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Chapitre 9

Polynômes symétriques et

résolution des équations

Version du 13 décembre 2004

9.1 Polynômes symétriques

9.1.1 Groupe symétrique et polynômes symétriques

Définition 9.1.1On noteSnle groupe des permutations de{1,...,n}, c.- à-d., des bijections de{1,...,n}sur lui-même. C"est un groupe de cardinal n!, car une permutationσest déterminée par la donnée deσ(1), pour lequel il y anchoix, puis deσ(2), pour lequel il resten-1choix, etc. Définition 9.1.2Soientkun corps etAunek-algèbre. Unk-automorphisme deAest un automorphisme d"anneauφ:A≂→Atel queφ(λ) =λpour tout λ?k. Il est clair que l"ensemble desk-automorphismes deAforme un groupe; on le noteAutk(A). Lemme 9.1.1Soitkun corps. Tout élémentσ?Sninduit unk-automor- phismeφσde lak-algèbrek[X1,...,Xn], défini par (?)φσ(Xi) =Xσ(i),?i= 1,...,n. L"applicationσ?→φσest un isomorphisme deSnsur un sous-groupe du groupe desk-automorphismes dek[X1,...,Xn]. Démonstration.D"après la propriété universelle deA:=k[X1,...,Xn], il existe, pour toutσ?Sn, un unique morphisme dek-algèbresφσ:A→A 147

vérifiant(?). De plus, il résulte de(?)queφid=idAet queφσ◦φτ=φστ. Ceci

entraîne, d"une part, que chaqueφσest un automorphisme deA, d"inverse σ-1, et, d"autre part, que l"applicationσ?→φσest un morphisme de groupes deSndans Autk(A). Enfin,(?)montre aussi queφσ=idAssiσ=id, et doncσ?→φσest un isomorphisme deSnsur le sous-groupe{φσ}σ?Snde Aut NotationPour toutP?k[X1,...,Xn], on écrira simplementσ(P)au lieu deφσ(P). Définition 9.1.3SoitP?k[X1,...,Xn]. On dit quePest unpolynôme symétriquesi l"on aσ(P) =Ppour toutσ?Sn, c.-à-d., siPest invariant par toute permutation des variablesX1,...,Xn. On note k[X1,...,Xn]Sn la sous-algèbre des polynômes symétriques. (On voit facilement que c"est une sous-algèbre.) Exemple 9.1.1Soitn= 2. Les polynômesX1+X2,X1X2, etX21X2+X22X1 sont symétriques. Le polynômeX1+X22ne l"est pas. Définition 9.1.4 (Polynômes symétriques élémentaires)On pose :

1=X1+···+Xn,

2=P k=P n=X1···Xn. Ce sont des polynômes symétriques, appelés lespolynômes symétriques

élémentaires.

9.1.2 Relations entre coefficients et racines d"un polynôme

Soientkun corps etP=Xn+a1Xn-1+···+anun polynôme unitaire, de degrén≥1, à coefficients dansk. SoitKune extension dekdans laquelle Pest scindé. Alors, dansK[X], on a l"égalité (1)P= (X-x1)(X-x2)···(X-xn), 148
oùx1,...,xnsont les racines dePdansK, non nécessairement distinctes, c.-à-d., comptées avec leur multiplicité. Développons le terme de droite de(1). Le coefficient deXnest, bien sûr,

