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R et définie sur un ensemble de la forme [a, b] × I, o`u I est un intervalle de R ( éventuellement R entier) et [a, b] est un 2 – Généralisation aux fonctions définies par une intégrale impropre On rappelle que, par définition, tx = ex ln t pour t

30 sept 2016 · La première chose à faire est de chercher le domaine de définition de F(x), autrement dit, pour quels x l'intégrale est définie ou convergente 2

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Chapitre VII

Fonctions d´efinies par une int´egrale : m´ethodes d"´etude

7. 1 - Deux th´eor`emes de r´egularit´e

Le cadre est le suivant: on se donne une fonction (t,x)?→f(t,x) (que l"on notera aussi?t(x)), `a valeurs dans

Ret d´efinie sur un ensemble de la forme [a,b]×I, o`uIest un intervalle deR(´eventuellementRentier) et

[a,b] est un intervalle ferm´e born´e deR(en fait, la fonction pourrait ˆetre d´efinie sur un domaine plus grand,

comme par exempleR×R, mais dans ce paragraphe, nous nous limitons `a consid´erer le cas o`utvarie dans

un domaine ferm´e born´e). On suppose en outre cette fonction continue sur [a,b]×I.

Il en r´esulte notamment que, chaque fois que l"on fixex?I, la fonction partielleψxd´efinie par

t?→ψx(t) =f(t,x)

est continue, donc en particulier int´egrable sur [a,b]. On peut donc d´efinir, pour tout ´el´ementxdeI,

l"int´egrale

F(x) =?

b a x(t)dt=? b a f(t,x)dt

L"objectif de ce paragraphe est de d´eterminer les propri´et´es de r´egularit´e de la fonctionF, et notamment sa

continuit´e et sa d´erivabilit´e. Le th´eor`eme ci-dessous ´etablit que ces deux propri´et´es sont satisfaites sous des

conditions extr`emement larges.Th´eor`eme 1.1 Sous les hypoth`eses faites ci-dessus, la fonctionFest continue surI. Si, de plus, la fonctionf admet en tout point de [a,b]×Iune d´eriv´ee partielle par rapport `ax, et si l"application (t,x)?→∂f∂x(t,x) est continue sur [a,b]×I, la fonctionFest d´erivable surIet F ?(x) =? b

a∂f∂x(t,x)dtRemarque -On notera que la deuxi`eme partie de l"´enonc´e ne requiert pas la diff´erentiabilit´e def, mais

seulement l"existence de la d´eriv´ee partielle par rapport `ax(ainsi que sa continuit´e comme fonction de

(t,x)). En pratique, n´eanmoins, les fonctions consid´er´ees sont en g´en´eral continˆument diff´erentiables, sauf

´eventuellement en quelques rares exceptions.

Exemple -Posonsf(t,x) = cos(xcost) et

J(x) =?

π/2

0 f(t,x)dt

La fonctionfest continue sur [0,π/2]×R, doncJest continue surR. La d´eriv´ee partielle defpar rapport

`axexiste en tout point et a pour valeur ∂f∂x(t,x) =-costsin(xcost) qui d´epend continˆument de (t,x), doncJest d´erivable et J ?(x) =-?

π/2

0 costsin(xcost)dt Exemple -Soitfla fonction d´efinie sur [0,π]×]-1,1[ parf(t,x) = ln(1-2xcost+x2). La fonctionfest continue sur [a,b]×I, elle y admet par rapport `axune d´eriv´ee partielle ∂f∂x(t,x) = 2x-cost1-2xcost+x2 d´ependant continˆument de (t,x). Par cons´equent, si l"on pose

F(x) =?

0 ln(1-2xcost+x2)dt la fonctionFest continue et d´erivable surIet F ?(x) =? 0

2x-cost1-2xcost+x2dt

En posantt= tanu/2, on montre que cette int´egrale est nulle pour toutx?]-1,1[. La fonctionFest donc

constante surI, et cette constante vaut 0, comme on le voit en calculantF(0).

