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Rappelsd'algèbrelinéaire

sonscelaenquatreparties: -Espacesvectoriels-Bases, -Applicationslinéaires-Matrices, -Déterminant-Trace,

0.1Espacesvectoriels-Bases

0.1.1Espacesvectoriels

x=0 B B B B B B @x 1 x 2 xn1 C C C C C C

Aouencore:x=nX

i=1x iei,avecei=ij=1sii=j,0sinon.

Lesxisontlescomposantesduvecteurx.

basedel'espacevectoriellRn.

Définition0.1.1:(Espacevectoriel)

conditionssuivantessontvérifiées: -8x;y2E=)x+y2E, 1 -8x2E;82lR(oulC)=)x2E, (x+y)=x+y (+)x=x+x distributivité ()x=(x)=(x)associativité

0:x=0élément"zéro"

1:x=xélémentneutre

Remarque

Eetstableparcombinaisonlinéaire:

-F6=; -8x;y2F=)x+y2F, -8x2F;82lR(oulC)=)x2F.

Exercice

espace(unedroite)vectorieldelRn.

0.1.2Bases

-génératriceet -libre(indépendancelinéaire).

Remarque

si kX i=1 ixi=0alorsi=0;i=1;k:

Exercice

Etenfin...dansunespacededimensionn:

-toutefamillelibreaauplusnvecteurs, 2

0.2Applicationslinéaires-Matrices

0.2.1Applicationslinéaires

SoitEunespacevectoriel.

8x;y2E;f(x+y)=f(x)+f(y);

8x2E;82lR(oulC);f(x)=f(x):

Lenoyaud'uneapplicationlinéairefest:

Kerf=fx2E=f(x)=0g:

L'imaged'uneapplicationlinéairefest:

Imf=fy2E=9x2E;f(x)=yg:

Exercice

festinjectivesietseulementsi: sif(x)=f(x0)alorsx=x0

Exercice

:MontrerquesifestinjectivealorsKerf=f0g. festsurjectivesietseulementsi:

8y2E;9x2E;f(x)=y;

ouautrementditsietseulementsiImf=E. finjective()Kerf=f0g ()Imf=Ef()surjective ()fbijective

Soitfe1;e2;:::;engunebasedelRn.

3

8i=1;n:f(ei)=nX

j=1 j(ei)ej nX j=1a jiejavecaji=j(ei)(notation)

Exercice

:Enpartantdey=f(x)avecx=nX i=1x ieiety=nX i=1y iei,faitesapparaitrela matricereliantyàx: n X j=1y jej=y=f(x)=f(nX i=1x iei) nX i=1x if(ei) nX i=1x in X j=1a jiej

Ainsipourchaqueej,nousavons:

y j=nX i=1x iaji

écritplushabituellement:

y i=nX j=1a ijxj

NousavonsainsilamatriceAsuivante:

A=0 B B B B B B @a

11a12:::a1n

a

21a22:::a2n

a n1an2:::ann1 C C C C C C A

Remarque

aussidelabasedanslaquelleonl'écrit!

Changementdebasesurunematrice:

4

SoientdeuxbasesdelRn:

fe1;e2;:::;engetn e0 1;e0

2;:::;e0

n:o

Chaquevecteure0

e 0 i=nX j=1S j(e0 i)ej i)): S=0 B B B B B B @S

11S12:::S1n

S

21S22:::S2n

S n1Sn2:::Snn1 C C C C C C A

Remarque

:Laièmecolonnedonnelescomposantesdee0 idanslabasefe1;e2;:::;eng.

DoncImSestengendréparlesvecteurse0

ImS=E()surjective()bijective

Sestdoncinversible,d'où:

8i=1;n;e0

i=Sei

8i=1;n;ei=S1e0

i

Remarque

e0 1;e0

2;:::;e0

n:o

Exercices

1.Soitx2lRnt.q.x=nX

i=1x iei=nX i=1x0 ie0 i.Développerlarelationentrexietx0 i. A

0danslabasen

e0 1;e0

2;:::;e0

n:o suivante:

Y=AXdanslabasedesei:

Y

0=A0X0danslabasedese0

i: 5

LeproduitdedeuxmatricesC=AB(Cij=nX

k=1A ikBkj)necorrespondpasauproduitde y=fog(x)=f(g(x))

Y=ABX=A(BX):

Ainsi,toutcommefog6=gof:AB6=BA.

-TransposéedelamatriceA: A T=

A=tA=)(AT)ij=aji:

-Asymétrique:A=AT. -Ahermitienne:A=A;(A)ij=

8A:A=A+AT

2+AAT2symétriqueantisymétrique

-Adiagonale:aij=0;8i6=j. -Atriangulairesupérieure:aij=0;8i>j. -et: (AT)T=A; (A+B)T=AT+BT; (A)T=AT; (AB)T=BTAT; (A1)T=(AT)1:

0.3Déterminant-Trace

Lesinvariants.

6

0.3.1Déterminant

detA=X

2Sn(1)jja1;(1)a2;(2):::an;(n)

-detI=1(Imatriceidentité), -detA=detAT;detA= detA, -detAB=detAdetB=detBA, -det(A1)=1 detAsidetA6=0c.a.d.siA1existe, i=1a ii.

Exercices

0.3.2Trace

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