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Soit E un K−espace vectoriel Soit Q : E × E → K une forme bilinéaire symétrique Exemple : le produit scalaire usuel sur R3 × R3

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DEFINITION 3 : FORME BILINEAIRE SYMETRIQUE, ANTISYMETRIQUE ET ALTERNEE b forme bilinéaire sur E On dit que b est : ❖ Symétrique : Si ( ) ( ) ❖  

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Le couple (α, β) est appelé la signature de la forme quadratique q Par exemple, la forme hyperbolique sur R2 dont nous avons parlé plus haut, et qui est définie 

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2 nov 2014 · o`u ϕ est une forme bilinéaire symétrique sur E Exemples – Dans R3, q(x, y, z)= 3x2 + y2 + 2xy − 3xz est une forme quadratique

[PDF] Formes bilinéaires et quadratiques

une forme quadratique) sur F Exemple 8 1 1 Considérons E = k L'application q : E −→ k x ↦− → q 

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Dans le second exemple ci-dessus de forme bilinéaire sur RN, la matrice A de est une forme bilinéaire symétrique sur E, dont la forme quadratique associée 

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21 déc 2010 · 2 Formes quadratiques 2 1 Définition et exemples Définition Soit b une forme bilinéaire symétrique sur E Soit q l'application E → R définie 

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est une forme bilinéaire 4) Si f1 et f2 sont linéaires, et ϕ bilinéaires, alors l' application (x, y) ↦− → ϕ(f1(x),f2(y)) est bilinéaire Exemple : E et F des espaces 

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Exemples : On reprend les formes bilinéaires juste ci-dessus – La forme quadratique de Lorentz sur l'espace-temps R4 est donnée par q(x, y, z, t) = x2 + y2 + z2 

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Universit

´e de Nice Licence de math´ematiques

2004-05Alg`ebre et g´eom´etrie

Formes bilin´eaires et quadratiques

Formes sesquilin´eaires et hermitiennes.

8.D´efinitions et premi`eres propri´et´es

On consid`ere un corpsk, de caract´eristique diff´erente de 2, et un espace vectorielEsurkde dimension quel- conque. D´efinition 8.1.On appelle forme bilin´eaire surEune application b:E×E-→k telle que, (1)pour toutx?E, l"application partielle b x:E-→k y?-→b(x,y) est une forme lin´eaire surE. (2)pour touty?E, l"application partielle b y:E-→k x?-→b(x,y) est une forme lin´eaire surE. On dit quebestsym´etriquesib(x,y) =b(y,x)pour tous xetydansE.`A toute forme bilin´eaire surEest associ´ee une forme quadratique q:E-→k x?-→b(x,x)

Pour tousx,ydeEetλdansk, on a donc

q(λx) =b(λx,λx) =λ2q(x) et q(x+y) =b(x+y,x+y) =q(x) +q(y) +b(x,y) +b(y,x). R´eciproquement, toute forme quadratiqueqsurEpro- vient d"une seule forme bilin´eaire sym´etrique : celle d´e- termin´ee, lorsque la caract´eristique dekn"est pas 2, par la formule :

2b(x,y) =q(x+y)-q(x)-q(y)

ou aussi bien par

4b(x,y) =q(x+y)-q(x-y).

On l"appelle parfois laforme polairede la forme quadra- tique. L"ensemble des formes bilin´eaires (resp. bilin´eaires sym´e-

triques) surEest un espace vectoriel surk. L"ensembledes formes quadratiques surEest unk-espace vectoriel

canoniquement isomorphe `a celui des formes bilin´eaires sym´etriques. Restriction.La restriction d"une forme bilin´eaire (resp. d"une forme quadratique) `a un sous-espace vectorielF deEesttoujoursune forme bilin´eaire (resp. une forme quadratique) surF.