7. 2 - G´en´eralisation aux fonctions d´efinies par une int´egrale impropre

Nous nous contenterons dans ce paragraphe de traiter deux exemples, en d´egageant les m´ethodes d"´etude

que nous utilisons.

Exemple 1 :´etude deF:x?→?

0 cos(tx)e-t2dt. Notre but est de d´eterminer explicitementF. Pour

cela, nous allons montrer queF(x) existe pour toutx?R, queFest continue et d´erivable surRet v´erifie

une ´equation diff´erentielle du premier ordre que nous saurons int´egrer.

•L"existence est claire (l"int´egrale est absolument convergente, et mˆemenormalement convergente(c"est-

`a-dire avec une majoration de|f(t,x)|ind´ependante dex). •Continuit´e: on utilise la "stabilit´e de la continuit´e par convergence uniforme". Rappel 7. 1 -Si les fonctionsFnconvergent uniform´ement sur un intervalleIvers une fonctionFet si lesFnsont continues surI,Fest aussi continue surI.

PosonsFn(x) =?n

0cos(tx)e-t2dt. Il suffit de montrer que lesFnsont continues surRet convergent

uniform´ement surRversF. La continuit´e deFnr´esulte du th´eor`eme 1.1, avecI=R, [a,b] = [0,n] et

f(t,x) = cos(tx)e-t2. On montrera de mˆeme un peu plus loin queFnest d´erivable surRet admet pour

d´eriv´eeF?n(x) =-?n

0tsin(tx)e-t2dt.

La convergence uniforme se d´emontre en fixantnet en majorant|Fn(x)-F(x)|par une quantit´e ind´ependante

dexet tendant vers 0 quandntend vers +∞. |Fn(x)-F(x)|=????? n cos(xt)e-t2dt???? n |cos(xt)|e-t2dt n e-t2dt

Cette derni`ere int´egrale est convergente, ne d´epend pas dex, et la majoration est valable pour toutx?R.

Donc sup x?R|Fn(x)-F(x)|?? n e-t2dt

qui tend vers 0 comme reste d"une int´egrale convergente. Ceci prouve la convergence uniforme surRde la

suiteFnvers la fonctionF. Vu la continuit´e des fonctionsFn, la continuit´e deFest ´etablie.

•D´erivabilit´e: la d´emarche est analogue. Rappel 7. 2 -Si la suiteFnconverge sur un intervalleIvers une fonctionF(la convergence pouvant

ˆetre simple ou uniforme), et si la suiteF?nconverge uniform´ement surIvers une fonctionG, la fonctionF

est d´erivable surIet a pour d´eriv´eeG.

Il s"agit donc de montrer d"une part la d´erivabilit´e des fonctionsFn, d"autre part leur convergence uniforme

vers une fonctionGqui sera la d´eriv´ee deF. L"argument prouvant la d´erivabilit´e a ´et´e donn´e plus haut en

mˆeme temps que celui pour la continuit´e. On a donc F ?n(x) =-? n 0 tsin(tx)e-t2dt

Quandntend vers +∞, cette quantit´e tend vers l"int´egrale impropre absolument convergente

G(x) =-?

0 tsin(tx)e-t2dt

et nous allons prouver que la convergence est uniforme surR, en appliquant la mˆeme m´ethode que ci-dessus.

Fixons donc un entiern?0.

On conclut alors soit en remarquant que le membre de droite tend vers 0 comme reste d"une int´egrale

impropre convergente, soit en explicitant sa valeur (il est ´egal `ae-n2/2).

•D´etermination explicite deF(x): une int´egration par parties montre queF?(x) =-2xF(x) et il en r´esulte

queF(x) =Ce-x2. La d´etermination deCest un exercice classique. On montre queC=⎷π2. 3

Exemple 2 :´etude deF:x?→?

0sin(t)te-xtdt.

Le principe est le mˆeme, mais cet exemple pr´esente une difficult´e technique que n"avait pas le premier:

contrairement aux fonctions exp(-t2) ettexp(-t2), il n"existe pas cette fois de fonction?(t) d"int´egrale

impropre convergente sur [0,+∞[ et majorant simultan´ement tous les|f(t,x)|ou tous les|∂f/∂x(t,x)|. Il

faudra donc, pour d´emontrer des propri´et´es de convergence uniforme, utiliser d"autres techniques de calcul.

