Matrice d"une application linéaire
Définition 1 :EetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions resp.petn.B= (e1,...,e
p)une base deE B ?= (e?1,...,e? n)une base deF.Soitf?L(E,F).
On appelle matrice defdansBetB?, la
matrice( n,p)de la famille : f(B) =?u(e1),...,u(e p)?dansB?.Elle est notée : Mat
B,B?(f)
SiE=Fet siB=B?, la matrice est
notée Mat B(f) f(e1)f(ej)f(ep) ()))))))a11...a1j...a1p←e?1
a i1... aij...aip←e?i a n1... anj...anp←e?n coordonnées def(ej)dansB? Remarque :SiEestunK-espacevectorieldedimensionnalors: MatB(IdE) =InExemples :
fl"endomorphisme deR2[X]de matrice((
1 0 2 3 1 40 4 5))
dans la base canonique.On a :f(1) =3X+1 ,f(X) =4X2+X,f(X2) =5X2+4X+2
SoitR2de base canoniqueB= (?ı,??).
r:R2-→R2la rotation d"angleθ. r(?ı) =cosθ?ı+sinθ?? r(??) =-sinθ?ı+cosθ??donc MatB,B(r) =?cosθ-sinθ
sinθcosθ? r(?ı) ??r(??)1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées àA
Théorème 1 :SoitA?Mn,p(K).
Si on note?l"application canoniquement associée àAetBpetBn, les bases cano- niques respectives deKpetKn, alors :A=MatBp,Bn(?)Exemple :
Soit?l"application linéaire canoniquement associée à la matrice(( 1 0 1 1 -1 1))PAUL MILAN2CPGE L1 -ALGÈBRE
1. MATRICE D"UNE APPLICATION LINÉAIRE
Soit les basesB1=((0,1),(1,0))etB2=((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)).Déterminer Mat
B1,B2(?)
On détermine les images de(0,1)et(1,0)dans la base canonique deR3: ((0,1))=(( 1 0 1 1 -1 1)) ?01? 0 1 1)) et?((1,0))=(( 1 0 1 1 -1 1)) ?10? 1 1 -1))On exprime ces deux vecteurs dans la baseB2:
(0,1,1) =e 1? ???(1,1,1)-e3????(1,0,0)donc(0,1,1)B2-→(1,0,-1)
(1,1,-1) =-e 1? ???(1,1,1)+2eOn obtient alors : MatB1,B2(?) =((
1-1 0 2 -1 0))1.2 Rang d"une application linéaire. Image d"un vecteur
Théorème 2 :SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dim. finies de bases respectivesBetB?. Sif?L(E,F)alors : rg(f) =rg(MatB,B?(f))Démonstration :
Théorème 3 :SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dim. finies de bases respectivesBetB?,f?L(E,F)etx?E.On a alors : Mat
B?(f(x)) =MatB,B?(f)×MatB(x)
Démonstration :Application de la linéarité def. SoitB= (e1,...,ep)une baseEetB?= (e?1,...,e?n)une baseF.SoitX=MatB(x)les coordonnées dexdansB.
SoitA= (aij)la matrice defdans les basesBetB?:A=MatB,B?(f) f(x) =f? p j=1x jej? linéarité=p j=1x jf(ej) =p j=1x jn∑ i=1a ije?i=p j=1n∑ i=1x jaije?i=n∑ i=1? p j=1x jaij? e ?iLes coordonnées def(x)dansB?sont?
p j=1x ja1j,...,p j=1x janj?C"est à dire Mat
B,B?(f)×MatB(x)
PAUL MILAN3CPGE L1 -ALGÈBRE
1. MATRICE D"UNE APPLICATION LINÉAIRE
Exemple :Déterminer le noyau et l"image en même temps par opérations sur les colonnes. Soit l"endomorphismefde matrice dans la base canonique : A=(( 3 3 6 0 1 20 2 4))
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