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Algorithmique en classe

de première avec AlgoBoxVersion 1.3 - Août 2017 Cette oeuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d"utilisation Commerciale - Partage à l"identique 3.0 non trans- posé.

© 2017 Pascal Brachet

Vous êtes libre de reproduire, distribuer, communiquer et adapter l"oeuvre selon les conditions suivantes : V ousn "avezpas le droit d"utiliser cette oeuvre à des fins commerciales. Si v ousmodifiez, tr ansformezou adaptez cette oeuvre, v ousn "avezle droit de distribuer votre création que sous une licence identique ou similaire à celle-ci. Cette brochure a été réalisée avec le système de composition L

ATEX et l"éditeur TEXMAKER.

- i -

SOMMAIRE

Sommaire

Avant-proposiv

I Activités "élèves»

1

1 Pourcentages2

2 Second degré4

3 Fonctions6

4 Statistiques/Probabilités

11

5 Suites numériques

16

6 Géométrie23

7 Trigonométrie

26

II Annexes

28

A Structures algorithmiques de base avec AlgoBox

29
A.1 Variables et affectations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A.2 Instructions conditionnelles

32

A.3 Boucles

34

B Mémento sur l"utilisation d"AlgoBox

38

B.1 Équivalence entre " pseudo-codes »

38

B.1.1 Entrée des données

38
B.1.2 Affichage des données. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 B.1.3 Affecter une valeur à une variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

B.1.4 Structure SI ALORS

39

B.1.5 Boucle POUR...

39

B.1.6 Structure TANT QUE...

39

B.2 Les problèmes de syntaxe

40

B.2.1 Les erreurs de syntaxe les plus courantes

40

B.2.2 Syntaxe des opérations mathématiques

40

B.2.3 Syntaxe pour les conditions

40
B.2.4 Syntaxe pour les fonctions statistiques et les opérations sur les listes 41

B.2.5 Fonctions concernant les probabilités

41
B.2.6 Fonctions concernant les chaines de caractères 41

B.3 Fonctionnement d"AlgoBox

41

B.3.1 Les deux règles fondamentales

41

B.3.2 Les variables

42

B.3.3 Les listes de nombres

42
- ii -

SOMMAIRE

B.3.4 Boucle POUR...DE...A

42

B.3.5 Structure TANT QUE

42
B.3.6 Utilisation de l"onglet " Utiliser une fonction numérique » 43
B.3.7 Utilisation de l"onglet " Dessiner dans un repère » 43

B.3.8 Utilisation d"une " Fonction locale »

44
B.3.9 Récupération facile d"un code AlgoBox dans un traitement de texte 45

B.4 Quelques techniques classiques

45

B.4.1 Diviseur?

45

B.4.2 Entier pair ou impair?

45
B.4.3 Entier pseudo-aléatoire compris entre 1 et N 45

B.4.4 " Balayage » d"un intervalle

45

B.4.5 Suites numériques

46

B.4.6 Échanger le contenu de deux variables

47
B.4.7 Afficher un message contenant du texte et des nombres. . . . . . . . . . 47

C Algorithmes supplémentaires

48

C.1 Second degré

48

C.2 Paramètres d"une série statistique

49
C.3 Tabulation loi binomiale - Intervalle de fluctuation à 95% 50
- iii -

Avant-propos

Rappel des instructions officielles concernant l"algorithmique dans les programmes de mathématiques :

1.Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).

Les élèves, dans le cadre d"une résolution de problèmes, doivent être capables : d" écrireune formule permettant un calcul ; d" écrireun pr ogrammecalculant et donnant la valeur d"une fonction ; ainsi que le sinstructions d" entréeset sorties nécessair esau tr aitement.

2.Boucle et itérateur, instruction conditionnelle.

Les élèves, dans le cadre d"une résolution de problèmes, doivent être capables de : pr ogrammerun calcul itér atif,le nombr ed"itér ationsétant donné ; pr ogrammerune instruction conditionnelle, un calcul itér atif,avec une fin de boucle condi- tionnelle.

3.Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à :

décrir ecertains algorithmes en lang agenatur elou dans un lang agesymbolique ; en r éaliserquelques-uns à l" aided"un tableur ou d"un pr ogrammesur calculatrice ou avec un logiciel adapté; interpr éterdes algorithmes plus complexes.