•Convergence de l"int´egrale impropre : pourx= 0, l"int´egrale `a consid´erer est?+∞

0sinttdt. C"est un exemple

classique d"int´egrale impropre convergente mais non absolument convergente. On prouve la convergence en

int´egrant par parties.

Pourx >0, on remarque que la fonctiont?→sint/test major´ee en valeur absolue par 1 surR+(on la

prolonge en 0 par sa limite 1) pour conclure que la fonction `a int´egrer est plus petite, en valeur absolue, que

e -tx, donc l"int´egrale impropre entre 0 et +∞est convergente (elle vaut 1/x).

L"objectif de l"exercice est le calcul deF(0). Pour cela, nous montrons queFest continue sur [0,+∞[

et d´erivable sur ]0,+∞[, nous calculonsF?, en d´eduisons l"expression deFsur ]0,+∞[, `a une constante

d"int´egration pr`es. Nous d´eterminons cette constante en calculant la limite deFen +∞et obtenonsF(0)

comme limite deF(x) quandxtend vers 0+.

PosonsFn(x) =?

0sintte-txdt.

•Continuit´e et d´erivabilit´e des fonctionsFn: la fonction Φ d´efinie par

Φ(t,x) =?

?1 sit= 0 sintte-txsinon est continue sur [0,n]×R+(c"est le produit de la fonction continue?de la variabletd´efinie par ?:t?-→? ?1 sit= 0 sinttsinon

par la fonction continue (t,x)?→e-tx). Par cons´equent, on peut appliquer le th´eor`eme 1.1: les fonctionsFn

sont continues surR+. Par ailleurs, pour toute valeur det, la fonctionx?→Φ(t,x) est d´erivable et v´erifie ∂Φ∂x(t,x) =?0 sit= 0 -sinte-txsinon

L`a encore, cette fonction d´epend continˆument du couple (t,x) sur [0,n]×R+(la v´erification est imm´ediate),

de sorte queFnest d´erivable surR+et v´erifie F ?n(x) =-? n 0 sinte-txdt

On constate ici une premi`ere diff´erence avec l"exemple pr´ec´edent. Alors que dans ce dernier, la quantit´e

?n(x) avait une limite quandntend vers +∞pour toutes les valeurs dex, ce n"est ici le cas que pourx >0.

Vu notre objectif final, qui est de calculerF(0), ceci soul`eve une difficult´e. Par ailleurs, il est rare en g´en´eral

que des suites de fonctions convergent uniform´ement sur des intervalles maximaux ouverts, ce qui introduit

une deuxi`eme difficult´e.

•Continuit´e deFsurR+: on peut ˆetre tent´e de reproduire le sch´ema de calcul utilis´e `a l"exemple pr´ec´edent.

On ´ecrit alors

4 |F(x)-Fn(x)|?? n? ???sintt? ???e-txdt n? ???sintt? ???dt

(car le meilleur majorant de la quantit´ee-txlorsquexd´ecritR+est 1). Malheureusement, le majorant

trouv´e est infini car c"est le reste d"une int´egraledivergente. Le probl`eme tient `a la pr´esence d"une puissance

dettrop petite au d´enominateur (c"est elle qui empˆeche la convergence de l"int´egrale dans la majoration

grossi`ere faite ci-dessus). Pour faire disparaˆıtre ce probl`eme, on va augmenter cette puissance. On effectue

pour cela une int´egration par parties, en d´erivant 1/tet en int´egrant l"autre facteur sinte-tx. Il apparaˆıtra

ainsi un d´enominateur en 1/t2et on peut esp´erer conclure si l"autre primitive n"est pas trop grande. Une

int´egration par parties montre queg:t?-→sinte-txadmet pour primitiveG:t?-→(cost+xsint)/(1+x2).

Il en r´esulte que

|F(x)-Fn(x)|=?

G(t)t?

n nG(t)t2dt?