1. Celui deXn-1est-(x1+···+xn), c.-à-d.,-σ1(x1,...,xn), et celui de

X n-2estP i9.1.3 Le théorème fondamental des polynômes symétriques Dans ce paragraphe,kdésigne un anneau commutatif arbitraire Définition 9.1.5 (Éléments algébriquements indépendants) SoitAunek-algèbre. On dit que des élémentse1,...,en?Asontalgé- briquement indépendantss"ils vérifient la propriété suivante : siP? k[X1,...,Xn]etP(e1,...,en) = 0, alorsP= 0. Ceci équivaut à dire que le morphisme dek-algèbresk[X1,...,Xn]→Adéfini parφ(Xi) =eiest un iso- morphisme; ceci entraîne, en particulier, que la sous-algèbre deAengendrée pare1,...,enest isomorphe àk[X1,...,Xn]. Théorème 9.1.3 (Théorème fondamental des polynômes symétri- ques) La sous-algèbrek[X1,...,Xn]Sndes polynômes symétriques est engendrée surkpar les polynômes symétriques élémentairesσ1,...,σn. De plus, ces éléments sont algébriquement indépendants surk. Donc, tout polynôme sy- métriqueSs"écrit de façon unique comme un polynômeP(σ1,...,σn). En résumé, on a un isomorphisme k[X1,...,Xn]Sn≂=k[σ1,...,σn], 149
et le terme de droite est un anneau de polynômes. Exemple 9.1.2Pourr≥1, posonsSr=Xr1+···+Xrn. On aS1=σ1, et 21=nX
i=1X

2i+ 2X

i i=1X

3i+ 3X

i?=jX

2iXj+ 3!X

iD"autre part,

1σ2=ÃX

kX k! 0 X iOn en déduit queS3=σ31-3σ1σ2+ 3σ3. Démonstration.k[X1,...,Xn]est unk-module libre, de base les monômes X ν:=Xν11···Xνnn, pourν?Nn. (On rappelle que, dans ce paragraphe,k désigne un anneau commutatif arbitraire.) PosonsI={1,...,n}. On regardeNncomme l"ensemble des applications ν:I→N,i?→νi=ν(i). On fait agirSnsurNnpar la formule : (σν)(i) =ν(σ-1(i)),?σ?Sn,ν?Nn,i?I. On vérifie alors queσ(Xν) =Xσ(ν)pour toutν. SoitP?k[X1,...,Xn]un polynôme symétrique. ÉcrivonsP=P

νcνXν,

où lescνsont nuls sauf pour un nombre fini d"entre eux. Comme lesXνsont linéairement indépendants surk, l"égalité X νc

νXν=P=σ(P) =X

νc

νXσ(ν)

entraînecν=cσ(ν), pour toutν?Nnet toutσ?Sn. Par conséquent,Pest combinaisonk-linéaire des polynômes symétriques obtenus en additionnant les monômes dans une même orbite :

M(ν) :=X

μ?SnνX

Il est utile, maintenant, de choisir un représentant dans chaque orbite. 150

Définition 9.1.6On dit queν?Nnest dominant

s"il vérifieν1≥ν2≥ ··· ≥νn≥0. On noteraΛl"ensemble desn-uplets dominants. Il est clair que toute orbite deSndansNncontient exactement un élément deΛ. Pour λ?Λ, on désignera parmλl"élément considéré plus haut, c.-à-d., m

λ=X

μ?SnλX

Pour démontrer le théorème, on a besoin d"introduire surNnl"ordre lexi- cographique, défini comme suit. Définition 9.1.7Soientμ,ν?Nn. On dit queμ≥νsiμ=νou bien s"il existei? {1,...,n}tel queμj=νjpourj < i, etμi> νi. On voit facilement que c"est un ordre total , c.-à-d., quelques soientμ,ν?Nn, on a infini. Par exemple, sin= 2etν= (1,0)alorsν >(0,i), pour touti?N.

Toutefois, on a le résultat suivant.

Soitλunn-uplet dominant. On voit facilement queλest l"unique élément maximal, pour l"ordre≥, de l"orbiteSnλ. C.-à-d., on a : Le point crucial dans la démonstration du théorème 9.1.3 est le lemme sui- vant. Lemme 9.1.5 (Lemme-clé)Pour toutλ,λ??Λ, on a m

λmλ?=mλ+λ?+X

θ?Λθ<λ+λ?c

θmθ.

Démonstration.D"une part, il résulte de(?)que (1)mλmλ?=Xλ+λ?+X

μ?Nn

μ<λ+λ?c

μXμ.