Exemple 8.1.1.Consid´eronsE=k. L"application

q:E-→k x?-→q(x) =x2 est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (x,y)?-→b(x,y) =xy Exemple 8.1.2.On consid`ere iciE=k2. L"application q:E-→k x= (x1,x2)?-→q(x) =x1x2 est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (x,y)?-→b(x,y) =12 (x1y2+x2y1). La restriction deq`a Vect(e1) (resp. Vect(e2)) est nulle. La restriction `a Vect(e1+e2) est la forme quadratique de l"exemple 8.1.1. Exemple 8.1.3.Consid´eronsk=Ret l"espace vecto- rielE=C([0,1],R) des fonctions continues sur l"inter- valle compact [0,1]. L"application q:E-→k f?-→? 1 0 f2(t)dt est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (f,g)?-→? 1 0 f(t)g(t)dt Exercice8.2.Toujours aveck=R, consid´erons l"en- sembleE=?2(R) des suites de r´eels de carr´e som- mable. Autrement dit, un ´el´ement deEest une suite u:= (un)n?Ntelle que?∞ n=0u2n<∞. 17 18

SoitNun entier. Consid´ererλ?-→?N

n=0(un+λvn)2et prouver l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz N? n=0u nvn? 2 N? n=0u 2n?? N? n=0v 2n? En d´eduire que?2(R) est un espace vectoriel surR.

Montrer que l"application

q:E-→k u?-→∞? n=0u 2n est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (u,v)?-→∞? n=0u nvn Exemple 8.2.1.Consid´eronsk=Ret un espace affine euclidienE. L"espace des vecteurs deEest donc un espace vectoriel euclidienE, muni d"un produit scalaire not´e ? | ?et de la norme euclidienne associ´ee not´ee? ?. On fixe un pointOdansEet on consid`ere l"application : q

A:E-→k

?v?-→ ?-→OA|?v?2 V´erifier que, lorsque??v?= 1,?-→OA?2-qA(?v) exprime la distance du pointA`a la droite d´efinie par le pointOet le vecteur directeur?v(voir Exercice 3, Feuille 4).

8.3.Dualit´e. Noyau.Soitbune forme bilin´eaire sym´e-

trique. On en d´eduit une application b:E-→E? x?-→(y?-→b(x,y)) qui associe `a tout vecteurxdeE, l"application partielle y?-→b(x,y), qui est bien une forme lin´eaire surE. On appellenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb (resp. de la forme quadratique associ´ee) le noyau de l"ap- plicationφb. C"est le sous-espace vectoriel des vecteurs xdeE: kerb:={x?E,?y?E,b(x,y) = 0}. Lorsque le noyau debest r´eduit `a{0}, l"applicationφb est injective. On dit alors quebestnon-d´eg´en´er´ee. Si une forme lin´eairef?E?est l"image parφbd"un vecteurx, on dira qu"elle estrepr´esent´eeparx(viab). Si tel est le cas, pour toutydeEon a f(y) =b(x,y) Si de plusEest de dimension finie, alorsφbest un isomorphisme entreEetE?. Toute forme lin´eaire est repr´esent´ee par un vecteur deE. C"est un cas tr`es im- portant. On y revient au paragraphe 8.7.8.4.Matrice d"une forme quadratique sur un es- pace vectoriel de dimension finie.Dans ce para- graphe, l"espace vectorielEest suppos´e de dimension finiensurk. On se donne une forme quadratiqueq de forme polaireb. SiB= (e1,...,en) est une base deE, on d´esigne parai,jla valeur deb(ei,ej) pour ordonn´ees (x1,...,xn) et (y1,...,yn) dans la baseB, on a donc, par bilin´earit´e : b(x,y) =b(n? i=1x iei,y) =n? i=1x ib(ei,y) n? i=1x ib(ei,n? j=1y jej) =n? i=1x in j=1y jb(ei,ej) iai,jyj.

