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L'espace laissé pour les réponses est suf- Exercice 1 : Mise en bouche Dans cet exercice, nous allons adapter des algorithmes de tri vus inférieures `a la valeur du pivot; la seconde contient des valeurs égales `a la valeur du pivot; et la
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Les méthodes à retenir
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ISBN 978-2-10-054259-8
MATHÉMATIQUES
PC-PSI-PT
MÉTHODES ET EXERCICES
1. Espaces vectoriels norms 1
Les mthodes retenir 2
noncs des exercices 6
Du mal dmarrer ?9
Corrigs des exercices12
2. Fonctions vectorielles dÕune variable relle23
Les mthodes retenir24
noncs des exercices 28
Du mal dmarrer ?35
Corrigs des exercices39
3. Intgration sur un intervalle quelconque 57
Les mthodes retenir 58
noncs des exercices 60
Du mal dmarrer ?68
Corrigs des exercices74
4. Sries 113
Les mthodes retenir 114
noncs des exercices 117
Du mal dmarrer ?125
Corrigs des exercices129
5. Suites et sries dÕapplications157
Les mthodes retenir 159
noncs des exercices 165
Du mal dmarrer ?174
Corrigs des exercices 179
Les mthodes retenir 222
noncs des exercices 226
Du mal dmarrer ?235
Corrigs des exercices240
7. Sries de Fourier283
Les mthodes retenir 283
noncs des exercices 285
Du mal dmarrer ?289
Corrigs des exercices292
8. quations diffrentielles 307
Les mthodes retenir 308
noncs des exercices 311
Du mal dmarrer ?319
Corrigs des exercices323
V9. Fonctions de plusieurs variables relles 349
Les mthodes retenir 350
noncs des exercices 353
Du mal dmarrer ?355
Corrigs des exercices357
Les mthodes retenir 366
noncs des exercices 367
Du mal dmarrer ?372
Corrigs des exercices376
Les mthodes retenir 389
noncs des exercices 391
Du mal dmarrer ? 395
Corrigs des exercices397
12. Rduction des endomorphismes et des matrices carres 407
Les mthodes retenir 408
noncs des exercices 410
Du mal dmarrer ?419
Corrigs des exercices 423
13. Espaces prhilbertiens rels 447
Les mthodes retenir 448
noncs des exercices 451
Du mal dmarrer ?460
Corrigs des exercices465
14. Gomtrie 489
Les mthodes retenir 490
noncs des exercices 493
Du mal dmarrer ?496
Corrigs des exercices499
Index alphabtique511
Pour bien utiliser cet ouvrage
La page dÕentre de chapitre
Elle propose un plan du chapitre, les
quÕun rappel des points essentiels du cours pour la rsolution des exercices.Les mthodes retenir
cipales mthodes conna"tre,dtailles tape par tape,et indique les exercices auxquels elles se rapportent.noncs des exercices
De nombreux exercices de difficult croissante
sont proposs pour sÕentra"ner.La difficult de chaque exercice est indique sur une chelle de1 4.
Corrrigs des exercices
Tous les exercices sont corrigs de faon dtaille. nonc s des exercicesnoncs des exercices
Exemple de dveloppement en srie de Fourier, crneau Soit f:,2-priodique, paire, telle que, pour tout t[0]: fOtM1si0πtI
2fOtM0sit
2fOtM1si
2Itπ.
a)Vrifier f2et calculer les coefficients de Fourier (trigonomtriques) de f.
b)tudier les convergences de la srie de Fourier de fet prciser sa somme. c)En dduire les sommes de sries suivantes : p0 O1Mp 2p1 p0 1O2p1M2
n1 1 n2 Exemple de dveloppement en srie de Fourier, dent de scie continue Soit f:,2-priodique, impaire, telle que : fOtMtsi 0πtI
2fOtMtsi
2πtπ.
© Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Pour relier entre elles des sommes
de sries convergentes du genre n1 1 n2, et p0 1O2p1M2
Sparer, dans une somme partielle, les termes dÕindices pairs, dÕin- dices impairs, puis passer aux limites. ?Exercices 7.1 c), 7.2 c), 7.7 c).Pour calculer
les coefficients de Fourier dÕune fonction, lorsque le calcul direct ne para"t pas faisable Exprimer la fonction comme somme dÕune srie de fonctions et mon- trer que lÕon peut permuter intgrale et srie par lÕune des trois mthodes habituelles (cf. les mthodes retenir du chapitre 5 ?Exercices 7.14, 7.15, 7.16, 7.17 a), 7.22 b) Ne pas confondre lÕindice dÕun terme de la sommation donnant fini- tialement, et lÕindice concernant le terme dÕune srie de Fourier.Pour obtenir une galit entre
une fonction et une somme de srie trigonomtrique fonc- tion bien choisie. ?Exercice 7.6.Pour obtenir une ingalit
portant sur des intgrales de carrs de fonctions Essayer de se ramener, quand cÕest possible, une ingalit portant sur des sommes de sries numriques, en utilisant une formule deParseval.