G(t)t?

n? nG(t)t2dt????

Dans le membre de droite, le crochet vaut|G(n)|/n, qui est major´e par (1 +x)/(n(1 +x2)). Majorant la

valeur absolue de l"int´egrale par l"int´egrale de la valeur absolue puisGpar (1 +x)/(1 +x2), on trouve que

l"int´egrale est major´ee par

1 +x(1 +x2)?

ndtt2qui vaut ´egalement1 +xn(1 +x2). Finalement |F(x)-Fn(x)|?2(1 +x)n(1 +x2)

et on obtiendra une majoration ind´ependante dexquand on aura born´e la quantit´e1 +x1 +x2pourx?0. Ceci

peut se faire de diverses mani`eres:

•On peut ´etudier les variations surR+de la fonctionx?→1 +x1 +x2. Cette fonction positive atteint son

maximum enx0=⎷2-1, o`u elle vaut⎷2 + 12.

•On peut remarquer que, si 0?x?1, 1 +x?2 et 1 +x2?1. Il en r´esulte que le quotient est inf´erieur

ou ´egal `a 2

Si, par ailleurs,x?1, alorsx?x2, donc 1 +x?1 +x2et le quotient est cette fois major´e par 1. Il en

r´esulte que, dans tous les cas, le quotient est major´e par 2.

•La troisi`eme m´ethode fait appel `a la topologie: la fonctionx?-→(1 +x)/(1 +x2) est continue surR+,

elle tend vers 0 en +∞et reste positive. Elle admet donc un maximum global et donc elle est born´ee. Cette

m´ethode est la plus ´economique en calcul, mais elle ne donne aucune borne effective de la fonction.

Finalement, nous obtenons, pour toutx?0,|Fn(x)-F(x)|?4/n. Le majorant trouv´e est ind´ependant du

nombrex?0 choisi, donc sup x?0|Fn(x)-F(x)|?4n Ceci montre la convergence uniforme deFnversFsurR+et entraˆıne la continuit´e deFsurR+.

•D´erivabilit´e deFsurR+?et valeur deF?: comme nous l"avons vu en prouvant la d´erivabilit´e deFn,

l"int´egrale impropre "candidate pour valoirF?(x)" est divergente quandx= 0. On ne peut donc pas esp´erer

obtenir la d´erivabilit´e deFsur un domaine plus grand queR+?. Par ailleurs, l"exp´erience prouve que, en

g´en´eral, les suites de fonctions convergent rarement uniform´ement sur des domaines ouverts (cette r`egle

n"´etant n´eanmoins pas un th´eor`eme mais plutˆot une constatation statistique...). Aussi utilise-t-on, pour

´etablir la d´erivabilit´e, la m´ethode suivante: 5

Methode :Pour montrer qu"une fonction d´efinie comme limite d"une int´egrale impropre est d´erivable sur

un domaine tel queR+?:

- on fixe une valeurx0>0. Le nombre choisi ´etant quelconque, il suffit de montrer queFest d´erivable en

x 0. - on choisit des nombresa=x0/2 etb= 2x0. Puis on montre que la suiteF?nconverge uniform´ement sur

l"intervalle [a,b]. Le fait que, maintenant, les nombresxintervenant dans les majorations soient `a la fois

pas trop grands (major´es parb) et pas trop petits (minor´es para) simplifie les calculs. (Il peut arriver que

l"hypoth`esex?bne serve pas dans les majorations, auquel cas on aura d´emontr´e la convergence uniforme

sur [a,+∞[).

- La fonctionFest donc d´erivable sur [a,b] (ou sur [a,+∞[), donc en n"importe quel point de cet intervalle,

et en particulier enx0.

On applique la m´ethode : soitx0>0 eta=x0/2. On va prouver que la suiteF?nconverge uniform´ement

vers la fonctionGd´efinie par

G(x) =-?

Puisquea >0, le membre de droite de l"in´egalit´e ci-dessus tend vers 0 quandntend vers +∞. Il en r´esulte

queF?nconverge uniform´ement sur [a,+∞[ versG, et donc en particulier queFest d´erivable enx0et

F ?(x0) =G(x0).