Par suite :

q(x) =b(x,x) =? iai,jxj. On consid`ere donc la matriceAdeMn(k) de coefficients a dans la baseB. C"est une matrice sym´etrique :tA=A. SiX(resp.Y) d´esigne la matrice des coordonn´ees dex (resp.y) dans la baseB, les ´egalit´es pr´ec´edentes s"ex- priment par les ´egalit´es entre matrices : b(x,y) =tXAY, q(x) =tXAX. Exercice8.5.Montrer que l"espace des formes quadra- tiques sur un espace vectoriel de dimension finiensurk (car(k)?= 2) est un espace vectoriel surkde dimension n(n+1)2

8.6.Changement de base.SiB?= (e?1,...,e?n) est

une autre base deE, nous notonsX?(resp.Y?,A?) la matrice dex(resp.y,b) dans la baseB?. Comme dans (1.7), on construit la matrice de passagePde la baseB `a la baseB?. On a

X=PX?etY=PY?

Par unicit´e de la matrice debouqdans la baseB?on a A ?=tPAP.

Bien noter, qu"en g´en´eral,

tPest diff´erente deP-1. Ce qui veut dire que si, dans une baseB, un endomorphisme ua mˆeme matrice qu"une forme quadratiqueq, il n"en sera pas n´ecessairement de mˆeme dans une autre base B

8.7.Dualit´e en dimension finie, rang.Munissons

E ?de la base dualeB?de la baseB. La matrice de l"applicationφbdans les basesB`a la source etB?au but, est encore la matriceA. On voit donc quebest non- d´eg´en´er´ee si et seulement si sa matrice dans une baseB est inversible. 19 Le d´eterminant de la matrice debn"est pas invariant par changement de base (noter cependant que le signe du d´eterminant est conserv´e). En revanche, son rang est, lui, invariant. C"est le rang de l"applicationφb. On l"ap- pelle le rang de la forme bilin´eaireb(resp. de la forme quadratique associ´ee). Lorsquebest non d´eg´en´er´ee, (i.e.de rangn,i.e.de noyau r´eduit `a{0}), l"applicationφbest un isomorphisme entre EetE?. Toute forme lin´eaire est repr´esent´ee par un vecteur deEviab.

Exemple 8.7.1.SoitEun espace euclidien de dimen-

sion finiensurR. Le produit scalaire est une forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee surE. Via le produit scalaire, toute forme lin´eaire surEest repr´esent´ee par un vec- teur deE. Par exemple, une forme lin´eaire nulle sur un hyperplan deEest repr´esent´ee par un vecteur normal `a l"hyperplan. Il ne faut pas croire que toute forme non d´eg´en´er´ee est type pr´ec´edent. Un exemple c´el`ebre est le suivant : Exemple 8.7.2.On d´esigne par (t,x,y,z) les coordon- n´ees dans la base canonique d"un vecteur deR4. Soit cun nombre r´eel positif non nul. Consid´erons alors la forme de Minkowski : q: (t,x,y,z)?-→c2t2-x2-y2-z2 Sa matrice est diagonale, de rang 4, avecc2,-1,-1,-1 comme ´el´ements diagonaux. V´erifier qu"une forme lin´e- airefsurR4d´ecrite dans la base canonique par : f: (t,x,y,z)?-→ωt+αx+βy+γz est alors repr´esent´ee, via la forme de Minkowski, par le vecteur ( 1c

2ω,-α,-β,-γ).

9.Formes sesquilin´eaires et hermitiennes

Dans ce paragraphe, le corpskest celui des complexesC etEest un espace vectoriel complexe de dimension quel- conque. Pour tout nombre complexez, on notera?(z) (resp.?(z)) sa partie r´eelle (resp. partie imaginaire). D´efinition 9.1.On appelle forme sesquilin´eaire surE une application b:E×E-→C telle que, (1)pour toutx?E, l"application partielle b x:E-→C y?-→b(x,y) est une forme lin´eaire surE. (2)pour touty?E, l"application partielle b y:E-→C x?-→b(x,y)est une forme antilin´eaire surE, c"est-`a-dire, pour tousx,x?dansEetλdansC b y(x+x?) =by(x) +by(x?) b y(λx) =¯λby(x) On dit quebest`a sym´etrie hermitienneou simplement hermitienne sib(x,y) =b(y,x)pour tousxetydansE. `A toute forme sesquilin´eaire `a sym´etrie hermitienne sur Eest associ´ee une forme quadratique hermitienne h:E-→R x?-→b(x,x)

A cause de la sym´etrie hermitienne deb,h(x) =b(x,x) =b(x,x) =h(x). Une forme hermitienne est donc `avaleurs

r´eelles.