?Exercices 7.9, 7.11, 7.13. 7.1 7.2PC, PSI
PSIDu mal
dmarrer ?Des conseils m
thodologiques sont proposs pour bien aborder la r solution des exercices. VIIIPrface
Alors que, rcemment, je feuilletais lÕun des manuels de mathmatiques qui servait de rfrence lorsque Ð voici
quelques dcennies ! Ð jÕtais en prpa, me revinrent en mmoire certaines sensations : la lecture des noncs des
exercices que jÕavais jadis cochs, dÕune concision la fois lgante et provocante, je me rappelais le plaisir que jÕavais
prouv la rsolution de quelques-uns dÕentre eux mais aussi, cette trange amertume, pas encore totalement estom-pe aujourdÕhui, que jÕavais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signals dÕun simple ast-
Les volumes
Mthodes et exercices(pour MP dÕune part, PC-PSI-PT dÕautre part) que J.-M. Monier nous prsente
aujourdÕhui semblent tout spcialement crits pour viter ce traumatisme aux tudiants dÕaujourdÕhui et de demain. Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties minemment compl mentaires : ¥ Les mthodesconstituent ce guide prcieux qui permet lÕtudiant de pas ser, confiant, efficacement Ç coach È, du cours quÕil apprend la recherche ncessaire et fructueuse des lÕartisan-tudiant, les mthodes et techniques proposes ici en sont les modes dÕem ploi. videmment, ces conseilsMonier, pdagogue avr, interrogateur recherch et auteur apprci de maints ouvrages r
econnus ? est souhaitable. rpondent parfaitement un triple objectif :permettre dÕassurer, dÕapprofondir et dÕaffiner, pendant son apprentissage, la comprhension du cours ;
consolider et enrichir ses connaissances par la rsolution dÕexercices plus substantiels et de questions plus dli-
cates ;raliser des rvisions efficaces et cibles lors de la prparation des preuves crites ou orales des concours.
Ces exercices sont judicieusement classs en quatre niveaux de difficult croissante, permettant ainsi aussi bien au no-
phyte de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) quÕ lÕtudiant chevronn de se
mesurer des exercices plus difficiles et dlicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitre
est couvert par des exercices des quatre niveaux. LÕabandon douloureux devant une question trop abruptement pose,
dont je parlais au dbut, ne saurait se produire avec lÕouvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique Ç Du mal
te, rappelant ici la mthode adquate, donnant l une indication prcieuse, ouvrant ailleurs une piste de rechercheÉ e dÕun corrig clair, prcis, dtaill, osonsle mot, exemplaire. SÕil est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuel
permet chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en prouve un indicible plaisir !), soit de sÕaider du corrig pour parvenir, rassur et guid, cette solution.QuÕil me soit aussi permis dÕinsister sur lÕampleur de ces volumes, lie la grande varit des exercices choisis, et qui
IX lÕoutil efficace et complet qui permettra chacun, son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de dvelopper son got pour les mathmatiques et ses comp-
Quant moi, un regret est en train de mÕassaillir : pourquoi nÕai-je pas attendu la rentre prochaine pour commencer
ma prpa ?H. Durand,
professeur en Mathmatiques Spciales PT* © Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. XRemerciements
viser des parties du manuscrit :Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Grard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, Hermin
Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, Andr Laffont, Ccile Lardon, Ibrahim
Rihaoui, Ren Roy, Marie-Dominique Sifert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier.Jean-Marie Monier
XI © Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Programmes PC, PSi, PT
Chapitre 1 : Espaces vectoriels norms
¥Les tudiant(e)s de PT nÕont conna"tre que le cas de n muni de la norme euclidienne : norme euclidienne, dis- tance associe, boules, parties ouvertes, parties fermes, parties bornes, suites dans n ; toute suite convergente est borne, oprations algbriques sur les suites. ¥Les tudiant(e)s de PC nÕont pas conna"tre les notions s uivantes : suite de Cauchy, point intrieur, caractrisationsquentielle des points adhrents ou des parties fermes, image rciproque dÕune partie ouverte (resp. ferme) par
une application continue. Chapitre 2 : Fonctions vectorielles dÕune variable relle ¥Pour les tudiant(e)s de PT, les fonctions de ce chapitre 2 sont valeurs dans n muni de son produit scalaire usuel et de la norme euclidienne associe.Chapitre 4 : Sries
¥La CNS de Cauchy de convergence dÕune srie termes rels ou complexes ne concerne que les tudiant(e)s de PSI.