•Expression deFet valeur deF(0): par int´egration par parties, on v´erifie que, pourx >0,F?(x) =-11 +x2.

Il en r´esulte l"existence d"une constanteCtelle que, pourx >0,F(x) =-arctanx+C. Cette ´egalit´e n"est,

a priori, valable que pourx >0, puisqu"on l"obtient par int´egration deF?qui n"existe que pourx >0. Mais

les deux membres de cette ´equation ´etant continus en 0, on obtientF(0) =C. Il reste `a d´eterminerC. Pour

cela on va calculer la limite deFen +∞. |F(x)|?? 0 e-txdt?1x

qui tend vers 0 quandxtend vers +∞. Utilisant l"autre expression deF, on trouve que-π2+C= 0, d"o`u

il r´esulte queC=π/2 et, finalement,

0sinttdt=π2

7. 3 - Exercices

Exercice 7. 1 -Soitfune application continue de [0,1] dansR. Pourn?N, on pose I n=? 1 0 xnf(x)dx Montrer que la suitenIntend versf(1) quandntend vers +∞.

Exercice 7. 2 -On note

E(x) =?

x 0 e-u2/2du et, pourx?[0,+∞[, on pose f(x) =? 1 0e -x(1+t2)1 +t2dt

1 - Montrer quefest continue sur [0,+∞[.

2 - Montrer quefest d´erivable sur [0,+∞[ et que, pour toutx >0,

f ?(x) =-e-x⎷2xE(⎷2x)

3 - Montrer quef(x) tend versπ/4 en 0 et vers 0 en +∞.

4 - En d´eduire que

π4=?

0 e-y2/2E(y)dy

5 - En utilisant ce qui pr´ec`ede, calculer l"int´egrale

I=? e-u2/2du

Exercice 7. 3 -On pose, pourx >0,

I(x) =?

1/2

0⎷1-txdt

(int´egrale que l"on ne cherchera pas `a calculer). On rappelle que, par d´efinition, t x=exlnt pourt >0 et vaut 0 pourt= 0 etx >0.

1 - Montrer que, pourx >0 fix´e, la fonction

t?→g(t) =txlnt⎷1-tx d´efinie pourt?]0,1/2[, est prolongeable par continuit´e ent= 0.

2 - On admettra que la fonctionFd´efinie sur ]0,+∞[×[0,1/2] par

F(x,t) =txlnt⎷1-tx

est continue. Enoncer des propri´et´es de la fonctionI. Indiquer en particulier le sens de variations deI.

3 - Soitx >0 et 0< t <1. Montrer que

0<1-tx<⎷1-tx<1-tx2

4 - Calculer la limite quandxtend vers +∞deI(x).

7 Exercice 7. 4 -1 - Prouver que la fonctionId´efinie sur ]-1,+∞[ par

I(x) =?

0ln(1 +tx)1 +t2dt

est d´erivable.

2 - En d´eduire la valeur deI(1) (remarquer queI(0) = 0 puis exprimerI(1)-I(0) comme une int´egrale).

Exercice 7. 5 -Prouver que la fonctionFd´efinie surRpar

F(x) =?

01-cos(tx)t2e-tdt

est deux fois d´erivable. CalculerF??et en d´eduire la valeur deF(x). Exercice 7. 6 -L"objet de cet exercice est de calculer I=?

01-costt2dt

1 - Montrer la convergence de l"int´egraleI.

2 - Montrer que la fonctionFd´efinie sur [0,+∞[ par

F(x) =?

01-costt2e-xtdt

est continue (on v´erifiera ´egalement l"existence deF(x)).

3 - Montrer que

limx→+∞F(x) = 0 (consid´erer les ordres de grandeur des divers facteurs `a int´egrer).

4 - Soita >0. En notant que, pour toutx > aet pour toutn?1

n1-costte-xtdt?? n1-costte-atdt montrer queFest d´erivable sur [a,+∞[.

5 - Montrer queFest d´erivable sur ]0,+∞[.

