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Université du Québec à Montréal Session d"automne 2011 Groupe-cours 51 MAT1112 - Calcul I
VivienRipoll
Résumé des cours 1 et 2 (9 et 12 septembre)N.B. : ce document est un résumé succinct de ce que nous avons fait en cours; il peut contenir
des remarques supplémentaires. Il est à considérer comme un complément du cours, et sa lecture
ne dispense évidemment pas l"étudiant de relire attentivement ses notes personnelles du coursainsi que le recueil de notes de Robert Bédard. Ce recueil est désigné par la suite "[RB]».
* Distribution du plan de cours et d"une feuille d"exercices supplémentaires sur le chapitre 1. * Présentation du cours et du plan de cours. Présentation de l"évaluation prévue. * Chapitre 1 : Rappels sur le calcul différentiel à une variable.I Fonctions et domaines de définition
Définition d"une fonction, domaines de définition, opérations sur les fonctions... Voir[RB].
Quelques exemples donnés :
Domaine de définition de
f(x) =1px2+ 2x3
Il s"agit d"étudier le signe d"un polynôme du second degré...On obtientD=] 1;3[[]1;+1[.
Composition des fonctions :
f(x) = sin(x+ 4) ;g(x) =x32:On obtient :
fog(x) =f(g(x)) = sin(g(x) + 4) = sin((x32) + 4) = sin(x3+ 2); et gof(x) =g(f(x)) =f(x)32 = sin3(x+ 4)2.Réciproque def(x) =e2x+3:
y=f(x),y=e2x+3,ln(y) =2x+ 3,x=3ln(y)2Donc la réciproque estg(y) =3ln(y)2
(poury >0). On peut vérifier quegof(x) =xet fog(y) =y.II Limites
La définition précise n"est pas exigible des étudiants. Je la donne ici pour ceux qui seraient
intéressés; c"est plus compréhensible avec les dessins d"" intervalles autour d"un point » donnés
vendredi. (aetLdésignent des nombres réels) 1 limx!af(x) =Lsignifie : Pour tout" >0(" Pour tout intervalle autour deL, aussi petit soit-il, par ex. de taille2"») il existe >0(" on peut trouver un petit intervalle autour dea») tel que sijxaj (" tel que sixest dans ce petit intervalle[a;a+]») alorsjf(x)Lj ".(" alorsf(x)est dans l"intervalle[L";L+"]. ») limx!+1f(x) =Lsignifie : Pour tout" >0(" Pour tout intervalle autour deL, aussi petit soit-il, par ex. de taille2"») il existeM2R tel que sixM(" dès quexest assez grand ») alorsjf(x)Lj ".(" alorsf(x)est dans l"intervalle[L";L+"]. ») Remarque :dans ce cas, la courbe defa une asymptote horizontale d"équationy=L. limx!af(x) = +1signifie : Pour toutK2R(" Pour tout nombre réelK, aussi grand soit-il ») il existe >0(" on peut trouver un petit intervalle autour dea») tel que sijxaj (" tel que sixest dans ce petit intervalle[a;a+]») alorsf(x)K.(" alorsf(x)est au-dessus de ce nombreK. ») Remarque :dans ce cas, la courbe defa une asymptote verticale d"équationx=a. limx!+1f(x) = +1signifie : Pour toutK2R(" Pour tout nombre réelK, aussi grand soit-il ») il existeM2R tel que sixM(" dès quexest assez grand ») alorsf(x)K.(" alorsf(x)est au-dessus de ce nombreK. ») Remarque :la limite n"existe pas toujours. Par exemple : soitf(x) =1six <0,f(x) = 1six0. Il n"y a pas de limite en0(la limite à gauche est1, à droite c"est1, donc pas de limite globale. soitg(x) = sin(1x )pourx6= 0. A-t-elle une limite pourx!0?Opérations sur les limites :
Voir[RB], Prop.1.1. En résumé, on peut ajouter, multiplier, quotienter les limites, tant que l"opération formée a un sens. Se rappeler comment fonctionnent les opérations sur les limites avec1. Pour les produits etquotients, tout a du sens, sauf ces quelques formes indéterminées (où on ne peut pas conclure en
général et on doit regarder au cas par cas) : 0 1; 0=0; 1=1. Remarque :0=1n"est pas une forme indéterminée (donne0);1=0non plus (donne1).Limites des fonctions classiques :
Il faut savoir calculer une limite en1d"une fraction rationnelle (quotient de 2 polynômes). Il faut aussi connaître au moins les limites suivantes : 2 limx!1ex= 0;limx!+1ex= +1. limx!0+ln(x) =1;limx!+1ln(x) = +1.Dans des cas plus compliqués, il peut être utile de connaître les règles générales suivantes
1: Sif(x)est une exponentielle(ou=) un polynôme, et si le calcul de la limite en+1 (ou1) donne une forme indéterminée, alors c"est la limite de l"exponentielle qui l"em- porte.