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F = {(x, y, z, t) ∈ IR4/(x + z = 0) ∧ (y + t = 0)} (1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de IR3 (2) Donner une base de F, déduire sa dimension Solution (1)

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Exercices d'Algèbre Solutions proposées par C BAJARD et S CHARLES Plan Un polynôme constant forme donc un système lié avec sa dérivée ?

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8 mar 2018 · consacrée à l'Algèbre, les exercices proposés traitent de la théorie des ensembles, des applications et leur classification, 10 2 Solutions avec k/ = 2k2 + 2k pour k ∈ Z donc n2 = 2k/ + 1 et par conséquent n2 est impair

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Exercice 1 3 (énoncés avec l'ensemble vide) Soit A une partie de R Soit P la Voyage sur l'île de Puro-Pira (à faire à la maison, les solutions seront mises en 

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Les exercices notés avec le symbole sont plus avancés que les autres; ils Posons f−1({y}) := {x ∈ R 5x + 17 = y} l'ensemble des solutions de cette équation

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1,−1,12,−12, donc l'équation proposée admet quatre solutions : 3,1,14,−10 Modulo 143, on retrouve les solutions obtenues avec le logiciel Maple Exercice  

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1 5 Solutions des équations différentielles linéaires du second ordre 4 9 Systèmes avec paramètres 66 4 10 Problèmes actuels 67 Exercices 69 Chapitre 

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Exercice 1 On se donne un nombre entier n, une partie non vide A de N et des fonctions f et Recommencer avec a = 1 111 111 111 et b = 123 456 789 (c'est moins Montrer que les équations suivantes n'ont pas de solutions entières, 

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(6) ({A ∈ M(n;Z) dét(A) = 0},·), avec · la multiplication des matrices Exercice* 1 8 Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne associative qui 

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Révisions – Algèbre linéaire Exercice 1 1 donner la nature de l'ensemble des solutions du système AiX = bi ; Par exemple avec la formule de Cramer x =

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Fiche de Biostatistique

Exercices d'Algèbre

Solutions proposées par C. BAJARD et S. CHARLES Plan

INDÉPENDANCE, GÉNÉRATEUR, DIMENSION, BASES........................................................2

MÉTHODE DU PIVOT........................................................................ PRODUITS SCALAIRES........................................................................ .....................................6

ORTHONORMALISA

TION.........................

....................10 APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTE

URS.................................13

Biostat

istique / exo3cor.doc /Page 1 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/exos/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 Indépendance, générateur, dimension, bases ? Dans un espace vectoriel E, si a, b, c et d sont des vecteurs indépendants, alors a - b, b - c, c - d et d - a sont des vecteurs indépendants. FAUX (a - b) + (b - c) + (c - d) + (d - a) = 0. ? Dans , les vecteurs (2, 14, -34, 7), (1, 4, -5, 2) et (1, 2, 3, 1) engendrent un sous- 4 espace vectoriel de dimension 2. VRAI

211115110

14422 0 02 0 0

rgrgrg

3453311 55311 0

721100100

abcacbb2cca7cabcc5b 2 Les vecteurs engendrent un sous-espace de dimension 2. Nous avons utilisé ici la triangulation de la matrice dont les colonnes sont les vecteurs a,b,c a,b,c, et le fait qu'on ne change pas un sous-espace vectoriel engendré en :

1. Permutant les vecteurs ;

2. Multipliant un vecteur par un scalaire non nul ;

3. Remplaçant un vecteur par une combinaison linéaire des autres vecteurs.

? Dans un espace vectoriel E, si a et b sont des vecteurs indépendants et si a et c sont des vecteurs indépendants, alors a, b et c sont des vecteurs indépendants. FAUX Si on prend par exemple a = (1,0), b = (0,1) et c = (1,-1). Alors a et b sont indépendants, a et c sont indépendants, mais a = b + c donc {a, b, c} est liée. Remarque : comme on a pris a, b et c dans le plan, on sait immédiatement qu'ils sont liés. Biostatistique / exo3cor.doc /Page 2 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ? Un espace vectoriel ne peut pas être constitué d'un nombre fini d'éléments. FAUX 0E est un e.v. avec un nombre fini d'éléments. Remarque : C'est le seul exemple parmi les e.v. sur un corps K infini, car si xE et , alors 0x . ,KxE ? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de dans . FAUX

Si on prend par exemple

:0,10,1f définie par 12fx, alors la fonction 3f n'est pas une fonction de [0,1] dans [0,1] : 33fx2.

? On note E l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

3. E est un espace vectoriel sur . Dans E, un polynôme et sa dérivée forment toujours

un système libre. FAUX Le polynôme nul ou les polynômes constants ont pour polynôme dérivé le polynôme nul. Un polynôme constant forme donc un système lié avec sa dérivée. ? Les vecteurs colonnes de la matrice

2132113

0214115

4239717

23452223

sont indépendants.

FAUX : Ce sont 6 vecteurs de .

4 Biostatistique / exo3cor.doc /Page 3 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1

Méthode du pivot

Donner la dimension et une base des sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes des matrices :

15102131322132

26345132640214

26433115504239

150110311622345

abcd

1510151115191519

263422636226439226439

rgrgrgrg4

2643221452210022100

1501100010001000

a aa=a a=a bb=b+5cb=b c=4c-b+d-4 cc=c d=4d-5 dd=d+a a=a b=b c=c cd=39d-4c

Les quatre vecteurs colonnes forment une base.

213344

513355

brgrg2

311111

1031100

a=ca bb=b-3 c c=a-10c-7 c-2 Le sous-espace engendré par les vecteurs colonnes est de dimension 2 ; une base possible est formée des vecteurs 3,3,1,1, et 4,5,1,0.

132130131

264260262

crgrgrg3

550551550

162100100

21051
aa=aa=a bb=b-3cb=b cc=c-ac=c5 b

Les trois vecteurs colonnes forment une base.

Biostatistique / exo3cor.doc /Page 4 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1

2132131213144131450

021404110419904190

drgrgrgrg

4239215221002100

2345100010001000

2 d5a c4ac5b d3a2ddd2b 4 a=aaa=a b=bb=b c=cc b a b c d19d9 a b c c

Les quatre vecteurs colonnes forment une base.

? La matrice 20121
02112
21210
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2