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Page 2/29 Exercice n°9 Précisez l'ensemble de définition puis résoudre les inéquations suivantes : 1) ln(2 5 ) ln( 6) x x + ≤ + 2) ( ) ( ) ln 1 ln 3 ln3 x x − +

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I Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction (1) Domaine de définition : (1) ln ln Résolution de l'équation : ln ln ln ln ln ln(18) 

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Fonction logarithme exercices corrigés D son ensemble de définition et C sa courbe représentative a Domaine de définition : il faut que x > 0, soit Df = ]0 ; [

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et prend ses valeurs dans ]0 ; +∞[ (voir recherche de l'ensemble de définition) or la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ donc h est dérivable sur 1 ; 4 ⌉ ⌈

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1 5 corrigés exercices 2 4 corrigés exercices 2, ln1000000 puis, proposer à priori un domaine de définition pour la fonction ln B quels que soient les 

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Distribution du plan de cours et d'une feuille d'exercices supplémentaires sur le g(x, y) = ln(1 +xy) est continue sur son domaine de définition D = {(x, y) ∈ R2 

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2) Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition 3) Etudier les variations de et dresser son tableau de variations Exercice 4 1) On 

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b) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition c) Calculer )(' xf et montrer que pour tout x de Df : 2 2

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sin2(x) ln(sin(x)) Exercice b 7 - Donner le domaine de définition puis calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1 : x ↦→ x2 

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T ES Exercices sur la fonction logarithme Exercice 1 : Déterminer l' ensemble de définition des fonctions suivantes : 1) f(x) = ln(3x b 1)

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FONCTIONS LOGARITHMES 1 P.G. 2006/2007

2222 Simplifier le plus possible :

a. ln12 ln8 ln6ΔΓ 2

12 6ln12 ln8 ln6 ln ln9 ln3 2ln38=ΔΓ× ×× ×

b. ln1 ln2 ln3 lnnΓΓΓΓ! ln1 ln2 ln3 ln ln(1 2 3 ) ln( !)nnnΓ Γ ΓΓ × ====×!!

c. ln25 ln10 ln15ΔΔ

25 1ln25 ln10 ln15 ln ln ln610 15 6ΔΔ× ××Δ=

$$$$ Exprimer en fonction de ln 2 les nombres : a. ln 64 6 ln64 ln 2 6ln2×× b. 1ln16 4

1ln ln16 ln 2 4ln216×Δ ×Δ × Δ

c. ln 2 ln32Δ 5

11 9ln 2 ln32 ln2 ln 2 ln2 5ln2 ln222 2Δ× Δ × Δ×Δ

#### Donner une valeur approchée de chacun des nombres suivants, sachant que : ln 2 ? 0,69 ln 3 ? 1,10 ln 5 ? 1,61 ln 7 ? 1,95 a. ln 24 3 ln24 ln 2 3 3ln2 ln3×=×Γ ln24 3 0,69 1,10?= Γ ln24 3,17? b. 5ln18 2

5ln ln5 ln18 ln5 ln 2 3 ln5 ln2 2ln318×Δ ×Δ =×ΔΔ

5ln 1,61 0,69 2 1,1018?ΔΔ=

5ln 1,2818?Δ

c. 9ln14 2

9ln ln9 ln14 ln 3 ln 2 7 2ln3 ln2 ln714×Δ × Δ =× ΔΔ

9ln 2 1,10 0,69 1,9514?= Δ Δ

9ln 0,4414?Δ

$$$$%%%% Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : a. -+ 2 :5ln3fx xΔ"

La fonction x " lnx est dérivable sur ]0 ; + [ donc la fonction x " 5lnx Δ 3 est dérivable sur

]0 ; + [ (produit et différence de fonctions dérivables sur ]0 ; + [ ). Inutile de chercher dans quel ensemble elle prend ses valeurs car la fonction x " x 2 est dérivable sur f est donc dérivable sur ]0 ; + [ comme composée de fonction dérivables.

5]0; [ '( ) 2 5ln 3

xfxx x ?? Γ × = Δ = formule : 1 nn unuu 10 ]0; [ '( ) 5ln 3xfxx x

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FONCTIONS LOGARITHMES 2 P.G. 2006/2007

b.

12ln:3lnx

gx x

La fonction x " lnx est dérivable sur ]0 ; + [ donc la fonction x " 1 Δ 2lnx est dérivable sur

]0 ; + [ (produit et différence de fonctions dérivables sur ]0 ; + [ ).

De même, la fonction

x " 3 + lnx est dérivable sur ]0 ; + [ (somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + [ ) et ne s"annule qu"en e Δ3 3 ln 3 0 ln 3 exxx g est donc dérivable sur ]0 ; + [ Δ {e Δ3 } comme quotient de fonctions dérivables sur cet ensemble. 3 22

2113ln 12ln 23ln 12ln

0; e '( )3ln 3ln

xxxxxxxxgxxx 3 22

162ln 12ln70; e '( )3ln 3ln

xxxxgx xxx c. :ln2hx x xΔ" Recherchez tout d"abord l"ensemble de définition ! h(x) existe si et seulement si :

00001012104202210x

xxxxxxxxxxx

 ???? ΔΔΔR

RR

La fonction

xx" est dérivable sur ]0 ; + [ donc sur

1;4

. La fonction

2xxxΔ" est dérivable sur

1;4

(différence de fonctions dérivables sur

1;4

et prend ses valeurs dans ]0 ; + [ (voir recherche de l"ensemble de définition) or la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ donc h est dérivable sur

1;4

comme composée de fonctions dérivables.

