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Forme algébrique des nombres complexes Partie réelle, partie imaginaire La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels

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Mettre les nombres complexes ci-dessous sous forme algébrique, puis vérifier avec la LES NOMBRES COMPLEXES : POINT DE VUE ALGÉ BRIQUE

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toute équation du troisième degré peut se mettre sous la forme x 3 Définition 2 : Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est : z = a + ib plexe z (z = 0) dont l'écriture algé- brique est a + ib, l'écriture suivante : z = r(cos θ + i sin 

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8) Deux nombres complexes sont conjugués ssi leur somme et leur Écris les complexes suivants sous leur forme algé- brique a + bi: 1) cos 45º + i sin 45°

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Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe z = 1 + im Montrer que tout nombre complexe z = 1 de module 1 s'écrit sous la forme x + i x − i Déterminer les racines carrées de ∆ dans C, sous forme algé- brique 3 Déterminer, sous forme algébrique, les deux solutions complexes de l'équation :

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Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants ( en fonction de Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants

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Utiliser la notation exponentielle d'un nombre complexe Résoudre des équations dans partie réelle et partie imaginaire, module et argument, forme algé- brique et forme trigonométrique, opérations, affixe d'un point M du plan complexe

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1 Calculer la forme algébrique des nombres suivants Indiquer les avec et réel Donner la forme algé- brique de et préciser ses parties réelle et imaginaire

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27 Déterminer la forme algébrique de chaque nombre b):-7 45 Un nombre complexe z a pour forme algé- brique a + ib (avec a et b nombres réels)

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donner une forme trigonométrie d'un nombre complexe $z$: $z -2-gauche z_3- Forme alg'brique des nombres suivants: « z_1 e-pee pi » (z_2 e) « 1st-e-i-fra q 

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Pascal Lainé

1

NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1 :

Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de ߠ

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Mettre sous la forme ܽ൅ܾ݅ǡܽǡאܾ

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants

ݖ଼, le nombre de module - గ

ݖଽ le nombre de module ͵ െగ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués :

Pour ݖହ, factoriser par ݁

Pour ݖଵ଴, factoriser par ݁

2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués.

Indication :

Ecrire ݖଵ sous la forme ߙ

3. Calculer

Pascal Lainé

2

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Effectuer les calculs suivants :

2. Produit du nombre complexe de module - గ

ଷ par le nombre complexe de module ͵ et

3. Quotient du nombre complexe de modulo - గ

ଷ par le nombre complexe de module ͵ et

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Etablir les égalités suivantes :

1. 2. 3.

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

Soit

1. Déterminer les modules de ݑ et ݒ.

2. Déterminer un argument de ݑ et un argument de ݒ.

3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de ݑ.

4. Déterminer le module et un argument de ௨

5. En déduire les valeurs de

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

Calculer le module et un argument de

En déduire le module et un argument de ௨

Allez à : Correction exercice 8 :

Pascal Lainé

3

Exercice 9 :

Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

Calculer les racines carrées des nombres suivants.

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

1. Calculer les racines carrées de ଵା௜

଼ቁ et •‹ቀగ

2. Calculer les racines carrées de ξଷା௜

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

Résoudre dans ԧ les équations suivantes :

11. ݖଷ൅͵ݖെ-݅ൌ-.

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

1. Montrer que cette équation admet une racine réelle.

2. Résoudre cette équation.

Pascal Lainé

4

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

1. Montrer que

Admet une ou plusieurs racines réelles.

Allez à : Correction exercice 15 :

Exercice 16 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 16 :

Exercice 17 :

Allez à : Correction exercice 17 :

Exercice 18 :

1. Résoudre ܺ

2. Résoudre ܼ

3. Résoudre

On rappelle que ξ͸͹͸ൌ-͸.

Allez à : Correction exercice 18 :

Exercice 19 :

Allez à : Correction exercice 19 :

Exercice 20 :

Allez à : Correction exercice 20 :

Exercice 21 :

2. En déduire le module et un argument de ݖ.

Pascal Lainé

5

3. En déduire ...‘•ቀగ

Allez à : Correction exercice 21 :

Exercice 22 :

1. Donner les solutions de :

Sous forme algébrique et trigonométrique.

2. Donner les solutions de :

Sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 22 :

Exercice 23 :

1. Résoudre

On donnera les solutions sous forme algébrique. 2.

Trouver les solutions de

On donnera les solutions (et sous forme algébrique en bonus).

Allez à : Correction exercice 23 :

Exercice 24 :

1. Donner les solutions complexes de ܺ

2. Résoudre ܺ

3. Résoudre ܺ

Allez à : Correction exercice 24 :

Exercice 25 :

Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le nombre complexe

Allez à : Correction exercice 25 :

Exercice 26 :

1. Déterminer le module et un argument de ଵା௜

ଵି௜, calculer ቀଵା௜

3. Calculer les puissances ݊-ième des nombres complexes.

Allez à : Correction exercice 26 :

Exercice 27 :

݊ pour que ൫ξ͵൅݅൯௡ soit réel ? Imaginaire ?

