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de la grammaire, les différents types de grammaire et la diversité des situations d' langue étrangere, la présence de la grammaire est un fait indiscutable

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langues maternelles et celles des langues étrangères, la grammaire du FLE évidemment, les deux types de grammaire restent attachés, notamment, par leur  

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Les proto-mots d'une grammaire G = 〈N, r, P, S〉 sont des mots construits sur l' alphabet r ∪ N, on les définit récursivement de la façon suivante : S est une proto - 

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Th

´eorie des langages

Alexis Nasr

Lemme de l"

´etoile

SoitLun langage r´egulier. Il existe un entierk, appel´e longueur de pompage, tel que tout motw2Lde longueurkpeut s"´ecrire sous la formew=xyzavec :1jxyj k,2jyj>0,3xyiz2Lpour touti0.

Preuve

SoientAun AFD reconnaissantLetkle nombre d"´etats deA.

Soitw=w1,n=w1...wnun mot deLde longueurn.Notons

(q0,w1,n)`(q1,w2,n)` `(qn1,wn,n)`(qn,#)

la suite de mouvements queAeffectue surw.Sink, cette suite passe deux fois par le mˆeme´etat!Autrement dit, il existeqi,qjdans cette suite tels que

0i (q0,w1,n)` ` f(qi1,n)` `(qj,wj+1,n)gt` `(qn,#) reconna ˆıt aussi un mot deL(f(qi1,n)` `(qj,wj+1,n)gt d

´enote le fait que cette s´equence est r´ep´et´eetfois).Notonsx=w1,i,y=wi+1,jetz=wj+1,n.Alorsxytz2Lpour chaquet, etjxyj k,jyj>0.

L=anbnn"est pas r´egulierConsid

´erons queLest r´egulier, soitkla longueur de pompage.Soitsla chaineakbkL ´etant r´egulier etjsj>kalorssdoit s"´ecrires=xyzavec

8i0,xyiz2LMontrons que cela est impossible :

1Siyn"est compos´e que dea, alorsxyyz/2Lcarxyyzcontient plus

deaque deb2Siyn"est compos´e que debon aboutit aussi`a une contradiction3Siycontient desaet desbalorsxyyzn"est plus de la formeanbnDonc, si on consid

`ere queLest r´egulier, on aboutit`a une contradiction.Ln"est donc pas r´egulier!

Grammaires de r

´e´ecriture

Une grammaire de r

´e´ecriture est un 4-uplethN,S,P,Sio`u :Nest un ensemble desymboles non terminaux , appel´e l" alphabet non terminal .Sest un ensemble desymboles terminaux ,appel ´e l"alphabet terminal , tel queNetSsoient disjoints.Pest un sous ensemblefini de : (N[S)N(N[S)(N[S) un ´el´ement(a,b)deP, que l"on notea!best appel´e uner `egle de production ou r `egle de r´e´ecriture. aest appel´e partie gauche de la r`egle

best appel´e partie droite de la r`egleSest un´el´ement deNappel´e l"axiomede la grammair e.

Notation

Pour all

´eger les notations, on note :

a!b1jb2j...jbn lesnr`egles : a!b1,a!b2,...,a!bn

Proto-mots d"une grammaire

Les pr oto-mots d"une grammair eG=hN,S,P,Sisont des mots construits sur l"alphabetS[N, on les d´efinit r´ecursivement de la fac¸on suivante :Sest une proto-mot deGsiabgest une proto-mot deGetb!d2Palorsadgest une proto-mot deG. Une proto-mot deGne contenant aucun symbole non terminal est appel ´e un mot g´en´er´e parG. Lelangage g ´en´er´e parG, not´eL(G)est l"ensemble des mots g

´en´er´es parG.