¥Les tudiant(e)s de PT nÕont pas conna"tre la formule de Stirling ni le produit de deux sries numriques. Chapitre 5 : Suites et sries dÕapplications ¥Ce chapitre ne concerne pas les tudiant(e)s de PT. ¥Les tudiant(e)s de PC nÕont pas conna"tre la notion de pendant, le programme PC comporteune tude de lÕapproximation uniforme. ite radiale.Chapitre 7 : Sries de Fourier
¥Le programme PT ne comporte pas lÕtude des coefficients de Fourier exponentiels. ¥Le programme PT comporte une dfinition de a 0 diffrente de celle figurant dans les programmes MP, PC, PSI. Nous optons pour les formules classiques qui sont celles de ces derniers prog rammes, et qui donnent comme srie deFourier trigonomtrique de
f:a 0 2 n1 a n cosnOtb n sinnOt2Chapitre 8 : quations diffrentielles
¥Les tudiant(e)s de PT nÕont pas conna"tre la notion de wronskien. XII Chapitre 9 : Fonctions de plusieurs variables relles ¥LÕingalit des accroissements finis pour une application f:Ude classe C 1 sur un ouvert convexe Ude p ne concerne que les tudiant(e)s de PSI. ¥La condition suffisante dÕextrmum local pour une application f:Ude classe C 2 sur un ouvert Ude 2 ,fai- sant intervenir lÕexpression s 2 rt, ne concerne que les tudiant(e)s de PT.¥Pour les tudiant(e)s de PT, la notion de somme directe nÕest au programme que dans le cas de deux
sous-espaces vectoriels dÕun espace vectoriel de dimension finie. naire et la dualit ne sont pas au programme PT. ¥Les notions de base duale et de base prduale ne sont quÕau progra mme PSI.Chapitre 11: Dterminants
¥LÕtude du groupe symtrique et la dfinition et les proprits de la comatrice ne sont quÕau program
me PSI. Chapitre 12: Rduction des endomorphismes et des matrices carres ¥Les notions de polynme dÕendomorphisme et de polynme de matri ce carre ne sont pas au programme PT.Chapitre 13: Espaces prhilbertiens rels
¥LÕtude des formes bilinaires symtriques et des formes quad ratiques nÕest pas au programme PC. ¥La notion dÕadjoint et la rduction simultane ne sont quÕau programme PSI.Chapitre 14 : Gomtrie
¥LÕenveloppe dÕune famille de droites du plan, le centre de courbure, la dveloppe dÕune courbe du plan et les dve-loppantes dÕune courbe du plan, les surfaces rgles, les surfaces dveloppables, les courbes traces sur une surfaceet satisfaisant une condition diffrentielle ne sont quÕau programme PT.
¥Les cylindres, cnes, surfaces de rvolution ne sont pas au programme PSI. 1CHAPITRE
1Espaces vectorielsnorms
¥Montrer qu'une application est une norme
¥obtention dÕingalits portant sur des normes ¥Montrer que deux normes sont (ne sont pas) quivalentes ¥Montrer quÕune partie dÕun evn est (nÕest pas) ferme, est (nÕest pas) ouverte¥Manipulation de ferms, dÕouverts
¥Calcul de la distance dÕun point une partie ¥Montrer quÕune application linaire fest continue, calculer f ¥Montrer quÕune partie est (nÕest pas) compacte, manipulation de parties com- pactes¥Utilisation dÕune suite de Cauchy
¥Montrer quÕune application est un produit scalaire ¥Dterminer lÕorthogonal dÕune partie dÕun espace prhilbe rtien Points essentiels du cours pour la rsolution des exercices ¥Dfinition de norme, espace vectoriel norm, distance associe une norme, ingalit triangulaire renverse, normes quivalentes ¥Dfinition de boule ouverte, boule ferme, parties bornes ¥Dfinition et proprits de : ouvert, ferm, point adhrent ¥Dfinition de la distance dÕun point x une partie AdÕun evn E, caractrisa- tion de d∞x+A-0 ¥Dfinition et proprits de la convergence des suites, suites extraites¥Dfinition et proprits des limites, de la continuit en un point, de la conti-nuit sur une partie