[PDF] [PDF] ALG`EBRE LIN´EAIRE Module 2 PAD - Exercices - PédagoTech de

[PDF] CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques

Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique 

[PDF] Devoir 2 pour le 23 Avril Exercice 1 - Université Claude Bernard

Corrigé Exercice 1 Soit ϕ la forme bilinéaire de (R2[X])2 définie par : ∀P, Q ∈ R2[X] Montrons que ϕ est une forme bilinéaire symétrique Soient P, Q et R 

[PDF] Corrigé du devoir surveillé no1

Exercice I Soit q: R3 → R la forme quadratique définie par la formule 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée `a q et sa matrice dans la base 

Feuille dexercices sur les formes bilinéaires symétriques et les

Quelle est sa signature ? Trouver une base orthogonale de R3 pour cette forme quadratique Exercice 6 Soit q la forme quadratique sur R3 

[PDF] ALG`EBRE LIN´EAIRE Module 2 PAD - Exercices - PédagoTech de

2 jan 2009 · 1-1 Exercices corrigés 2-1 1 Exercice 4a – Formes bilinéaires et quadratiques Soit la forme bilinéaire f dans R3 de matrice associée A =

[PDF] Formes bilinéaires et formes quadratiques, orthogonalité Cours

miné par une série des exercices, en plus diune section pour les examens des années passées et leurs corrigés types afin diéclairer le contenu et lienrichir liorthogonalité pour une forme bilinéaire les formes quadratiques as$ sociées aux 

[PDF] Examen premi`ere session - Corrigé - webusersimj-prgfr

13 mai 2015 · Les formes obtenues sont bien linéairement indépendantes et Q2 est donc de signature (2,1) et de rang 3 2 (a) Le noyau d'une forme bilinéaire 

[PDF] Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

Correction de quelques exercices de la feuille no 5: forme bilinéaire symétrique sur E Montrer que la forme quadratique associée `a ψ est définie positive

[PDF] TD n 5 : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Exercice 2 Pour chacune des matrices suivantes, écrire la forme bilinéaire sur Rn (n étant la dimension de la matrice) dont c'est la matrice dans 

[PDF] TD7 : formes quadratiques

Exercices ⋆ : `a préparer `a la maison avant le TD, seront corrigés en début de TD f) La forme polaire de f est la forme bilinéaire symétrique (A, B) ↦→ tr(AB)

[PDF] symbole chromosome

[PDF] forme bilinéaire symétrique définie positive produit scalaire

[PDF] croisement test

[PDF] forme bilinéaire non dégénérée

[PDF] matrice d'une forme bilinéaire exercices corrigés

[PDF] forme bilinéaire antisymétrique

[PDF] les différents types de textes et leurs caractéristiques

[PDF] forme quadratique non dégénérée

[PDF] forme bilinéaire exo7

[PDF] grille evaluation croquis

[PDF] forme trigonométrique de 2i

[PDF] forme trigonométrique cos et sin

[PDF] démonstration forme exponentielle nombre complexe

[PDF] nombre complexe forme algébrique

[PDF] comment avoir une bonne note en philo explication de texte

ALG

Module 2

PAD - Exercices

January 2, 2009

Table des Matiµeres

1 Espaces euclidiens 1

3

1-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8

1-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11

1-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 15 15 19

2-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
25

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26

2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes

27
31

3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .

31
32

3-1.3 Exercice 9a { Polyn^omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .

35
i iiTABLE DES MATIµERES

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
40
42

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3-3.2 Exercice 8c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3-3.3 Exercice 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Chapitre 2

13 2-1 2-1.1 1. f

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

f

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

f

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

(a) deR3. (b) (c) (d) 2. A=0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A dans la base canonique deR3. (a) (b) En partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et en utilisant le f-orthogonale. 1. canonique deR3: f

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

¡x1x2x3¢0

@2¡1¡1

¡1 2¡1

¡1¡1 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A f

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

¡x1x2x3¢0

@2 1 1 1 2 1

1 1 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A f

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

¡x1x2x3¢0

@2 2 2 0 2 2

0 0 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A q

1(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x1x3¡2x2x3

q

2(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

q

3(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

On a :

q

1(x) = 2³

x

1¡x2

2

¡x3

2 2+3 2 (x2¡x3)2 f

1n'est pas un produit scalaire.