141214122;'()42222x

x xxxhxxx xx xxxΔ ou, si vous préférez,

14141;'()4221221xxxhxxx x x xΔΔ

$$$$&&&& Déterminer les limites suivantes : a. 2

2ln 1limln 3

x x x 22
22

11ln 222ln 1 1lnln0; 133lnln 31ln 1lnlnx

xx x xxxx lim ln x x

×Γ donc

1lim 0ln

xxΓ

× théorèmes d"opérations ...

2

2ln 1lim 0ln 3

x x x

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FONCTIONS LOGARITHMES 3 P.G. 2006/2007

b. 20

2ln 1limln 3

x x x On utilise la même écriture •∞→ 2 2

122ln 1 1ln0; 13lnln 31lnx

x xxx x

ΔΔ?? Γ Δ × =ΓΓ et comme

0 limln x x

×Δ donc

0

1lim 0ln

xx

× théorèmes d"opérations ...

20

2ln 1lim 0ln 3

x x x c. 2 0 lim 2ln x xx 2 0 lim x x

Δ ×Δ et

0 limln x x

×Δ donc

2 0 lim 2ln x xx $$$$'''' Déterminer les limites suivantes : a. 2 0 ln 1lim x x x 2 ln 1x x

Γ existe si et seulement si

2

0010xxx

?Γ. Ensemble de définition : 2 0 lim 0 x x

× et

0 ln(1 )lim 1 h h h

Γ× donc

2 2 0 ln 1lim 1 x x x

Γ× (théorème de composition)

or 22
2 ln 1 ln 1*xx xxx x

ΓΓ?? × =≥ donc

2 0 ln 1lim 0 x x x (théorème de multiplication) b. ∞• 3 lim ( 3)ln( 3) x xxx 3 lim ( 3) 0 x x

Γ× et

0 lim ln 0 X XX

× donc

3 lim ( 3)ln( 3) 0 x xx

ΓΓ× (théorème de composition)

3 lim ( 3)ln( 3) 3 x xxx

ΓΓΔ× (théorème d"addition)

c. 2 ln 1lim x x xΓ On a déjà déterminé l"ensemble de définition ≥*. 22222

11ln 1ln ln 1ln 1*x

xxx x x xxx 22

1ln 1ln 12ln0;xx

x x

Par théorème (croissances comparées)

lnlim 0 x x xΓ 2

1lim 0

x x

× donc

2

1lim 1 1

x x 1 lim ln 0 X X 2

1lim ln 1 0

x x théorème de division : 2 1ln 1 lim 0 x x xΓ 2 ln 1lim 0 x x xΓ

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FONCTIONS LOGARITHMES 4 P.G. 2006/2007

d. 2 0 lim ln x xx 2 lnxx existe si et seulement si 2

00xx?. Ensemble de définition : ≥*.

2 *ln 2lnxxx xx?? ×≥ 2

0; ln 2 lnxxx xx?? Γ × or

0 lim ln 0 x xx

× donc

2 0 0 lim ln 0 x x xx 2 ;0 ln 2 ln( ) 2( )ln( )xxx x x x x?? Δ × Δ ×Δ Δ Δ 00 lim( ) 0 xx x

Δ× or

0 lim ln 0 X XX

× donc

0 0 lim( )ln( ) 0 x x xx

ΔΔ× donc

2 0 0 lim ln 0 x x xx

Bilan :

2 0 lim ln 0 x xx e.

1lim ln1

x x xΔ 1ln1x x existe si et seulement si 10 101x
x xΓ ΔΓ. Ensemble de définition : ]Δ ; Δ1[ #]1 ; + [.

1lim lim 11

xx xx xxΔ Δ

Δ××Γ et

1 lim ln 0 X X

× donc

1lim ln 01

x x xΔ

Δ×Γ (théorème de composition)

f. ln( 2)limln( 3) x x x ln( 2) ln( 3)x xΔ

Γ existe si et seulement si 20 2 2

30 3 3 2

ln( 3) 0 3 1 2xxx xxxx xxxΔ

Ensemble de définition : ]2 ; + [.

2ln 12ln 1ln 12ln2ln 1ln ln 11ln( 2)ln2;33ln( 3)33ln ln 1 ln 1ln 1 ln 1

1 ln 1lnlnx xx x xxxxxxxxxx xxxxxxx

Appliquez les théorèmes d"opérations ...

ln( 2)lim 1ln( 3) x x x $$$$(((( Résoudre les équations suivantes : a. ln( 3) ln(2 ) ln(11 7 )xxxΓΓ Δ× Δ

Ensemble de définition :

113;7Δ car

33011 1111 7 0 377202x

x xxx xxΔ

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FONCTIONS LOGARITHMES 5 P.G. 2006/2007

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