Allez à : Correction exercice 27 :

Pascal Lainé

6

Exercice 28 :

Soit ݖ un nombre complexe de module ߠ ߩ

Allez à : Correction exercice 28 :

Exercice 29 :

1. Pour quelles valeurs de ݖא

2. On considère dans ԧ

Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions.

3. Calculer les racines cubiques de ξଷା௜

Allez à : Correction exercice 29 :

Exercice 30 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 30 :

Exercice 31 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 31 :

Exercice 32 :

2. Résoudre

On explicitera les solutions sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 32 :

Exercice 33 :

Résoudre dans ԧ

On donnera les solutions sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 33 :

Exercice 34 :

On appelle ݆ൌെଵ

1. Résoudre dans ԧܺ

Pascal Lainé

7

5. Calculer ଵ

6. Calculer ݆௡ pour tout ݊א

Allez à : Correction exercice 34 :

Exercice 35 :

Résoudre dans ԧ

ces solutions a une puissance quatrième réelle.

Allez à : Correction exercice 35 :

Exercice 36 :

1. Donner les solutions complexes de ܺ

2. Résoudre ܺ

3. Résoudre ܺ

Allez à : Correction exercice 36 :

Exercice 37 :

Trouver les racines cubiques de ͳͳ൅-݅.

Allez à : Correction exercice 37 :

Exercice 38 :

Calculer

Algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire ...‘•ቀగ

Allez à : Correction exercice 38 :

Exercice 39 :

Trouver les racines quatrième de ͺͳ et de െͺͳ.

Allez à : Correction exercice 39 :

Exercice 40 :

Soit ݊൒-, un entier.

1. b. Déterminer les complexes qui vérifient ݖ௡ൌെͳ.

2. Calculer la somme des complexes qui vérifient ݖ௡ൌെͳ.

Allez à : Correction exercice 40 :

Exercice 41 :

Soit ݖ une racine n-ième de െͳ, donc ݖ௡ൌെͳ. Avec ݊൐- et ݖ്െͳ

Calculer

Pascal Lainé

8

Allez à : Correction exercice 41 :

Exercice 42 :

2. Donner, sous forme polaire (forme trigonométrique) les solutions dans ԧ de :

Indication : poser ܼ

Allez à : Correction exercice 42 :

Exercice 43 :

Allez à : Correction exercice 43 :

Exercice 44 :

Résoudre les équations suivantes :

Allez à : Correction exercice 44 :

Exercice 45 :

Résoudre dans ԧ :

1. ݖହൌͳ

2. ݖହൌͳെ݅

3. ݖଷൌ-െ-݅

4. ݖହൌݖ

Allez à : Correction exercice 45 :

Exercice 46 :

1. Calculer les racines ݊-ième de െ݅ et de ͳ൅݅.

Allez à : Correction exercice 46 :

Exercice 47 :

1. Montrer que, pour tout ݊אԳכ et pour tout nombre ݖא

Et en déduire que si ݖ്ͳ, on a :

2. Vérifier que pour tout ݔא

3. Soit ݊אԳכ. Calculer pour tout ݔא

Et en déduire les valeurs de

Pascal Lainé

9

Allez à : Correction exercice 47 :

Exercice 48 :

Indication : On calculera de deux façon différente la dérivée de la fonction ݂ définie par

On donnera le résultat sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 48 :

Exercice 49 :

Soit ߳ une racine ݊-, ߳

Allez à : Correction exercice 49 :

Exercice 50 :

Allez à : Correction exercice 50 :

Exercice 51 :

Résoudre dans ԧݖ௡ൌݖ où ݊൒ͳ.

Allez à : Correction exercice 51 :

Exercice 52 :

Allez à : Correction exercice 52 :

Exercice 53 :

Linéariser :

Allez à : Correction exercice 53 :

Exercice 54 :

1. Déteݖ tels que ଵି௭

ଵି௜௭ soit réel.

2. ݖ tels que ଵି௭

ଵି௜௭ soit imaginaire pur.

Allez à : Correction exercice 54 :

Exercice 55 :

Soit אߩԹାכ et אߠԹ, avec ߩ Soit

Pascal Lainé

10 Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de ݖ.

Allez à : Correction exercice 55 :

Exercice 56 :

Allez à : Correction exercice 56 :

Exercice 57 :

Allez à : Exercice 57 :

Exercice 58 :

1.

2. Montrer que pour tout ݖܧא

3.

Que peut-on en déduire sur ݂.

