Nous allons voir que dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, l' étude des applications linéaires se ramène à l'étude des matrices, ce qui facilite les
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Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3 Exercice 11 Soit un endomorphisme de ℝ 3 dont l'image de la base canonique
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22 mai 2014 · Cours d'algèbre linéaire 1 Espaces vectoriels 2 Applications linéaires 3 Matrices 4 Déterminants 5 Diagonalisation
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Nous allons voir que dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, l' étude des applications linéaires se ramène à l'étude des matrices, ce qui facilite les
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det a b c d = ad bc 2 3 Matrices et applications linéaires Si A est une matrice m ×n, on peut définir l'application suivante :
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On les équivalences suivantes : f est bijective ⇐⇒ Ker f = {0} ⇐⇒ Im f = E 5 Matrices associées aux applications linéaires Soient E et F deux espaces vectoriels
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à tout x ∈ E fait correspondre 0F le zéro de F, est une application linéaire ( Vous avez défini la somme A+B de deux matrices de même taille ainsi que le
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C = (f1, ,fp) une base de F (i) `A toute application linéaire u : E → F, on associe la matrice A ∈ Mp,n(K) exprimant les
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Puis, déterminer la matrice B de g dans les bases canoniques de R2 et R3 2) Calculer les matrices AB, BA, (AB)2 3) Montrer que AB est une matrice inversible
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La matrice de l'application linéaire f relativement aux bases B et B est la matrice dont les colonnes représentent les vecteurs f(−→e1 ),f(−→e2 ), ,f(−→ep )
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Matrices et
Ce chapitre est l"aboutissement de toutes les notions d"algèbre linéaire vues jusqu"ici : espaces vectoriels, dimension,applications linéaires, matrices. Nous allons voir que dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, l"étude des
applications linéaires se ramène à l"étude des matrices, ce qui facilite les calculs.1. Rang d"une famille de vecteurs
Le rang d"une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs.
1.1. Définition
SoientEunK-espace vectoriel etfv1,...,vpgune famille finie de vecteurs deE. Le sous-espace vectorielVect(v1,...,vp)
engendré parfv1,...,vpgétant de dimension finie, on peut donc donner la définition suivante :Définition 1(Rang d"une famille finie de vecteurs).
SoitEunK-espace vectoriel et soitfv1,...,vpgune famille finie de vecteurs deE. Lerangde la famillefv1,...,vpg
est la dimension du sous-espace vectoriel Vect(v1,...,vp)engendré par les vecteursv1,...,vp. Autrement dit :rg(v1,...,vp) =dimVect(v1,...,vp)
Calculer le rang d"une famille de vecteurs n"est pas toujours évident, cependant il y a des inégalités qui découlent
directement de la définition.Proposition 1. Soient E unK-espace vectoriel etfv1,...,vpgune famille de p vecteurs de E. Alors :1.06rg(v1,...,vp)6p : le rang est inférieur ou égal au nombre d"éléments dans la famille.
2.SiEest de dimension finie alorsrg(v1,...,vp)6dimE: le rang est inférieur ou égal à la dimension de l"espace
ambiant E.Remarque. Le rang d"une famille vaut 0 si et seulement si tous les vecteurs sont nuls. Le rang d"une famillefv1,...,vpgvautpsi et seulement si la famillefv1,...,vpgest libre.Exemple 1.
MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS2 Quel est le rang de la famillefv1,v2,v3gsuivante dans l"espace vectorielR4? v 1=0 B B@1 0 1 01 CCAv2=0
B B@0 1 1 11 CCAv3=0
B B@1 1 0 11 C CACe sont des vecteurs deR4donc rg(v1,v2,v3)64.
Mais comme il n"y a que 3 vecteurs alors rg(v1,v2,v3)63.Le vecteurv1est non nul donc rg(v1,v2,v3)>1.