D

´erivationL"op

´eration qui consiste`a g´en´erer une proto-motadg`a partir d"une proto-motabget d"une r`egle de productionrde la forme b!dest appel´ee l"op´eration ded ´erivation. Elle se note`a l"aide d"une double fl `eche : abg)adgOn noteak)bpour indiquer quebse d´erive deaenk´etapes.On d ´efinit aussi les deux notations+)et)de la fac¸on suivante :a +)bak)baveck>0a )bak)baveck0

Langage g

´en´er´e par une grammaireL(G)est d´efini de la fac¸on suivante : L(G) =fm2SjS+)mgDeux grammairesGetG0sont´equivalentes siL(G) =L(G0). L

1=f#,a,aa,aaa,...g

G=hfSg,fag,fS!Saj#g,Si

Sous-ensemble des proto-mots deG

S HH #Sa HH a Saa HHH aa Saaa HH aaa Saaaa L

2=f#,ab,aabb,aaabbb,aaaabbbb,...g

G=hfSg,fa,bg,fS!aSbj#g,Si

Sous-Ensemble des proto-mots deG

S HHH #aSb HHH ab aaSbb HHH aabb aaaSbbb L

3=faa,bb,aaaa,abba,baab,bbbb,...g

G=hfSg,fa,bg,fS!aSajbSbjaajbbg,Si

Sous-Ensemble des proto-mots deG

S P

PPPPPPPPPP

aSa @@PPPPP aaSaaaaaaabba abSbaaabb bSb @@PPPPP baSabbaabbbbb bbSbb L

4=f#,abc,aabbcc,aaabbbccc,...g

bbg,Si.

Sous-Ensemble des proto-mots deG

SaS 1c HHHH abcaSS2caaS 1cS2c HHH aabcS

2caabS

2ccaabbccaaSS

2cS2c

Sens de d

´erivation

G=hfE,T,Fg,f+,,ag,fE!T+EjT,T!FTjF,F!ag,EiLes proto-mots g ´en´er´ees lors d"une d´erivation peuvent comporter plus d"un symbole non terminal :

E)T+E)T+T)F+T)F+FT)F+aT)

F+aF)a+aF)a+aaD

´erivation droite: on r ´e´ecrit le non terminal le plus`a droite :

E)T+E)T+T)T+FT)T+FF)T+Fa)

T+aa)F+aa)a+aaD

´erivation gauche: on r ´e´ecrit le non terminal le plus`a gauche :

E)T+E)F+E)a+E)a+T)a+FT)

a+aT)a+aF)a+aa

Sens de d

´erivation

G=hfE,T,Fg,f+,,ag,fE!T+EjT,T!FTjF,F!ag,EiLes proto-mots g ´en´er´ees lors d"une d´erivation peuvent comporter plus d"un symbole non terminal :

E)T+E)T+T)F+T)F+FT)F+aT)

F+aF)a+aF)a+aaD

´erivation droite: on r ´e´ecrit le non terminal le plus`a droite :

E)T+E)T+T)T+FT)T+FF)T+Fa)

T+aa)F+aa)a+aaD

´erivation gauche: on r ´e´ecrit le non terminal le plus`a gauche :

E)T+E)F+E)a+E)a+T)a+FT)

a+aT)a+aF)a+aa

Sens de d

´erivation

G=hfE,T,Fg,f+,,ag,fE!T+EjT,T!FTjF,F!ag,EiLes proto-mots g ´en´er´ees lors d"une d´erivation peuvent comporter plus d"un symbole non terminal :

E)T+E)T+T)F+T)F+FT)F+aT)

F+aF)a+aF)a+aaD

´erivation droite: on r ´e´ecrit le non terminal le plus`a droite :

E)T+E)T+T)T+FT)T+FF)T+Fa)

T+aa)F+aa)a+aaD

´erivation gauche: on r ´e´ecrit le non terminal le plus`a gauche :

E)T+E)F+E)a+E)a+T)a+FT)

a+aT)a+aF)a+aa

Arbre de d

´erivation

E H HH TF a E T H H Fa T F a

Un arbre de d

´erivation pourG(G=hN,S,P,Si) est un arbre

ordonn ´e et´etiquet´e dont les´etiquettes appartiennent`a l"ensemble N[S[ f#g. Si un noeud de l"arbre est´etiquet´e par le non terminalA et ses fils sont ´etiquet´esX1,X2,...,Xnalors la r`egleA!X1,X2,...,Xn appartient `aP.

Arbre de d

´erivationUn arbre de d

´erivation indique les r`egles qui ont´et´e utilis´ees dans une d ´erivation, mais pas l"ordre dans lequel elles ont´et´e utilis

´ees.A un arbre de d

´erivation correspondent une seule d´erivation droite et une seule d

´erivation gauche.

Ambigu

¨ıt´e

Une grammaireGestambigu¨es"il existe au moins un motmdansquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33