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François Tassin / Guillaume Dutertre

BE 1 -Transformation DCT - Compression d'image

1

BE Ǧ La transformation en cosinus

discrète (DCT, inverse DCT) et son

Le but de ce BE est d'Ġtudier la compression JPEG, tout du moins une partie de la compression, à

savoir la transformation en cosinus discrète puis quantification. Dans un premier temps, on codera une fonction MATLAB permettant d'effectuer une transformation

DCT sur une matrice de taille 8*8. Ensuite, on intègrera cette fonction dans un ensemble permettant

la compression d'images. On s'intĠressera ă l'influence du facteur de quantification (qui détermine la

matrice de quantification utilisée dans le processus de compression) sur le taux de compression (on

se contentera de compter le nombre de coefficients non nuls dans les matrices) et sur l'erreur entre une image avant et après compression/décompression. Les étapes de la compression d'une image sont les suivantes :

1) La fonction " lecture_image_bmp » renvoie les 3 matrices de dimensions 2 contenant les valeurs

2) La fonction " conversion_spatial_frequantiel » convertit chaque bloc 8*8 de la matrice en

appliquant la DCT sur ces blocs, puis divise ces blocs par une matrice de quantification dont les

coefficients dépendent du facteur de quantification demandé (on utilise ici des facteurs entre 1 et

25).

3) La fonction " ecriture_jpg ͩ se charge d'enregistrer les coefficients calculĠs dans un fichier.

Ajout de la fonction " m_DCT2 » dans MATLAB

On se charge d'insĠrer une fonction ͨ m_DCT2 » permettant de renvoyer la transformée en cosinus

discrğte d'une matrice. La formule est la suiǀante :

Aǀec DCT la matrice de sortie (aprğs transformation), pidžel celle d'entrĠe de taille NΎN.

Voici le code MATLAB de cette fonction :

function [a] = m_DCT2(m) [N,N] = size(m); a = zeros(N,N); for i=0:N-1 for j=0:N-1 if i==0 c1=1/sqrt(2); else c1=1;

François Tassin / Guillaume Dutertre

BE 1 -Transformation DCT - Compression d'image

2 end if j==0 c2=1/sqrt(2); else c2=1; end for u=0:N-1 for v=0:N-1 end end end end end

Application de la compression DCT à une image

On intègre cette fonction dans le processus de compression DCT, puis on applique cette compression

décompressée, on calcule le facteur de compression (nombre de termes non nuls après compression

matrice de différence entre la matrice initiale et celle décompressée).

Voici l'image originale :

François Tassin / Guillaume Dutertre

BE 1 -Transformation DCT - Compression d'image

3

Voici quelques images obtenues après compression puis décompression pour différents facteurs de

quantification : 1 5

10 15

20 25

On remarque que plus le facteur de quantification augmente, plus la qualité diminue. En effet,

l'image paraŠt de plus en plus ͨ floue » lorsque le facteur augmente, et on visualise de plus de plus le

dĠcoupage de l'image par bloc de 8Ύ8 pidžels. En effet, plus le facteur de quantification est élevé, plus

les termes de la matrice de quantification sont grands, et donc plus de termes de la matrice DCT

François Tassin / Guillaume Dutertre

BE 1 -Transformation DCT - Compression d'image

4

après quantification (division par la matrice de quantification) sont négligés, il y a donc plus de

données perdues.

Les matrices de coefficients DCT ne contiennent pas de zĠros aprğs l'application de l'algorithme de

quantification. Il faut donc choisir la valeur minimale des coefficients à garder dans la matrice et

utiliser un algorithme qui va remplacer les coefficients inférieurs à cette valeur par zéro. On choisit

de ne garder que les valeurs absolues supérieures à 1. On obtient les résultats suivants : On remarque que le taux de compression diminue lorsque le facteur de quantification augmente,

mais non linéairement. En effet, les termes de la matrice de quantification dépendent du facteur de

matrice de quantification, ces derniers évoluent de manière inversement proportionnelle au facteur

évolue de cette manière.

On obserǀe ensuite l'erreur entre l'image originale et l'image compressĠe puis dĠcompressĠe :

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 5 10 15 20 25 30

Taux de compression

Indice de quantification

Compression en fonction de la quantification

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

7000000

0 5 10 15 20 25 30

Norme de l'erreur

Indice de quantification

Erreur en fonction de la quantification

François Tassin / Guillaume Dutertre

BE 1 -Transformation DCT - Compression d'image

5 complémentaire à celle de la compression.

Conclusion

Le procédé de compression JPEG permet en gĠnĠral de compresser l'image sans perte significatiǀe de

une bonne compression. 0 5 10 15 20

0 5 10 15 20 25 30

Pourcentage d'erreur moyenne

Indice de quantification

Pourcentage d'erreur en fonction de la

quantificationquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31