Il est clair quev1etv2sont linéairement indépendants donc rg(v1,v2,v3)>rg(v1,v2) =2.Il reste donc à déterminer si le rang vaut2ou3. On cherche si la famillefv1,v2,v3gest libre ou liée en résolvant le
système linéaire1v1+2v2+3v3=0. On trouvev1v2+v3=0. La famille est donc liée. AinsiVect(v1,v2,v3) =
Vect(v1,v2), donc rg(v1,v2,v3) =dimVect(v1,v2,v3) =2.1.2. Rang d"une matrice
Une matrice peut être vue comme une juxtaposition de vecteurs colonnes.Définition 2. On définit lerangd"une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes.Exemple 2.Le rang de la matrice
A=1 212
02 41 0
2M2,4(K)
est par définition le rang de la famille de vecteurs deK2: v 1 =12,v2=24,v3=12
1 ,v4 =00ª. Tous ces vecteurs sont colinéaires àv1, donc le rang de la famillefv1,v2,v3,v4gest 1 et ainsi rgA=1.Réciproquement, on se donne une famille depvecteursfv1,...,vpgd"un espace vectorielEde dimensionn. Fixons
une baseB=fe1,...,engdeE. Chaque vecteurvjse décompose dans la baseB:vj=a1je1++aijei++anjen, ce que l"on notevj= 0 B B@a 1j ...aij ...anj1 C CA B . En juxtaposant ces vecteurs colonnes, on obtient une matriceA2Mn,p(K). Le rang de la famillefv1,...,vpgest égal au rang de la matriceA.Définition 3.On dit qu"une matrice estéchelonnéepar rapport aux colonnes si le nombre de zéros commençant une colonne
croît strictement colonne après colonne, jusqu"à ce qu"il ne reste plus que des zéros. Autrement dit, la matrice
transposée est échelonnée par rapport aux lignes.Voici un exemple d"une matrice échelonnée par colonnes; lesdésignent des coefficients quelconques, les+des
coefficients non nuls :0 BBBBBB@+0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
+0 0 0 0 +0 0 0 0 0 0 +0 01 CCCCCCA
Le rang d"une matrice échelonnée est très simple à calculer.Proposition 2. Le rang d"une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles.Par exemple, dans la matrice échelonnée donnée en exemple ci-dessus,4colonnes sur6sont non nulles, donc le rang
de cette matrice est 4.La preuve de cette proposition consiste à remarquer que les vecteurs colonnes non nuls sont linéairement indépendants,
ce qui au vu de la forme échelonnée de la matrice est facile. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS31.3. Opérations conservant le rangProposition 3.Le rang d"une matrice ayant les colonnesC1,C2,...,Cpn"est pas modifié par les trois opérations élémentaires suivantes
sur les vecteurs : 1. C i Ciavec6=0: on peut multiplier une colonne par un scalaire non nul. 2. C i Ci+Cjavec2K(et j6=i) : on peut ajouter à la colonne Ciun multiple d"une autre colonne Cj. 3. C i$Cj: on peut échanger deux colonnes.Plus généralement, l"opérationCi Ci+P i6=jjCjconserve le rang de la matrice.On a même un résultat plus fort, comme vous le verrez dans la preuve : l"espace vectoriel engendré par les vecteurs
colonnes est conservé par ces opérations. Démonstration.Le premier et troisième point de la proposition sont faciles.Poursimplifierl"écriture de la démonstration du deuxième point,montrons que l"opérationC1 C1+C2ne change pas
le rang. Notonsvile vecteur correspondant à la colonneCid"une matriceA. L"opération sur les colonnesC1 C1+C2
change la matriceAen une matriceA0dont les vecteurs colonnes sont :v1+v2,v2,v3,...,vp.Il s"agit de montrer que les sous-espacesF=Vect(v1,v2,...,vp)etG=Vect(v1+v2,v2,v3,...,vp)ont la même
dimension. Nous allons montrer qu"ils sont égaux! Tout générateur deGest une combinaison linéaire desvi, doncGF.Pour montrer queFG, il suffit de montrerv1est combinaison linéaire des générateurs deG, ce qui s"écrit :
v1= (v1+v2)v2.Conclusion :F=Get donc dimF=dimG.Méthodologie.Comment calculer le rang d"une matrice ou d"un système de vecteurs?