151

D"autre part, écrivons

(2)mλmλ?=X

θ?Λa

θmθ,

oùaθ= 0sauf pour un nombre fini d"indices. PosonsE:={θ?Λ|aθ?= 0}; ordre total,Eadmet un unique élément maximalθ0. On peut donc écrire : (3)mλmλ?=aθ0mθ0+X 0a

θmθ.

Alors, d"après(?), le monômeXθ0n"apparaît que dansmθ0, etθ0est un élément maximal de l"ensemble desμ?Nntels queXμintervienne avec un coefficient non nul dans l"écriture demλmλ?. Comparant avec(1), on obtient queθ0=λ+λ?etaθ0= 1. On obtient donc que m

λmλ?=mλ+λ?+X

θ?Λθ<λ+λ?a

θmθ.

On peut maintenant terminer la démonstration du théorème 9.1.3. Comme

1,...,σnsont invariants parSn, la sous-algèbre qu"ils engendrent, notée

k[σ], est contenue dans la sous-algèbre des invariants. Pour montrer l"inclu- sion réciproque k[X1,...,Xn]Sn?k[σ] :=k[σ1,...,σn], il suffit de montrer quemλest un polynôme enσ1,...,σn, pour toutλ?Λ.

On va montrer ceci par récurrence sur

SiN(λ) = 0, alorsλ= 0etmλ= 1. Pouri= 1,...,n, posons i= (1,...,1,0,...,0), où1apparaîtifois, et observons quemεi=σi. Soit maintenantN≥2et supposons le résultat établi pour toutθ?Λ tel queN(θ)< N. Soitλ?Λtel queN(λ) =N. Siλ= (d,...,d) =dεn, alorsmλ=σdn. Sinon, soitil"unique entier≥1tel que

1=···=λi> λi+1≥ ···λn.

152
Posonsλ?=λ-εi. Alorsλ?est dominant, et est< λ. De plus, d"après le lemme précédent, l"on a m

λ=σimλ?-X

i+λ?=λa

θmθ.

Par hypothèse de récurrence,mθ?k[σ], pour toutθ < λ, y comprisθ=λ?. L"égalité ci-dessus montre alors quemλ?k[σ]Ceci prouve la 1ère assertion du théorème. Il reste à voir queσ1,...,σnsont algébriquement indépendants surk.

SoitP?k[X1,...,Xn]non nul. Écrivons

P=X

ν?Nnc

νXν,

et soitE={ν|cν?= 0}. C"est une ensemble fini non vide. Comme, pour i= 1,...,n, i=εi=X1X2···Xi+monômes plus petits, on déduit du lemme-clé 9.1.5 que, pour toutν?Nn,

ν11···σνnn=Xν1+···+νn1Xa2+···+an2···Xann+monômes plus petits.

Ceci conduit à considérer surNnl"ordre?suivant. Observons que l"applica- tionφ:Nn→Nn, (ν1,...,νn)?→(nX i=1ν i,nX i=2ν i,...,νn) est injective, car la donnée deφ(ν)permet de retrouverνn, puisνn-1, etc.

On pose alors

c"est une relation d"ordre surNn. Soitν0un élément maximal deEpour ?. Alorscν0?= 0, etP(σ1,...,σn)égalecν0Xν0plus une combinaison li- néaire finie de monômesXμ, avecμ?≥ν0pour l"ordre lexicographique. Par 153

9.2 L"équation générale de degrén

9.2.1 Action d"un groupe sur une algèbre

SoientGun groupe etEun ensemble quelconque. Notons Bij(E), ou bien Aut

Ens(E), le groupe des bijections deEde surE.

Définition 9.2.1 (Action d"un groupe sur un ensemble)

On dit queGagit surE

si l"on s"est donné un morphisme de groupes, pas nécessairement injectif,φ:G→Bij(E). Pour toutg?G,x?E, on écritg·x, ou simplementgx, au lieu deφ(g)(x). L"applicationG×E→E,(g,x)?→gxs"appelle l"action deGsurE.

On voit facilement que la condition que

φ:G→Bij(E)soit un morphisme

de groupes équivaut aux deux conditions suivantes : pour toutx?Eet g,g ??G,quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41