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Algèbre générale

I. T HÉORIE DES ENSEMBLES,RELATIONS D"ÉQUIVALENCE 1) Montr erqu"un ensemble Eest infini si et seulement si il existe une bijection deEsur un de ses sous-ensembles stricts. 2) (a) Soit Eun ensemble, et(Si)i2Iune famille quelconque de relations d"équivalence surE. Montrer que la relation binaireSdéfinie surEpar :

8(x;y)2E2xSy()(8i2I)xSiy

est encore une relation d"équivalence. Décrire les classes d"équivalence pour cette relationS.

(b) Si SetRsont deux relations d"équivalence sur le même ensembleE, la relationTdéfinie par :

8(x;y)2E2xTy()xSyouxRy

est-elle encore une relation d"équivalence surE?

3)?SoitEun ensemble,Aune partie deE. On définit la relationRsurP(E)par :

XRY()X[A=Y[A

(a) Montr erque Rest une relation d"équivalence, et décrire la classe d"équivalence deXE. (b) Soit f:P(E)!P(EnA)définie parf(X) =X\(EnA). Montrer quefest constante sur les classes moduloR, et écrire la décomposition canonique def. II.

G ROUPES

1) Un sous-gr ouped"un gr oupepr oduitest-il nécessair ementpr oduitde deux sous-gr oupes?

2)FSoitHetKdeux sous-groupes d"un groupeG. À quelle conditionH[Kest-il un sous-groupe deG?

3)

Les gr oupes(?;+)et(?;)sont-ils isomorphes ?

4)F?Théorème de Lagrange

SoitHun sous-groupe d"un groupefini(G;?).

(a) Montr erque les ensembles aH=fah;h2Hg, aveca2G, ont tous le cardinal deH. (b) Montr erque si aeta0sont deux éléments deG,aHeta0Hsont confondus ou disjoints. (c) En déduir eque le car dinalde Hdivise celui deG: c"est lethéorème de Lagrange. (d) Montr erque tout élément de Gest d"ordre fini, et que cet ordre divise le cardinal deG. III.

G ROUPES CYCLIQUES

1)F?Soit(G;?)un groupe cyclique de générateura, etHun sous-groupe deG.

(a) Justifier l"existence d"un plus petit entier natur elnon nul ntel quean2H. (b)

Montr erque Hest le groupe engendré paran.

2) Soit Gun groupe cyclique de cardinaln. Montrer que, pour tout diviseurdden,Gadmet un unique sous-groupe de cardinald.

3)?Morphismes entre groupes cycliques

SoitGun groupe cyclique, engendré para,G0un autre groupe eta02G0. Montrer qu"il existe un morphisme'deGdansG0tel que'(a) =a0si et seulement sia0est d"ordre fini divisant l"ordre dea. Application : trouver les morphismes de?=n?dans?,?et?=p?.

4)KGroupe quasi-cyclique de Prüfer

Soitpun nombre premier. On pose :Gp=n

z2?;(9k2?)zpk= 1o (a)

Montr erque Gpest un sous-groupe de(?;).

(b) Montr erque les sous-gr oupespr opresde Gpsont cycliques et qu"aucun d"eux n"est maximal pour l"inclusion. (c) Montr erque Gpn"est pas engendré par un système fini d"éléments. IV.

G ROUPE SYMÉTRIQUE

On rappelle que la notation(x1;x2;:::;xk)désigne le cycle d"ordrekdeSn, envoyantx1surx2,x2surx3,...,

x ksurx1, et laissant invariants tous les autres éléments def1;2;:::;ng. D"autre part, on notei;jle cycle à deux éléments(i;j), qu"on nommetransposition.

1)?FGénérateurs deSn

(a) Montr erque pour n>2,Snest engendré par les1;i,26i6n. (b) Montr erque pour n>2,Snest engendré par lesi;i+1,16i6n1. (c) Quel est le nombr eminimum de transposition d"une famille génératrice de Sn? (d) Montr erque, pour n>3,= (1;2)et= (1;2;:::;n)engendrentSn. (e) Existe-t-il une partie génératrice de Snformée d"un seul élément ? 2) Quel est l"or dremaximum d"une per mutationde S10? 3)

Pour 2Sn, on posef() =nX

k=1k(k). Calculermin2Snf()etmax2Snf(), ainsi que les permutations réalisant ces extremums.

4)?Trouver lecentredeSn(c"est-à-dire l"ensemble des permutations qui permutent avectoutesles

permutations).

Indication : pour2S, calculer(a;b)1.

5)?Morphismes deSndans?

Trouver tous les morphismes de groupe deSndans?.

Indication : Montrer à l"aide de conjugaisons que toutes les transpositions ont même image par un tel

morphisme. V.

A NNEAUX,CORPS,IDÉAUX

1)

T rouverles morphismes de gr oupesde

?k;+dans(?;+), puis les morphismes d"anneaux de?k;+; dans(?;+;).

2)?L"anneau des décimaux

On note?[1=10]l"ensemble des nombres décimaux. Vérifier que?[1=10]est un sous-anneau de?.

Démontrer qu"il est principal (ce qui signifie que tous ses idéaux sont principaux, i.e. de la forme

x?[1=10], oùxest un décimal).