Il s"agit d"appliquer la méthode de Gauss sur les colonnes de la matriceA(considérée comme une juxtaposition
de vecteurs colonnes). Le principe de la méthode de Gauss affirme que par les opérations élémentairesCi Ci,
Ci Ci+Cj,Ci$Cj, on transforme la matriceAen une matrice échelonnée par rapport aux colonnes. Le rang de
la matrice est alors le nombre de colonnes non nulles.Remarque : la méthode de Gauss classique concerne les opérations sur les lignes et aboutit à une matrice échelonnée
par rapport aux lignes. Les opérations sur les colonnes deAcorrespondent aux opérations sur les lignes de la matrice
transposéeAT.1.4. Exemples
Exemple 3.
Quel est le rang de la famille des 5 vecteurs suivants deR4? v 1=0 B B@1 1 1 11 CCAv2=0
B B@1 2 0 11 CCAv3=0
B B@3 2 1 31C
CAv4=0
B B@3 5 0 11 CCAv5=0
B B@3 8 1 11 C CA On est ramené à calculer le rang de la matrice : 0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA En faisant les opérationsC2 C2+C1,C3 C33C1,C4 C43C1,C5 C53C1, on obtient des zéros sur la première ligne à droite du premier pivot :0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA0 BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CAMATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS4On échangeC2etC3par l"opérationC2$C3pour avoir le coefficient1en position de pivot et ainsi éviter d"introduire
des fractions.0 BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CAEn faisant les opérationsC3 C3+3C2,C4 C4+2C2etC5 C5+5C2, on obtient des zéros à droite de ce deuxième
pivot :0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CAEnfin, en faisant les opérationsC4 C4C3etC5 C52C3, on obtient une matrice échelonnée par colonnes :0
BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
1411 0 0
1616 0 01
C CAIl y a 3 colonnes non nulles : on en déduit que le rang de la famille de vecteursfv1,v2,v3,v4,v5gest 3.
En fait, nous avons même démontré que
1111
0146
001116
Exemple 4.
Considérons les trois vecteurs suivants dansR5:v1= (1,2,1,2,0),v2= (1,0,1,4,4)etv3= (1,1,1,0,0). Montrons
que la famillefv1,v2,v3gest libre dansR5. Pour cela, calculons le rang de cette famille de vecteurs ou, ce qui revient
au même, celui de la matrice suivante :0 BBBB@1 1 1
2 0 1 1 1 1 2 4 00 4 01
C CCCA. Par des opérations élémentaires sur les colonnes, on obtient : 0 BBBB@1 1 1
2 0 1 1 1 1 2 4 00 4 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
2211 0 0 2 22
0 4 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
2111 0 0 2 12
0 2 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
21 01 0 0 2 13 0 221 C CCCA
Comme la dernière matrice est échelonnée par colonnes et que ses3colonnes sont non nulles, on en déduit que la
famillefv1,v2,v3gconstituée de 3 vecteurs est de rang 3, et donc qu"elle est libre dansR5.Exemple 5.
Considérons les quatre vecteurs suivants dansR3:v1= (1,2,3),v2= (2,0,6),v3= (3,2,1)etv4= (1,2,2).Montrons que la famillefv1,v2,v3,v4gengendreR3. Pour cela, calculons le rang de cette famille de vecteurs ou, ce
qui revient au même, celui de la matrice suivante :0 @1 2 312 0 2 2
3 6 1 21
A Par des opérations élémentaires sur les colonnes, on obtient : 0 @1 2 312 0 2 2
3 6 1 21
A 0 @1 0 0 0 244 43 08 51
A 0 @1 0 0 024 0 0
3 08 51
A 0 @1 0 0 024 0 0
3 08 01
ALa famillefv1,v2,v3,v4gest donc de rang3. Cela signifie queVect(v1,v2,v3,v4)est un sous-espace vectoriel de
dimension 3 deR3. On a donc Vect(v1,v2,v3,v4) =R3. Autrement dit, la famillefv1,v2,v3,v4gengendreR3. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS51.5. Rang et matrice inversible
Nous anticipons sur la suite, pour énoncer un résultat important :Théorème 1(Matrice inversible et rang).