Contenu de cette brochure :

Des activités " élèv es» strictemen tconf ormesa uxprogr ammesen vigueur .

Des annexes com portant:

Des activités d" apprentissagedes techniques de base en al gorithmiquea vecAl gobox;

Un mémen tosur les f onctionsd" AlgoBox;

Des al gorithmessupplémen tairesen r apporta vecle con tenuma thématiquedes pro- grammes de première.

À propos des activités "élèves» :

Les fiches " professeurs » et " élèves » sont sur des pages différentes afin de faciliter les photo-

copies.

Les activités sont présentées ici sous forme d"énoncés " à trou ». Il est bien sur possible de les

adapter selon sa convenance.

Adaptations possibles :

donner l" algorithmecom pletet demander de décrire ce qu"il f ait; demander la réalisa tioncom plètede l" algorithmeà partir de zéro.

Les fichiers AlgoBox des algorithmes de la partie " Activités élèves » et de l"annexe C sont

disponibles en ligne à l"adresse suivante :http://www.xm1math.net/algobox/algobook.html

Première partie

Activités " élèves »

- 1 -

1. POURCENTAGES

1

Pourcentages

Fiche professeur 1A

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

3 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_1A.alg -Contexte (1ES/1STMG) :Application directe du cours sur les hausses en pourcentage

Fiche professeur 1B

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

3 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_1B.alg -Contexte (1ES/1STMG) :Recherche du nombre de hausses nécessaires pour doubler la valeur d"une grandeur (algorithmique " utile » - résolution mathématique directe im- possible en première) - Utilisation d"une boucleTANT_QUE - 2 -

1. POURCENTAGES

Fiche élève 1A

Compléter la ligne 8 pour que l"algorithme AlgoBox ci-dessous soit correct :1:VARIABLES 2: prixHT EST_DU_TYPE NOMBRE 3: prixTTC EST_DU_TYPE NOMBRE 4:

TVA EST_DU_TYPE NOMBRE

5:DEBUT_ALGORITHME

6:LIRE prixHT

7:LIRE TVA

8:prixTTC PREND_LA_VALEUR prixHT*(..............)

9:AFFICHER "Le prix TTC est égal à "

10:AFFICHER prixTTC

11:FIN_ALGORITHMEFiche élève 1B

Le PIB d"un pays émergent est de 700 milliards d"euros en 2010. Selon un modèle de prévision,

il devrait augmenter de 10% par an dans les années futures.

On cherche à créer un algorithme AlgoBox qui permette de déterminer en quelle année le PIB

aura doublé par rapport à 2010.

Compléter les lignes 7 et 9 ci-dessous pour que l"algorithme proposé réponde à la question.1:VARIABLES

2: annee EST_DU_TYPE NOMBRE 3:

PIB EST_DU_TYPE NOMBRE

4:DEBUT_ALGORITHME

5:PIB PREND_LA_VALEUR 700

6:annee PREND_LA_VALEUR 2010

7:TANT_QUE(PIB............)FAIRE

8:DEBUT_TANT_QUE

9:PIB PREND_LA_VALEUR PIB*...........

10:annee PREND_LA_VALEUR annee+1

11:FIN_TANT_QUE

12:AFFICHER "Le PIB aura doublé en "

13:AFFICHER annee

14:FIN_ALGORITHME- 3 -

2. SECOND DEGRÉ

2

Second degré

Fiche professeur 2A

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

5 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_2A.alg -Contexte (1S/1ES/1STL/1STMG) :Recherche et codage des conditions pour que les va- leurs d"un trinôme soient toujours strictement positives. - 4 -

2. SECOND DEGRÉ

Fiche élève 2A

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =ax2+bx+caveca,0. Compléter la ligne 11 pour que l"algorithme AlgoBox ci-dessous soit correct :1:VARIABLES 2: a EST_DU_TYPE NOMBRE 3: b EST_DU_TYPE NOMBRE 4: c EST_DU_TYPE NOMBRE 5: delta EST_DU_TYPE NOMBRE

6:DEBUT_ALGORITHME

7:LIRE a

8:LIRE b

9:LIRE c

10:delta PREND_LA_VALEUR b*b-4*a*c

11:SI(.......................)ALORS

12:DEBUT_SI

13:AFFICHER "f(x) est toujours strictement positif"

