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L2 MIPI - S3
2015/2016
Math´ematiques: alg`ebre lin´eaireTD n
5: Formes bilin´eaires et formes quadratiques.Exercice1.Parmilesexpressionsci-dessous, d´eterminercellesquid´efinissentuneformebilin´eaire
sur l"espace indiqu ´e. Ecrire la matrice dans la base canonique de chacune des formes bilin´eaires et indiquer lesquelles sont sym´etriques.
a)B1(x;y) = 2x1y14x2y2+ 3x1y2, surR2. b)B2(x;y) =x1y1+ 8x2y4+ 3x2, surR4. c)B3(x;y) = 2x1y1+ 3x1y2+ 6x2y2+ 3x2y1, surR2. d)B4(x;y) =x1y1+x2y2+x3y3, surR3.e)B5(x;y) =x1x28y1x2, surR2. f)B6(x;y) = 0, surR2. g)B7(x;y) = 3, surR2.Exercice 2.Pour chacune des matrices suivantes,´ecrire la forme bilin´eaire surRn(n´etant la
dimension de la matrice) dont c"est la matrice dans la base canonique. A 1=0 @1 0 0 0 1 11 1 21
A ; A2=0 @1 0 4 0 1 14 1 01
A ; A3=0 BB@2 4 0 1
4 1 0 1
0 0 0 1
1 1 1 11
C CA: Exercice 3.Pour chacune des formes bilin´eaires suivantes, calculer sa matriceM1dans la baseB1 et sa matriceM2dans la baseB2. CalculerP, la matrice de passage deB1versB2, et v´erifier que M2=tPM1P.
a)B1:R2R2!Rd´efinie parB1(x;y) =x1y2+ 3y1x2,B1=1 0 ;0 1 etB2= 1 1 ;1 2 b)B2:R2[X]R2[X]!Rd´efinie parB2(P;Q) =P(2)Q(1),B1=f1;X;X2getB2= f1;(X1);(X23X+ 2)g. c)B3:R2[X]R2[X]!Rd´efinie parB3(P;Q) =R10P(x)Q(1x)dx,B1=f1;X;X2get
B2=f1;(X1);(X2X)g.
Exercice 4.SoientEunR-espace vectoriel etB= (e1;e2;e3)une base deE. SoitBla forme bilin´eaire deEdont la matrice dans la baseBest0
@2 1 1 1 1 11 1 21
A a)PourquoiBest-elle une forme bilin´eaire sym´etrique? b)Donner l"expression deBdans la baseB. c)V´erifier queC= (e1;12 e1+e2;e2+e3)est une base deEet donner la matrice deBdans cette base. d)Quel est le rang deB? Exercice 5.SoitEunR-espace vectoriel muni d"une baseB= (e1;e2;e3)et soientB1etB2deux formes bilin ´eaires surEdont les matrices dans la baseB= (e1;e2;e3)sont M 1=0 @11 0 1320 211 A etM2=0 @0 112 1212
12 12 01 A a)Donner les matrices deB1etB2dans la baseC= (v1;v2;v3)deEo`u v
1=e1; v2=12
e1+12 e2; v3=12 e112 e2+e3: b)D´eterminer les rangs deB1etB2.Exercice 6.Donner la forme bilin´eaire associ´ee`a chacune des formes quadratiques suivantes, sa
matrice dans la base canonique deR2et son rang. a)Q1(x) =x21. b)Q2(x) =x1x2. c)Q3(x) = 2x2113 x1x2.d)Q4(x) =x21+ 9x22. e)Q5(x) = 3x1x2x22. f)Q6(x) = 4x21+ 6x1x23x22. Exercice 7.SoitQ:R3!Rla forme quadratique dont la matrice dans la base canonique deR3 est0 @1 1 0 1 1 20 2 01
Aa)Donner l"expressionQ(x)et expliciter la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee (on parle de