Une matrice carrée de taille n est inversible si et seulement si elle est de rang n.La preuve repose sur plusieurs résultats qui seront vus au fil de ce chapitre.
Démonstration.SoitAune matrice carrée d"ordren. Soitfl"endomorphisme deKndont la matrice dans la base
canonique estA. On a les équivalences suivantes :Ade rangn()fde rangn
()fsurjective ()fbijective ()Ainversible.Nous avons utilisé le fait qu"un endomorphisme d"un espace vectoriel de dimension finie est bijectif si et seulement s"il
est surjectif et le théorème sur la caractérisation de la matrice d"un isomorphisme.1.6. Rang engendré par les vecteurs lignes
On a considéré jusqu"ici une matriceA2Mn,p(K)comme une juxtaposition de vecteurs colonnes(v1,...,vp)et défini
rgA=dimVect(v1,...,vp). Considérons maintenant queAest aussi une superposition de vecteurs lignes(w1,...,wn).Proposition 4.
rgA=dimVect(w1,...,wn)Nous admettrons ce résultat. Autrement dit :l"espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes et l"espace vectoriel
engendré par les vecteurs lignes sont de même dimension.Une formulation plus théorique est quele rang d"une matrice égale le rang de sa transposée:rgA=rgAT
Attention! Les dimensionsdimVect(v1,...,vp)etdimVect(w1,...,wn)sont égales, mais les espaces vectoriels
Vect(v1,...,vp)et Vect(w1,...,wn)ne sont pas les mêmes.Mini-exercices. 1. Quel est le rang de la famille de vecteurs 121 ,342 ,021 ,221Même question pour1t1
t1t ,11t en fonction du paramètret2R. 2. Mettre sous forme échelonnée par rapport aux colonnes la matrice 0 @1 242102 4 2 0
1 121 11
A . Calculer son rang. Idem avec0 BB@1 7 2 5
2 1 1 5
1 2 1 4
1 4 1 21
C CA. 3.Calculer le rang de
0 @2 4571 3 1 2
1a2b1 A en fonction deaetb. 4. Calculer les rangs précédents en utilisant les vecteurs lignes. 5.Soitf:E!Fune application linéaire. Quelle inégalité relierg(f(v1),...,f(vp))etrg(v1,...,vp)? Que se
passe-t-il sifest injective? MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE62. Applications linéaires en dimension finieLorsquef:E!Fest une application linéaire et queEest de dimension finie, la théorie de la dimension fournit de
nouvelles propriétés très riches pour l"application linéairef.2.1. Construction et caractérisation
Une application linéairef:E!F, d"un espace vectoriel de dimension finie dans un espace vectoriel quelconque, est
entièrement déterminée par les images des vecteurs d"une base de l"espace vectorielEde départ. C"est ce qu"affirme le
théorème suivant :Théorème 2(Construction d"une application linéaire).SoientEetFdeux espaces vectoriels sur un même corpsK. On suppose que l"espace vectorielEest de dimension finien
et que(e1,...,en)est une base deE. Alors pour tout choix(v1,...,vn)denvecteurs deF, il existe une et une seule
application linéaire f:E!F telle que, pour tout i=1,...,n :f(ei) =vi.Le théorème ne fait aucune hypothèse sur la dimension de l"espace vectoriel d"arrivéeF.
Exemple 6.
Il existe une unique application linéairef:Rn!R[X]telle quef(ei) = (X+1)ipouri=1,...,n(où(e1,...,en)est
la base canonique deRn).Pour un vecteurx= (x1,...,xn), on a
f(x1,...,xn) =f(x1e1++xnen) =x1f(e1)++xnf(en) =n X i=1x i(X+1)i.Démonstration.