14:FIN_SI

15:SINON

16:DEBUT_SINON

17:AFFICHER "f(x) n"est pas toujours strictement positif"

18:FIN_SINON

19:FIN_ALGORITHME- 5 -

3. FONCTIONS

3

Fonctions

Fiche professeur 3A

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

7 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_3A.alg -Contexte (1S/1ES/1STL/1STMG) :Création d"un tableau de valeurs avec unTANT_QUE -Prolongement possible :Faire tracer les points correspondants dans un repère (il suffit d"utiliser l"ongletDessiner dans un repèreet d"ajouter l"instructionTRACER_POINT (x,y) aprèsAFFICHER y). Attention : pour tracer une courbe en joignant les points par un segment, il faut un algorithme plus complet (il faut les coordonnées des deux points à joindre - un exemple est fourni avec AlgoBox :menu "Fichier" -> "Ouvrir un exemple")

Fiche professeur 3B

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

8 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_3B.alg -Contexte (1S) :Recherche d"une valeur approchée de l"équationx2px= 2 par dichotomie sur [0;2]. -Prolongements possibles : Rem placerla boucle POUR numero_etape ALLANT_DE 1 A 4par unTANT_QUEpor- tant sur la précision souhaitée. Étudier un a utrecas où la f onctionest strictemen tdécroissan te Établir un al gorithmequi f onctionnedans tous les cas (f onctionstrictemen tcrois- sante ou strictement décroissante)

Fiche professeur 3C

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

10 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_3C.alg -Contexte (1S) :Recherche par "balayage» du premier point d"une courbe dont le coeffi- cient directeur de la tangente dépasse une certaine valeur . -Prolongement possible :Introduire une variable correspondante au pas et adapter l"algo- rithme en conséquence. - 6 -

3. FONCTIONS

Fiche élève 3A

Soitfla fonction définie sur[0; +1[parf(x) =x+px. On cherche à créer un algorithme qui permette de compléter automatiquement le tableau de valeurs suivant :x00;511;522;533;544;55 y=f(x)Pour cela, on utilise le principe suivant : pour chaque valeur dex, on calcule la valeur cor- respondante deyet on augmente la valeur dexde 0;5tant quela fin du tableau n"est pas atteinte. Compléter les lignes 6, 8 et 13 pour que l"algorithme AlgoBox ci-dessous réponde au pro- blème :1:VARIABLES 2: x EST_DU_TYPE NOMBRE 3: y EST_DU_TYPE NOMBRE

4:DEBUT_ALGORITHME

5:x PREND_LA_VALEUR 0

6:TANT_QUE(x.....)FAIRE

7:DEBUT_TANT_QUE

8:y PREND_LA_VALEUR ............

9:AFFICHER "Si x vaut "

10:AFFICHER x

11:AFFICHER " alors y vaut "

12:AFFICHER y

13:x PREND_LA_VALEUR ............

14:FIN_TANT_QUE

15:FIN_ALGORITHME- 7 -

3. FONCTIONS

Fiche élève 3B

On considère la fonctionfdéfinie sur[0; 2]parf(x) =x2pxdont la courbe est donnée ci- dessous :0 1 2 3 4 5 2 O b y?x ?x b x?On cherche à déterminer une valeur approchée du réelx0tel que f(x0) = 2. On admet quefest strictement croissante sur[0;2]et que sa courbe ne contient pas de " trous » . Commef(0) = 0etf(2) = 4p2>2, on sait quex02[0; 2].

Pour déterminer une valeur approchée dex0, on utilise la méthode dite de la " dichotomie »

dont le principe consiste à couper l"intervalle en deux et à regarder de quel côté se situe la

solution par rapport au milieu de l"intervalle. 1.

Étan tdonné un in tervalle

[a;b]de milieumet contenantx0(aveca>0 etb62).

Sif(m)<2, dans quel intervalle se situex0?

2f(m)?

x0 a b mSif(m)>2, dans quel intervalle se situex0? 2 f(m) b x? a m2.C ompléterle tablea usuiv ant:

ÉtapeIntervalle de départ

[a;b]milieumf(m)<2?Nouvel intervalle [a;b]1a= 0 ;b= 2m= 1OUIa= ;b=2a= ;b=m=a= ;b=3a= ;b=m=a= ;b=4a= ;b=m=a= ;b=- 8 -

3. FONCTIONS

3.