3)KExtensions quadratiques de?

Pour2?, dont on suppose qu"il n"est divisible par aucun carré autre que1, on note?p l"ensemble p =x+yp;(x;y)2?2 (a)

Montr erque :

x+yp=x0+y0p ()(x=x0ety=y0). (b) Montr erque, muni de la somme et du pr oduitusuels, ?p est un corps commutatif contenant strictement?. On dit que?p est uneextension quadratiquede?. (c) Soit P2?[X]. Montrer que six+ypest racine de?, il en est de même dexyp. Ce résultat vous rappelle-t-il quelque chose ? (d)Soit etdeux entiers sans facteurs carrés. Montrer que?p et?p sont isomorphes si et seulement sipest entier.

4)?Anneau des suites stationnaires

SoitAl"ensemble dessuites stationnaires à valeurs dans?, muni des opérations usuelles. (a)

Montr erque Aest un anneau.

(b)

Cher cherles morphismes d"anneaux de Adans?.

(c)

Soit Ile sous-ensemble formé par les suites presque nulles. Montrer que c"est un idéal deA, non

principal.

5)Anneaux de BooleSoitEun ensemble etA=P(E).

(a) Montr erque (A;;\)est un anneau commutatif. Est-il intègre ? (b) Soit Iun idéal deA. Montrer que :(8X2I)(8YX)Y2Iet8(X;Y)2I2X[Y2I. (c)

En déduir eque I=P(E0), avecE0E.

(d)

Étudier la récipr oque.

(e) Si Eest infini, montrer queI=fparties finies deEgest un idéal deAqui n"est pas de la forme

P(E0).

6)Théorème de Gauss

SoitAun anneau commutatif. Siaetbsont deux éléments deA, on dit queadivisebsin2aA, et que aest premier avecbsiaA+bA=A. Montrer que siaest premier avecbet divisebc, alorsadivisec.

7)?FIndicatrice d"Euler

Pourn2?, on note'(n)le nombre d"éléments inversibles dans(?=n?;+;). (a)

Calculer '(p), puis'(p), pourppremier et2?.

(b) Soit metnpremiers entre eux. Montrer que l"applicationf:?=mn?!?=n??=m?;x7!(^x;ex)est bien définie et réalise un isomorphisme d"anneaux.

En déduire que'(mn) ='(m)'(n).

(c) Exprimer '(n)à l"aide de la décomposition en produit de facteurs premiers den. (d)

Montr erque pour tout a2(?=n?),a'(n)= 1.

8)FIndicatrice d"Euler, suite

Pourn2?, on note'(n)le nombre de générateurs de(?=n?;+). (a) Montr erque cette définition est compatible avec celle de l"exer ciceprécédent. (b) Montr erque si Hest un sous-groupe de(?=n?;+), il existeadivisantntel queH=hai. (c) Montr erque pour tout djn, il existe un unique sous-groupeHde(?=n?;+)d"ordred, et que ce sous-groupe possède exactement'(d)éléments d"ordred. (d)

Montr erque pour tout n2?,X

djn'(d) =n. VI.

A RITHMÉTIQUE DANS?

1)?FBig number !

Quel est le chiffre des unités de7777777

? (oui oui, comptez bien, il y a7étages !)

2)FAnother big number !

SoitAla somme des chiffres de44444444,Bla somme des chiffres deA. Que vautC, somme des chiffres deB?

3)?Soitdetmentiers. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu"il existeaetbentiers

tels quea^b=deta_b=m.

Application :résoudre le système :a^b= 50

a_b= 600

4)Résoudr el"équation : x_yx^y= 243.

5)FNombres de Mersenne et de Fermat

(a)Nombres de Mersenne Soienta >2etn >2deux entiers. Sian1est premier, montrer quea= 2et quenest premier. (b)Nombres de Fermat Soitn2?. Si2n+ 1est premier, montrer quenest une puissance de2.

6)FUne propriété des nombres de Fermat

Pourm2?, on poseFm= 22m+ 1. Montrer que sim6=n,FmetFnsont premiers entre eux. En déduire une nouvelle démonstration du fait que l"ensemble des nombres premiers est infini.

7)FSoitpun nombre premier. Quel est le nombre de carrés dans?=p??

8)?KThéorème chinois

Soitm1;m2;:::;mppentiers (p>2) premiers entre eux deux-à-deux. On poseM=m1m2:::mp, et pour

16i6p,Mi=Mm

i. (a) Soit i2[[1;p]]. Montrer quemietMisont premiers entre eux. En déduire l"existence debi2?tel queMi:bi1(modmi). (b) Soit a1;a2;:::;apdes entiers quelconques. Montrer quex0=pX i=1M ibiaiest solution du système de congruences : (S) :8 >:xa1(modm1) xa2(modm2)... xap(modmp) (c)

T rouvertoutes les solutions du système (S).

(d) Retr ouverainsi l"existence d"une isomorphisme de (?=M?;+)sur?=m1??=m2? ?=mp?.

9)Histoire de gros sous

Une bande de 17 pirates dispose d"un butin composé deNpièces d"or d"égale valeur. Ils décident de se

le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces.

Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants

comme précédemment; le cuisinier reçoit alors 4 pièces.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28