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c) Signe d'une puissance Propriété : Pour tout nombre entier relatif n, • Si a est positif alors an est positif • Si a est négatif alors an est positif lorsque l'exposant
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Ecriture d'une puissance de dix en écriture décimale • Si l'exposant de 10 est positif, il est égal au nombre de zéros qui suivent le 1 dans la notation décimale
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CHAPITRE 5 : PUISSANCES
I.- PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER
a) Exposant positifDéfinition :
Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a : an = a × a × ... × a n facteurs an est la puissance d'exposant n du nombre a et se lit " a exposant n » ou " a puissance n ».Exemples :
•35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 •(- 4,5)3 = (- 4,5) × (- 4,5) × (- 4,5) = - 91,125 •(1 2)4 =12×1
2×1
2×1
2=1 16Convention :
a étant un nombre relatif, on a : a1 = a et a0 = 1, pour a ≠ 0.Exemples :
(- 2,1)1 = - 2,1 (1 5)0 =1b) Exposant négatifDéfinition :
Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a non nul : a-n = 1 an = 1 a×a×...×a = (1 a)n n facteurs a-n est la puissance d'exposant - n du nombre a et l'inverse du nombre an.Exemples :
•3-2 = 132 = (1
3)2 = 1 9 (2 3)-3 =1 (2 3)3= (3 2)3 =278•(-1,8)-4=1
(-1,8)4= (1 -1,8)4 =110,4976
(1 4)-5 =1 (14)5=45=1024c) Signe d'une puissance
Propriété :
Pour tout nombre entier relatif n,
•Si a est positif alors an est positif. •Si a est négatif alors an est positif lorsque l'exposant n est pair, et négatif lorsque l'exposant n est impair.Exemples :
•7 est un nombre positif donc 7-5 est positif. •- 3 est négatif et 8 est pair donc (- 3)8 est positif. •- 7,1 est négatif et 4 est pair donc (- 7,1)-4 est positif. •- 4 est négatif et 11 est impair donc (- 4)11 est négatif. -12 est négatif et 5 est impair donc (-1
2)-5 est négatif.
II.- PUISSANCES DE 10
a) Écriture décimaleDéfinition :
Pour tout nombre entier n positif non nul,
- l'écriture décimale de 10n comporte n zéros après le 1 :10n = 10 × 10 × ... × 10 = 100...0
n facteurs n zéros - l'écriture décimale de 10-n comporte n zéros avant le 1 :10-n = 1
10n = 0,00...01
n zérosExemples :
•103 = 1 000 •105 = 100 000•10-2 = 0,01 •10-6 = 0,000 001 c) Calculs avec des puissances de 10Propriétés :
Si n et p sont deux nombres entiers relatifs :
•10n×10p=10n+p •10n10p=10n-p•
(10n)p=10n×pExemples : •103×1011=103+11=1014 •109106=109-6=103
•10-210-13=10-2-(-13)=1011
•(10-2)-3=10-2×(-3)=106III.- ÉCRITURE SCIENTIFIQUEDéfinition :
La notation scientifique d'un nombre décimal non nul est la seule écriture de ce nombre sous la forme a×10n
où :•a est un nombre décimal dont la distance à zéro est comprise entre 1 (inclus) et 10 (exclus) ;
•n est un entier relatif.