Pour tousx,ydeEetλdeC, on a donc

h(λx) =b(λx,λx) =|λ|2h(x) et h(x+y) =b(x+y,x+y) =h(x) +h(y) +b(x,y) +b(y,x) h(x+iy) =b(x+iy,x+iy) =h(x) +h(y) +i(b(x,y)-b(y,x)) R´eciproquement, toute forme quadratique hermitienne hsurEprovient d"une seule forme sesquilin´eaire hermi- tienne : celle d´etermin´ee par la formule :

4b(x,y) =h(x+y)-h(x-y)-i(h(x+iy)-h(x-iy)).

On l"appelle laforme polairede la forme quadratique hermitienne. L"ensemble des formes hermitiennes surEest stable par addition et par multiplication par un r´eel (mais pas, en g´en´eral, par un complexe non r´eel). C"est donc un espace vectoriel surR. L"ensemble des formes quadratiques her- mitiennes lui est canoniquement isomorphe.

9.2.Dualit´e. Noyau.Soitbune forme hermitienne.

On en d´eduit une application

b:E-→E? x?-→(y?-→b(x,y)) qui associe `a tout vecteurxdeE, l"application partielle y?-→b(x,y), qui est bien une forme lin´eaire surE. L"ap- plicationφbest, cette fois,antilin´eaire. Comparer avec ce qui a ´et´e fait au paragraphe 8.3. On d´efinit le noyau deφb kerb:={x?E,?y?E,b(x,y) = 0}. C"est un sous-espace vectoriel complexe deE(le v´erifier, en prenant garde queφbest seulement antilin´eaire). Lors- que le noyau debest r´eduit `a{0}, l"applicationφbest injective. On dit alors quebestnon-d´eg´en´er´ee. Si une forme lin´eairef?E?est l"image parφbd"un vecteurx, 20 on dira qu"elle estrepr´esent´eeparx(viab). Si tel est le cas, pour toutydeEon a f(y) =b(x,y) Si de plusEest de dimension finie, alorsφbest un anti- isomorphisme entreEetE?, c"est-`a-dire une bijection anti-lin´eaire. Toute forme lin´eaire est repr´esent´ee par un unique vecteur deE.

9.3.Matrice d"une forme hermitienne sur un es-

pace vectoriel complexe de dimension finie.Dans ce paragraphe, l"espace vectorielEest suppos´e de di- mension finiensurC. On se donne une forme quadra- tiquehde forme polaireb. SiB= (e1,...,en) est une base deE, on d´esigne parai,jla valeur deb(ei,ej) pour donn´ees (x1,...,xn) et (y1,...,yn) dans la baseB, on a donc, par sesquilin´earit´e : b(x,y) =b(n? i=1x iei,n? j=1y jej) =?

Par suite :

h(x) =b(x,x) =? n? i=1a i,i|xi|2+ 2?

On consid`ere donc la matriceAdeMn(C) de coeffi-

(resp.q) dans la baseB. On noteraA?la matricet A. On l"appelle matrice adjointe deA. La matrice d"une forme hermitienne v´erifie donc :t

A=A. On dit que c"est une

matrice hermitienne. SiX(resp.Y) d´esigne la matrice des coordonn´ees dex (resp.y) dans la baseB, les ´egalit´es pr´ec´edentes s"ex- priment par les ´egalit´es entre matrices : b(x,y) =X?AY, h(x) =X?AX. Exercice9.4.Montrer que l"espace des formes hermi- tiennes sur un espace vectoriel de dimension finiensur

Cest un espace vectoriel surRde dimensionn2.