6 - Montrer, en raisonnant comme au c., queF?(x) tend vers 0 en +∞.

7 - Montrer queF?est d´erivable sur ]0,+∞[ (mˆeme type de raisonnement qu"en d. et e.). CalculerF??(x)

et en d´eduire, pourx >0, la valeur deF(x).

8 - Combien vaut l"int´egraleI?

Exercice 7. 7 -On pourra utiliser, dans cet exercice, l"´egalit´e suivante :

0sinttdt=π2

1 - Soitxun nombre r´eel,x?= 0. Calculer

0sinxttdt

2 - Pour quelles valeurs dexl"int´egrale impropre

f(x) =?

0sinxtt(1 +t2)dt

converge-t-elle ?

3 - Montrer que la fonctionx?→f(x) est continue surR.

4 - Montrer que la fonctionx?→f(x) est d´erivable surR, et exprimer sa d´eriv´eef?.

5 - Combien valentf?(0) et limx-→+∞f?(x)?

6 - L"objectif de cette question est de montrer quef?est d´erivable surR?et de donner l"expression def??.

a - Montrer que, pourx?= 0, l"int´egrale impropre

0tsinxt1 +t2dt

est convergente (int´egrer par parties). b - Montrer que????? ntsinxt1 +t2dt?????1n|x|+1|x|? ndt1 +t2 (int´egrer par parties). c - Montrer que f" est d´erivable surR?.

7 - Montrer que, pourx >0,fv´erifie l"´equation diff´erentielle

f ??(x) =f(x)-π2 tandis que, pourx <0,fv´erifie l"´equation diff´erentielle f ??(x) =f(x) +π2 (On pourra utiliser les r´esultats de la question 1).

8 - En d´eduire, en fonction dex, la valeur de l"int´egrale

0cosxt1 +t2dt

(on pourra utiliser les r´esultats de la question a). Exercice 7. 8 -Pour toutx >0 et pour toutn?1, on pose F n(x) =? 1

0dt(t2+x2)n

et G n(x) =?

0dt(t2+x2)n

1 - Montrer queFnetGnsont continues et d´erivables surR?+. V´erifier les ´egalit´es suivantes

F ?n(x) =-2nxFn+1(x) G ?n(x) =-2nxGn+1(x)

2 - Calculer

0dt(1 +t2)2

3 - Montrer queG1(x) =π/2x, puis que, pourn >1,

G n(x) =π21·3···(2n-3)2·4···(2n-2)1x2n-1

4 - On suppose quex?1. Montrer queGn(x) tend vers 0 quandntend vers +∞:

- en utilisant la formule ´etablie `a la question pr´ec´edente (il pourra ˆetre int´eressant de prouver quelques

propri´et´es de la s´erie?ln?2n-32n-2?

- en consid´erant le comportement de l"int´egrale (un dessin figurant le graphe de la fonction `a int´egrer pour

x= 1 etn= 10 pourra aider `a la compr´ehension du ph´enom`ene).

Exercice 7. 9 -Pourx >0, on pose

F(x) =?

0e -tx1 +t2dt

1 - Justifier l"existence deF(x). Montrer queFest continue et d´erivable surR?+et calculer la limite deF

en +∞.

2 - Montrer que, pourx >0,

F ?(x) = lnx-12? 0 ln(u2+x2)e-udu

3 - V´erifier la convergence des int´egrales

I=? 0 lnue-udu et J=? 0 ln(u2+ 1)e-udu

4 - En d´eduire la limite deF?(x) quandx >0 tend vers 0, et donner un ´equivalent deF?(x) en 0+.

5 - Montrer queFest deux fois d´erivable surR?+et satisfait, pour toutx >0, l"´equation diff´erentielle

F ??(x) +F(x) =1x

Exercice 7. 10 -Pourx >0, on pose

I(x) =?

1 0e tt+xdt

1 - Montrer queI(x) tend vers +∞quandxtend vers 0+.

2 - On d´efinit une fonctiongsur [0,1] par

g(t) =? ?1 sit= 0 e t-1tsi 0< t?1

Montrer quegest born´ee sur [0,1].