forme polaire). b)V´erifier que les vecteurs v 1=0 @1 0 01 A ; v2=0 @12 12 12 1 A ; v3=0 @12 12 12 1 A forment une base deR3et donner la matrice deQdans cette base. c)En d´eduire le rang et la signature deQ. Exercice 8.Pour chacune des formes quadratiques d´efinies surR2suivantes, donner sa forme polaire et utiliser la m ´ethode de Gauss pour d´eterminer sa signature et en d´eduire une base orthog- onale. a)Q1(x) =x21+ 2x1x2. b)Q2(x) = 4x21+ 8x1x2+ 5x22. c)Q3(x) = 4x21x22. d)Q4(x) =x21+ 4x1x24x22. e)Q5(x) =x21+x1x23x22.f)Q6(x) =12 x21x1x2+14 x22. g)Q7(x) =x21+ 2x1x23x22. h)Q8(x) =x216x1x2+ 9x22. i)Q9(x) = 6x1x29x22x21. j)Q10(x) = 2x1x2.Exercice 9.Mˆeme exercice que le pr´ec´edent pour les formes quadratiques d´efinies surR3suiv-
antes. a)Q1(x) =x21x222x23+ 2x1x2. b)Q2(x) =4x21x22+ 4x1x32x23+ 2x2x3. c)Q3(x) =x212x1x2+2x222x1x3+5x232x2x3. d)Q4(x) =3x21+ 2x1x2x22+ 4x2x38x23.e)Q5(x) =x212x1x2+x1x3+ 2x2x3+ 2x23. f)Q6(x) =x21x22+ 2x1x3+ 4x2x3+ 2x23. g)Q7(x) =x22+x1x2+ 2x1x3. h)Q8(x) = 2x1x2+ 4x1x3. Exercice 10.SoitE=M2(R)l"espace vectoriel des matrices r´eelles22. a)Montrer que l"applicationQ(A) = Det(A)d´efinit une forme quadratique surE. b)Donner la matrice de sa forme polaire dans la base canonique deE: B=1 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 1 0 ;0 0 0 1 c)Donner le rang et la signature deQ. d)Pr´eciser l"orthogonal pourQdu sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle. e)L"applicationQ(A) = Det(A)d´efinit-elle une forme quadratique surMn(R)sin6= 2? D ´efinitions:Une forme quadratiqueQ, de forme polaireB, est dite: d´efinie si pour toutx6= 0on aQ(x)6= 0. d´eg´en´er´ee s"il existex6= 0tel queB(x;y) = 0pour touty2E. SiEest de dimensionn, Qest d´eg´en´er´ee si et seulement si l"applicationE3x7![y7!B(x;y)]2En"est pas injective et donc si et seulement sirg(B)< n.On remarque que siQest d´eg´en´er´ee elle est n´ecessairement non-d´efinie (s"il existex6= 0tel que
B(x;y) = 0pour touty2Eon a en particulierQ(x) =B(x;x) = 0). L"ensemble des vecteursx2Etels queQ(x) = 0s"appelle le cˆone isotrope deQ. L"ensemble des vecteursx2Etels queB(x;y) = 0pour touty2Es"appelle le noyau deB(ou deQ). Exercice 11.On consid`ere la forme quadratiqueQ(x) = 2x21+2x1x3+2ax2x3+2x23d´efinie sur R3et o`ua2Rest un param`etre. Pour quelles valeurs deala forme quadratiqueQest-elle
a)non-d´eg´en´er´ee? b)non-d´efinie? Exercice 12.SoitEunR-espace vectoriel de dimension3, etB= (e1;e2;e3)une base deE. On d ´efinit une forme bilin´eaire sym´etriqueBsurE B(e1;e1) =B(e2;e2) =B(e3;e3) = 1etB(e1;e2) =B(e1;e3) =B(e2;e3) = 0: a)Montrer queBn"est pas d´eg´en´er´ee. b)SiF= Vect(e1+e3;e1+e2+e3), est-ce queBrestreinte`aFest non-d´eg´en´er´ee? Exercice 13.SoitE=R2[X]etQ:E!Rd´efinie parQ(P) =P(0)P(1). a)V´erifier queQest une forme quadratique et donner sa forme polaireB. b)D´eterminer la matrice deBdans la base(1;X;X2)deE. c)La formeQest-elle positive, n´egative? d)SoitP(X) =X2+X+ 1etF= Vect(P). D´eterminerV?etV??. e)D´eterminer le rang et le noyau