Exercice9.5.Changement de baseMontrer que si

la matrice dehdans une baseBdeEestA, sa matrice dans une baseB?est A ?=P?AP siPest la matrice de passage deB`aB?. Le d´eterminant de la matrice debn"est pas invariant par changement de base. Mais c"est toujours unnombre r´eeldont lesigneest conserv´e par changement de base (le v´erifier). En revanche, son rang est, lui, invariant. On l"appelle le rang de la forme sesquilin´eaireb(resp. de la

forme hermitienne associ´ee).Lorsquebest non d´eg´en´er´ee, (i.e.de rangn,i.e.de noyau

r´eduit `a{0}), l"applicationφbest une bijection anti- lin´eaire entreEetE?. Toute forme lin´eaire est repr´esen- t´ee par un vecteur deEviab.

Exemple 9.5.1.On consid`ere l"espace vectorielCde

dimension 1 surCet la forme hermitienne h:z?-→ |z|2 associ´ee `a la forme sesquilin´eaire b: (z,t)?-→¯zt. V´erifier queβ:=?(b) est une formeR-bilin´eaire sym´e- trique surCconsid´er´e comme espace vectoriel de dimen- sion 2 surR. Montrer queβest d´efinie positive. Quelle est la forme quadratique associ´ee `aβ? V´erifier queα:=?(b) est une formeR-bilin´eaire anti- sym´etrique surCconsid´er´e comme espace vectoriel de dimension 2 surR. Soitn?N. G´en´eraliser ce qui pr´ec`ede `aCn.

10.R´eduction de Gauss et th´eor`eme d"inertie

V´erifier qu"en dimension 1, toutes les formes quadra- tiques sont proportionnelles.

10.1.Le cas de la dimension 2.On se donne une

baseB= (e1,e2) deE. Dans cette base une forme qua- dratique est d´ecrite par les trois ´el´ementsα:=q(e1), β:=b(e1,e2),γ:=q(e2) dek. La matrice deqs"´ecrit :?α β Pour tout vecteurxdeE, de coordonn´ees (x1,x2) dans la baseB, on a donc : q(x) =αx21+ 2βx1x2+γx22. Supposons que l"un des deux nombresq(e1) ou (q(e2), par exempleq(e1), n"est pas nul. On ´ecrit alorsq(x)/α comme le d´ebut du carr´e de (x1+βα x2) : q(x) =α? x

1+βα

x2? 2 +αγ-β2α x22, ce qui prouve queq(x) s"´ecrit q(x) =α1(?1(x))2+α2(?2(x))2 o`u?1et?2sont deux formes lin´eaires ind´ependantes dans E ?(le v´erifier). Supposons maintenant queq(e1) =q(e2) = 0. Le proc´ed´e pr´ec´edent ne peut s"appliquer. On a cependant : q(x) = 2βx1x2=β2 ?(x1+x2)2-(x1-x2)2?.

A nouveau,q(x) s"´ecrit

q(x) =α1(?1(x))2+α2(?2(x))2 o`u?1et?2sont deux formes lin´eaires ind´ependantes dans E ?(le v´erifier). 21
Proposition 10.2.Soientkun corps de caract´eristique diff´erente de 2,Eun espace vectoriel de dimension 2 sur ketqune forme quadratique surE. On peut trouver deux formes lin´eaires?1et?2, ind´epen- dantes dansE?, telles que q(x) =α1(?1(x))2+α2(?2(x))2 Les coefficientsα1etα2sont tous deux non nuls si et seulement sirg(q) = 2, tous les deux nuls si et seulement siq= 0et un seul des deux nul si et seulement sirg(q) = 1. D´emonstration.La seule chose qui reste `a prouver est la derni`ere assertion. Comme?1et?2sont ind´ependantes, x ?1=?1(x) x ?2=?2(x) est un changement de coordonn´ees. On sait que, par un tel changement de base, le rang de la forme quadratique est invariant. D"o`u le r´esultat.? Le r´esultat de la proposition se g´en´eralise ais´ement :quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41