3 - Montrer l"existence d"une constante strictement positiveKtelle que

1 0e t-1txt+xdt?Kxln1 +xx

4 - Montrer que

lim x→0+I(x) + lnx=? 1 0e t-1tdt 10quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] [PDF] Chapitre VII Fonctions définies par une intégrale : méthodes détude

Chapitre VII

7. 1 - Deux th´eor`emes de r´egularit´e

F(x) =?

´eventuellement en quelques rares exceptions.

Exemple -Posonsf(t,x) = cos(xcost) et

J(x) =?

π/2

π/2

F(x) =?

2x-cost1-2xcost+x2dt

7. 2 - G´en´eralisation aux fonctions d´efinies par une int´egrale impropre

Exemple 1 :´etude deF:x?→?

PosonsFn(x) =?n

0cos(tx)e-t2dt. Il suffit de montrer que lesFnsont continues surRet convergent

0tsin(tx)e-t2dt.

G(x) =-?

Fixons donc un entiern?0.

Exemple 2 :´etude deF:x?→?

0sin(t)te-xtdt.

0sinttdt. C"est un exemple

PosonsFn(x) =?

0sintte-txdt.

Φ(t,x) =?

On ´ecrit alors

Il en r´esulte que

G(t)t?

G(t)t?

1 +x(1 +x2)?

G(x) =-?

0sinttdt=π2

7. 3 - Exercices

Exercice 7. 2 -On note

E(x) =?

1 - Montrer quefest continue sur [0,+∞[.

2 - Montrer quefest d´erivable sur [0,+∞[ et que, pour toutx >0,

3 - Montrer quef(x) tend versπ/4 en 0 et vers 0 en +∞.

4 - En d´eduire que

π4=?

5 - En utilisant ce qui pr´ec`ede, calculer l"int´egrale

Exercice 7. 3 -On pose, pourx >0,

I(x) =?

0⎷1-txdt

1 - Montrer que, pourx >0 fix´e, la fonction

2 - On admettra que la fonctionFd´efinie sur ]0,+∞[×[0,1/2] par

F(x,t) =txlnt⎷1-tx

3 - Soitx >0 et 0< t <1. Montrer que

0<1-tx<⎷1-tx<1-tx2

4 - Calculer la limite quandxtend vers +∞deI(x).

I(x) =?

0ln(1 +tx)1 +t2dt

2 - En d´eduire la valeur deI(1) (remarquer queI(0) = 0 puis exprimerI(1)-I(0) comme une int´egrale).

F(x) =?

01-cos(tx)t2e-tdt

01-costt2dt

1 - Montrer la convergence de l"int´egraleI.

2 - Montrer que la fonctionFd´efinie sur [0,+∞[ par

F(x) =?

01-costt2e-xtdt

3 - Montrer que

4 - Soita >0. En notant que, pour toutx > aet pour toutn?1

5 - Montrer queFest d´erivable sur ]0,+∞[.

6 - Montrer, en raisonnant comme au c., queF?(x) tend vers 0 en +∞.

7 - Montrer queF?est d´erivable sur ]0,+∞[ (mˆeme type de raisonnement qu"en d. et e.). CalculerF??(x)

8 - Combien vaut l"int´egraleI?

0sinttdt=π2

1 - Soitxun nombre r´eel,x?= 0. Calculer

0sinxttdt

2 - Pour quelles valeurs dexl"int´egrale impropre

0sinxtt(1 +t2)dt

3 - Montrer que la fonctionx?→f(x) est continue surR.

4 - Montrer que la fonctionx?→f(x) est d´erivable surR, et exprimer sa d´eriv´eef?.

5 - Combien valentf?(0) et limx-→+∞f?(x)?

6 - L"objectif de cette question est de montrer quef?est d´erivable surR?et de donner l"expression def??.

0tsinxt1 +t2dt

7 - Montrer que, pourx >0,fv´erifie l"´equation diff´erentielle

8 - En d´eduire, en fonction dex, la valeur de l"int´egrale

0cosxt1 +t2dt

0dt(t2+x2)n

0dt(t2+x2)n