On cherche à a utomatiserles cal culsgr âceà un al gorithme.C ompléterles lignes 14 et 18

pour que l"algorithme AlgoBox ci-dessous réponde au problème.1:VARIABLES 2: a EST_DU_TYPE NOMBRE 3: b EST_DU_TYPE NOMBRE 4: m EST_DU_TYPE NOMBRE 5: numero_etape EST_DU_TYPE NOMBRE

6:DEBUT_ALGORITHME

7:a PREND_LA_VALEUR 0

8:b PREND_LA_VALEUR 2

9:POURnumero_etapeALLANT_DE1A4

10:DEBUT_POUR

11:m PREND_LA_VALEUR (a+b)/2

12:SI(m*m*sqrt(m)<2)ALORS

13:DEBUT_SI

14:...... PREND_LA_VALEUR m

15:FIN_SI

16:SINON

17:DEBUT_SINON

18:...... PREND_LA_VALEUR m

19:FIN_SINON

20:AFFICHER a

21:AFFICHER "

22:AFFICHER b

23:FIN_POUR

24:FIN_ALGORITHME- 9 -

3. FONCTIONS

Fiche élève 3C

Soitfla fonction définie sur[0; 3]parf(x) = 10x2pxetCfsa courbe représentative dans un repère. 1. Dériv erfet montrer que pourx2]0; 3], on af0(x) = 25xpx. 2. C alculerle coe fficient directeur de la tangente àCfau point d"abscisse 1. 3. C alculerle coe fficient directeur de la tangente àCfau point d"abscisse 2. 4.

On cherche à déterminer à l" aided"un al gorithmeune v aleurapprochée à 0 ;01 près du

premier nombreatel que le coefficient directeur de la tangente au point d"abscisseasoit supérieur ou égal à 50. On sait d"après les premières questions queaest compris entre 1 et 2. On part donc dea= 1 et on augmenteade 0,01 tant que le coefficient directeur ne dépasse pas 50.

Compléter les lignes 5 et 7 pour que l"algorithme AlgoBox ci-dessous réponde au problème.1:VARIABLES

2: a EST_DU_TYPE NOMBRE

3:DEBUT_ALGORITHME

4:a PREND_LA_VALEUR 1

5:TANT_QUE(.....................)FAIRE

6:DEBUT_TANT_QUE

7:a PREND_LA_VALEUR ..............

8:FIN_TANT_QUE

9:AFFICHER a

10:FIN_ALGORITHME- 10 -

4. STATISTIQUES/PROBABILITÉS

4

Statistiques/Probabilités

Fiche professeur 4A

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

12 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_4A.alg -Contexte (1S/1ES) :Simulation de 100000 lancers de deux dés - Calcul du gain moyen associé - Espérance d"une variable aléatoire -Prolongement possible :Au lieu d"une simulation de 100000 lancers, on peut effectuer des centaines de simulation de 1000 lancers.

Fiche professeur 4B

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

13 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_4B.alg -Contexte (1S/1ES/1STL/1STMG) :Simulation d"un QCM - Calcul de la moyenne des notes obtenues -Prolongement possible :Effectuer le calcul de la moyenne des notes au sein de l"algo- rithme.

Fiche professeur 4C

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

14 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_4C.alg -Contexte (1S/1ES/1STL/1STMG) :Simulation de naissances - Loi binomiale

Fiche professeur 4D

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

15 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_4D.alg -Contexte (1S/1ES/1STL/1STMG) :Fluctuation loi binomiale - Détermination avec un algorithme des entiersaetb. -Prolongement possible :Détermination de l"intervalle de fluctuation en divisantaetbpar la taille de l"échantillon. - 11 -

4. STATISTIQUES/PROBABILITÉS

Fiche élève 4A

Un jeu consiste à lancer deux dés, un rouge et un noir. Pour pouvoir jouer il faut payer 1 euro.

On gagne 3 euros si la somme des points est supérieure ou égale à 9, 1 euro si la somme des points est inférieure ou égale à 4 et rien dans les autres cas. On cherche à savoir combien peut-on espérer gagner en moyenne si on joue un grand nombre

de fois à ce jeu. Pour cela, on appelle "gain effectif», la différence entre la somme gagnée et la

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