Faisons de m^eme pourq2:

q

2(x) =x21+x22+x23+ (x2+x1+x3)2

qui est bien positive.

Supposons :q2(x) = 0 on a :

8>>< >:x 21= 0
x 22= 0
x 23= 0
(x2+x1+x3)2= 0 de m^eme pourf2puisqueq2=q3 produit scalaire. 2. (a) La matriceA=0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A f(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x2y3¡x3y2 et q(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x2x3 q(x) = 2x21+ 2(x22¡x1x2¡x2x3) + 2x23= 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 x21+3 2 x23¡x1x3 ou encore : q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x21¡2 3 x1x3) +3 2 x23

Finalement :

q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x1¡1 3 x3)2+4 3 x23

Donc pour toutx, on aq(x)¸0:

De plus

q(x) = 0,8 :(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2= 0 3 2 (x1¡1 3 x3)2= 0 4 3 x23= 0 8< :(x2¡1 2 x1¡1 2 x3) = 0 3 2 (x1¡1 3 x3) = 0 x

3= 0,8

:x 2= 0 x 1= 0 x 3= 0 scalaire. (b) Nous pouvons ainsi, en partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et f-orthogonale. f-orthogonal µau1:On doit avoir : f(au1+e2;u1) = 0 soit :a=¡f(e2;u1) q(u1) avec f(e2;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @0 1 01 A =¡1 et q(u1) =f(u1;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @1 0 01 A = 2

On obtienta=1

2 et donc :u2=au1+e2=0 @1=2 1 01 A orthogonal µau1et µa:u2on doit avoir : f(au1+bu2+e3;u1) = 0 soit :a=¡f(e3;u1) q(u1) avec : f(e3;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @0 0 11 A = 0 donc :a= 0

De plus, on doit avoir :

f(au1+bu2+e3;u2) = 0 soit :b=¡f(e3;u2) q(u2) avec : f(e3;u1) = (0;0;1)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @1=2 1 01 A =¡1 et q(u2) =f(u2;u2) = (1=2;1;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @1=2 1 01 A = 3=2

On obtientb= 2=3:Ainsi :u3=au1+bu2+e3=0

@1 =3 2=3 11 A B f=8 u10 @1 0 01 A ;u20 @1=2 1 01 A ;u30 @1=3 2=3 11 A9= 2-1.2 q(x;y;z) =¡x2+ 2xy+ 4xz¡y2+z2 1. 2. la forme : q(X;Y;Z) =aX2+bY2+cZ2

Est-elle orthogonale ou orthonormale ?

1. q(x;y;z) =¡x2+ 2xy+ 4xz¡y2+z2= (z+ 2x)2¡5µ x

2¡2

5 xy+y2 5 donc q(x;y;z) = (z+ 2x)2¡5Ã x¡1 5 2 +4 25
y2!

Finalement

q(x;y;z) = (z+ 2x)2¡5µ x¡1 5 2 ¡4 5 y2 2. q(X;Y;Z) =X2¡5Y2¡4 5 Z2 avec

X=z+ 2x

Y=x¡1

5 y Z=y Pour trouver la baseB0dans laquelle l'expression deqest de cette forme, il faut exprimer (x;y;z) en fonction de (X;Y;Z). Ainsi, siPest la matrice de passage de la base canonique µa la baseB0, on a : 0 @x y z1 A =P0 @X Y Z1 A

Or, on a :

X=z+ 2x ; Y=x¡1

5 yetZ=y

Soit :

0 @X Y Z1 A =0 @2 0 1

1¡1

5 0

0 1 01

A0 @x y z1 A Donc 0 @x y z1 A =0 @2 0 1

1¡1

5 0

0 1 01

A¡10

@X Y Z1 A =0 @0 11 5 0 0 1

1¡2¡2

5 1 A0 @X Y Z1 A La matrice de passage de la base canonique µa la baseB0est donc : P=0 @0 11 5 0 0 1

1¡2¡2

5 1 A

La baseB0est donc :8<

:0 @0 0 11 A0 @1 0

¡21

A0 @1 5 1 2 5 1 A9=

Cette base n'est pas orthogonale.

q(x;y;z) =0 @x y z1 AT A0 @x y z1 A Avec A=0 @¡1 1 2

1¡1 0

2 0 11

A

Si nous rempla»cons, il vient :

quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41