4. Soit ݖܧא

5. Notons ࣯ ͳ

Allez à : Correction exercice 58 :

CORRECTIONS

Correction exercice 1 :

Pascal Lainé

11

Par suite

Allez à : Exercice 1 :

Correction exercice 2 :

Autre méthode

Autre méthode

Or Donc

Autre méthode

Pascal Lainé

12

Ou encore

idée.

Autre méthode

Autre méthode

Allez à : Exercice 2 :

Correction exercice 3 :

Pascal Lainé

13

A moins de connaitre ...‘•ቀగ

଼ቁ et •‹ቀగ ଼ቁ on ne peut pas faire mieux.

Allez à : Exercice 3 :

Correction exercice 4 :

Si on ne met pas ͵ en facteur

On appelle ߠ

Donc ߠ

Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur

Donc ߠ

Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur

Pour ݖଷ onne méthode.

െͳൌ݁௜గ, donc ݖଷൌସ On aurait pu directement écrire que െ݅ൌ݁

Et ݖଷൌସ

Pour ݖସ

Pascal Lainé

14 Et ݖସൌ݁ି௜గൌ݁௜గ module.

Donc ߠ

Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur

Donc ߠ

Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur

Donc ߠ

Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur

Première méthode

Deuxième méthode

Pascal Lainé

15 module. 2.

Soit ߠ

Il faut être malin.

଼ቁ൐- donc ߠ

Remarque :

Le module de ݖଵ est aussi -ξ-...‘•ቀగ

Soit ߠ

Pascal Lainé

16

Ensuite il faut trouver les solutions de ܼ

Parmi ces cinq complexes, le seul qui a une partie réelle positive et une partie imaginaire

Pascal Lainé

17 Le module de ݖଷ est ͳ et un argument est ߨെ-߮

Autre méthode

Un argument de ݖଷ est െߨെ-߮

Allez à : Exercice 4 :

Correction exercice 5 :

2. 3.

Allez à : Exercice 5 :

Correction exercice 6 :

1. 2.

Pascal Lainé

18

Allez à : Exercice 6 :

Correction exercice 7 :

2.

Donc un argument de ݑ est గ

3. On cherche les solutions complexes de ݖଷൌݑ

ݑ admet trois racines cubiques

4. Et

Par conséquent

Allez à : Exercice 7 :

Pascal Lainé

19

Correction exercice 8 :

Donc ȁݑȁൌξ- et un argument de ݑ est െగ Donc ȁݒȁൌξ- et un argument de ݒ est െగ ௩ est గ

Allez à : Exercice 8 :

Correction exercice 9 :

Autre méthode

Là on est mal parti, il va falloir trouver le module, puis le mettre en facteur,

Pascal Lainé

20

Mais on ne

Allez à : Exercice 9 :

Correction exercice 10 :

଼ቁ et de •‹ቀగ

Autre méthode, on cherche ܽǡאܾ

En faisant la somme de ܮଵ et de ܮ

En faisant la différence de ܮଷ et de ܮ ଼ቁ et de •‹ቀହగ

Autre méthode, on cherche ܽǡאܾ

En faisant la somme de ܮଵ et de ܮ

Pascal Lainé

21
En faisant la différence de ܮଷ et de ܮ

On cherche les nombres complexes tels que ܼ

Si ܽൌ- alors ܾൌͳ et ܼଵൌ-൅݅ et si ܽൌെ- alors ܾൌെͳ et ܼ

Deuxième méthode

Troisième méthode

On reprend le système

Si ܽൌെ- alors ܾ

௔ൌͳ et alors ܼ

On cherche les nombres complexes tels que ܼ

de signe opposé.

Deuxième méthode

Pascal Lainé

22

Troisième méthode

On reprend le système

Si ܽൌ͵ alors ܾ

On cherche les nombres complexes tels que ܼ

mais on va prendre la méthode la plus simple

Il y a deux solutions

On cherche les complexes ܼ tels que ܼ

Là encore, on va aller au plus simple

Donc il y a deux solutions

Allez à : Exercice 10 :

Correction exercice 11 :

1. On cherche les complexes ܼ

On pose ܼൌܽ൅ܾ݅

, en faisant la somme des deux équations ܮଵ et ܮ En faisant la différence de ܮଷ et de ܮ

Les valeurs possibles de ܽ

ସ, on en déduit que ܾܽ൐- et que donc ܽ et ܾ

Pascal Lainé

23

Si ܽ

Et si ܽ

Admet deux solutions ܼ

Comme ...‘•ቀగ

଼ቁ൐- et que •‹ቀగ

2. On cherche les complexes ܼ

On pose ܼൌܽ൅ܾ݅

, en faisant la somme des deux équations ܮଵ et ܮ En faisant la différence de ܮଷ et de ܮ

Les valeurs possibles de ܽ

ସ, on en déduit que ܾܽ൐- et que donc ܽ et ܾ

Si ܽ

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