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Première S. Devoir commun de Mathématiques

Durée de l"épreuve : 4 heures

L"usagede la calculatrice est autorisé.

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants et est noté sur 20 points. Les questions hors barème peuvent rapporter jusqu"à 3 points supplémentaires. Dans chaque exercice, il est possible d"admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à conditionde l"indiquer clairement sur la copie. Le graphique de l"exercice 4 està rendre avecla copie.

L"élève est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou

non fructueuse, qu"il aura développée. Il est rappelé que laqualité de la rédaction, la clarté

et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l"appréciation des copies.

Exercice 1(4 points).

PartieA. Obligatoire :

Pour chacune des affirmations suivantes, numérotées de 1 à 8,dire si elle est vraie ou fausse.

Justifier la réponse. Aucun point ne sera attribué sans justification.

1°) La suiteudéfinie parun=-(n+1)×(n+2)×(n+3) est strictement décroissante.

2°) La suiteudéfinie paru0=1 etun+1=2+1

u2n(n≥0) est strictement croissante.

3°) Siuest une suite à termes non nuls et si pour tout entier natureln, on aun+1

un<1, alors uest strictement décroissante.

4°) La suiteudéfinie parun=1+3n

4est arithmétique.

5°) La somme des 100 premiers termes de la suite arithmétiquede raison 5 et de premier

terme 3 est égale à 25300.

6°) La suite géométriqueuvérifiantu0=-3 etu21=6291456a pour raisonq=2.

7°) Siuetvsont deux suites géométriques, alors la suiteuvde terme généralun×vnest

géométrique.

8°) Toute suite géométrique de raisonq>1 et de premier terme non nul est strictement

monotone.

PartieB. Hors barème (2 points) :

Soit la suiteudéfinie paru0=-3 etun+1=-5un+6

2un+2(n≥0).

1°) Démontrer que la suitevde terme généralvn=2un+3

un+2est géométrique.

Donner sa raison et son premier terme.

2°) En déduire l"expression dev, puis celle deuen fonction den.

1

Exercice 2(3,5 points).

Rappel :

Dire qu"une fonctionvest dérivable en un réelade son domaine de définition signifie que lim h→0v(a+h)-v(a) h=v?(a)?R.

1°) Soitvla fonction définie surR+=[0;+∞[ parv(x)=?

x. Démontrer que pour tout réela>0, on av?(a)=1 2?a.

2°) Application :

On notefla fonction définie parf(x)=(x2-20)?x.

On se propose de dresser le tableau de variationscompletde cette fonction. a) Quel est le domaine de définition def? Justifier. b) Déterminer les limites defaux bornes de son domaine de définition. c) Calculerf?(x), puis étudier son signe. d) En déduire le sens de variation defsur son domaine de définition. e) Conclure.

Exercice 3(4 points).

Dans un repère orthogonal du plan,Cfdésigne la courbe représentative de la fonctionf définie surR-{2} par f(x)=x2-3x+6 x-2.

1°) Etudier les limites defaux bornes de son ensemble de définition.

2°) Que peut-on en déduire pour la courbeCf?

3°) Déterminer les réelsa,betctels que pour tout réelx?=2,

f(x)=ax+b+c x-2.

4°) En déduire que la droite D d"équationy=x-1 est asymptote oblique à la courbeCfen

+∞et en-∞.

5°) Etudier la position relative deCfpar rapport à D.

6°) Montrer que pour toutx?=2,

f ?(x)=x(x-4) (x-2)2, puis étudier son signe.

7°) Dresser le tableau de variationscompletdef.

8°)Hors barème (1 point) :Donner l"approximationaffine locale def(x) pourxvoisin de 3.

En déduire une valeur approchée def(2,9999). 2 NOM et Prénom:.............................Classe :...............

Exercice 4(3,5 points).

Sur le graphique ci-dessous :

-Cfdésigne la courbe représentatived"une fonctionfdéfinie et dérivable surR-{1}; - T est la tangente àCfau point d"abscisse 2. O 11 C fΔ 1 2T

1°) Donner une équation deΔ1. Déterminer une équation deΔ2.

2°) En déduire les quatre limites defaux bornes de son domaine de définition.

3°) Liref(2) etf?(2). En déduire une équation de T.

4°) Sachant quef?(-3)=-3

4, tracer sur le graphiquela tangenteàCfau pointd"abscisse -3.

5°) Dresser le tableau de variations def, puis le tableau de signes def?(x).

3

Exercice 5(5 points).

On se donne un triangledirect DEF rectangle en D et tel que DE=3 et DF=4. On note - G le barycentre de (E,4) et (F,3); - H le barycentre de (E,4) et (F,-3); - I le point défini par DI=1

3-→DE;

- J le point défini par EJ=4

5-→EF.

1°) Sur une page entière qui sera complétée tout au long de l"exercice, tracer le triangleDEF

dans le quadrant supérieur gauche, puis placer les points G,H, I et J.

2°) On noteEl"ensemble des points M tels que

(4 L"objectif de cette question est de démontrer queEest le cercleCde diamètre [GH]. a) Expliquer pourquoiEest exactement l"ensemble des points M tels que--→MG·--→MH=0. b) Si M est un point deCdistinct de G et H, quelle est la nature du triangleGMH? En déduire que tout point deCest aussi un point deE. c) Montrer que pour tout point M, on a où O désigne le milieu de [GH]. En déduire que tout point M deEest aussi un point deC. d) Conclure, puis tracerE.

3°) Dans cette question, les coordonnées de points sont relatives au repère orthonormal

(D;1

3-→DE,14-→DF).

a) Quelles sont les coordonnées des points D, E et F? b) Calculer les coordonnées des points G et H. c) Utiliser les questions précédentes pour montrer que D estun point deE.

4°) L"objectif de cette question est de proposer uneconstructiondu point K, barycentre de

(D,1) et (F,2). a) Exprimer I comme barycentre de D et E, puis J comme barycentre de E et F. b) Démontrer que les droites (DJ), (EK) et (FI) sont concourantes. c) Construirele point K. 4quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37