deB. f)D´eterminer le cˆone isotrope deQ. Est-ce que c"est un sous-espace vectoriel deE? g)D´eterminer une base(P0;P1;P2)deEtelle queQ(a0P0+a1P1+a3P3) =a20a21et donner la signature deQ. Exercice 14.SoitQ:R2[X]!Rd´efinie parQ(P) =P(1)P(2) +P(1)P(0). a)Montrer queQest une forme quadratique surR2[X]. b)D´eterminer sa signature et son rang. Exercice 15.Pour chaque forme bilin´eaireBci-dessous: montrer queBest sym´etrique, calculer Ker(B), donner sa signature et son rang, calculer l"orthogonal par rapport`aBdu sous-espace vectorielF. a)B:R3R3!Rd´efinieparB(x;y) =x1y1+x2y1+x1y2etF=fx2R3jx1+x2+x3= 0g. b)B:R3[X]R3[X]!Rd´efinie parB(P;Q) =R10P(x)Q(x)dxetF=R2[X].
Exercice 16.
a)On consid`ere surR2[X]la forme quadratiqueQ(P) =Z 1 0P(x)P0(x)dx. D´eterminer la signa-
ture deQainsi qu"une base orthogonale pourQ. b)Mˆeme question surRn[X]o`unest un entier fix´e.Exercice 17.R´epondre par VRAI ou FAUX aux questions suivantes et justifier la r´eponse par une
d ´emonstration ou un contre-exemple, selon le cas. Dans ce qui suivra,Eest unR-espace vectoriel de dimension finie etQune forme quadratique surE. a)Le noyau d"une forme quadratique est un sous-espace vectoriel. b)La somme de deux vecteurs isotropes est un vecteur isotrope. c)SiQ(v1)>0etQ(v2)>0alorsQ(v1+v2)>0. d)La somme de deux formes quadratiques d´efinies positives est d´efinie positive. e)Une forme quadratique born´ee est nulle. f)Sifetgsont deux formes lin´eaires, alors(x;y)7!f(x)g(y)est une forme bilin´eaire. g)Le produit de deux formes bilin´eaires est une forme bilin´eaire. h)Sif1;:::;fnsont des formes lin´eaires et1;:::;ndes r´eels, alorsQ(x) =nX j=1 j(fj(x))2est une forme quadratique. i)Sifest une forme lin´eaire surR3, alors(x;y)7!f(x)f(y)est d´efinie positive. j)SoitQune forme quadratique surRn. Alors le d´eterminant de sa matrice dans une baseBest ind´ependant de la base choisie.
k)SoitQune forme quadratique surRn. Alors le rang de sa matrice dans une baseBest ind´ependant de la base choisie.
l)SiQn"a pas de vecteur isotrope alorsQest d´efinie positive ou d´efinie n´egative. m)SoitQune forme quadratique surR2telle qu"il existe deux droites vectoriellesD1etD2en somme directe et telles queQsoit d´efinie positive surD1et surD2. AlorsQest d´efinie positive. n)SoitQune forme quadratique surR2telle qu"il existe deux droites vectoriellesD1etD2ensomme directe et telles queQsoit d´efinie positive surD1et d´efinie n´egative surD2. AlorsQest
de signature(1;1). o)La somme de deux formes quadratiques de signature(1;1)est une forme quadratique de signa- ture(1;1). p)SoientQetQ0deux formes quadratiques ayant la mˆeme signature. Alors il existe des basesB etB0telles queMB(Q) =MB0(Q0). q)SoientQetQ0deux formes quadratiques telles qu"il existe des basesBetB0avecMB(Q) = M