Unicité.Supposons qu"il existe une application linéairef:E!Ftelle quef(ei) =vi, pour touti=1,...,n. Pour
x2E, il existe des scalairesx1,x2,...,xnuniques tels quex=Pn i=1xiei. Commefest linéaire, on a f(x) =f nX i=1x iei =n X i=1x if(ei) =n X i=1x ivi. ()Donc, si elle existe,fest unique.
Existence.Nous venons de voir que s"il existe une solution c"est nécessairement l"application définie par l"équation
(). Montrons qu"une application définie par l"équation () est linéaire et vérifief(ei) =vi. Si(x1,...,xn)(resp.
y= (y1,...,yn)) sont les coordonnées dex(resp.y) dans la base(e1,...,en), alors (x+y) =f nX i=1(xi+yi)ei =n X i=1(xi+yi)f(ei) =n X i=1x if(ei)+n X i=1y if(ei) =f(x)+f(y).Enfin les coordonnées deeisont(0,...,0,1,0,...,0)(avec un1eni-ème position), doncf(ei) =1vi=vi. Ce qui
termine la preuve du théorème.2.2. Rang d"une application linéaireSoientEetFdeuxK-espaces vectoriels et soitf:E!Fune application linéaire. On rappelle que l"on notef(E)par
Imf, c"est-à-dire Imf=f(x)jx2E. Imfest un sous-espace vectoriel deF.Proposition 5.Si E est de dimension finie, alors :
Imf=f(E)est un espace vectoriel de dimension finie. Si(e1,...,en)est une base de E, alorsImf=Vectf(e1),...,f(en). La dimension de cet espace vectorielImf est appeléerang def:MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE7rg(f) =dimImf=dimVectf(e1),...,f(en)Démonstration.Il suffit de démontrer que tout élément deImfest combinaison linéaire des vecteursf(e1),...,f(en).
Soityun élément quelconque deImf. Il existe donc un élémentxdeEtel quey=f(x). Comme(e1,...,en)est
une base deE, il existe des scalaires(x1,...,xn)tels quex= nX i=1x iei . En utilisant la linéarité def, on en déduit que y=f(x) =n X i=1xif(ei), ce qui achève la démonstration.Le rang est plus petit que la dimension deEet aussi plus petit que la dimension deF, siFest de dimension finie :Proposition 6.
Soient E et F deuxK-espaces vectoriels de dimension finie et f:E!F une application linéaire. On a rg(f)6min(dimE,dimF).Exemple 7. Soitf:R3!R2l"application linéaire définie parf(x,y,z) = (3x4y+2z,2x3yz). Quel est le rang def?Si on notee1=100
,e2=010 ete3=001 , alors(e1,e2,e3)est la base canonique deR3. Il s"agit de trouver le rang de la famillefv1,v2,v3g: v1=f(e1) =f100
=32,v2=f(e2) =f010 =43,v3=f(e3) =f001 =21 ou, ce qui revient au même, trouver le rang de la matriceA=34 2
231Commençons par estimer le rang sans faire de calculs.
Nous avons une famille de 3 vecteurs donc rgf63.
Mais en fait les vecteursv1,v2,v3vivent dans un espace de dimension 2 donc rgf62. fn"est pas l"application linéaire nulle (autrement ditv1,v2,v3ne sont pas tous nuls) donc rgf>1.Donc le rang defvaut 1 ou 2. Il est facile de voir quev1etv2sont linéairement indépendants, donc le rang est 2 :
rgf=rgf(e1),f(e2),f(e3)=dimVect(v1,v2,v3) =2Remarque : il est encore plus facile de voir que le rang de la matriceAest2en remarquant que ses deux seules lignes
ne sont pas colinéaires.2.3. Théorème du rang
Le théorème du rang est un résultat fondamental dans la théorie des applications linéaires en dimension finie.