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BanqueMPInter-E NS-Sess ion2017

Rapportsurl'´epreuvede TIPEdema th´ematiques. Ecolesconcern´ee s:ENS(Paris)-ENSdeLyon-ENSdeParis-Sac lay -ENSde Rennes

Coecients(enpourcentage dutotald'adm ission):

ConcoursMP:

•ENSdePar is-Sacl ay:3.8%

ENSdeLyon :5.4%•ENS(Pari s):7.4%

•ENSdeRe nnes:3. 8%

ConcoursInfo:

•ENSdePar is-Sacl ay:7.9% •ENSdeLyon :6.3% •ENS(Pari s):3.3% •ENSdeRe nnes:11. 4% MembresduJury:B.Der oin,V.Vargas,J.-M.Mireb eau ,H.Zaag

D´eroulementdel'´epreuveL'´epreuvedeTIPEestcommuneaux quatreE NS.Lecandidatd´e pose,lorsd esoninscription

aucon cours,unrapportsouslaforme d'unu niquefichierpdfp r´esentan tsontra vail,etpr´ec ise quelleenestladisci pline dominante(m ath´emat iques,informatique,physique).Ler apport,

dedeux `acinqpagesauxq uelle ss'ajoutentun ebibliograp hieetd'´eventuellesfigures,d ´ecritlaprobl´ematiquequelecandidatachoisid'´et udier,les outils qu'ilautilis´esetl es r´eponsesqu'ila

apport´ees;cerapportdoitnatur ell ement ˆetrel'oeuvredu candidatet nonlareproductiond'un ouvrage.Cependant,c erapportn'estpas´evalu´eentantq uetel :ilconstituelesu pportsurlequel

s'appuieral'´epreuveorale.Iln 'apaspourvocationd'ˆetreencyclop´e diquenided´e crire touteslesconnaiss ancesdesonauteurdansundomainedonn´e: ilestd oncinu tile,mˆemenuisi ble,de

pr´esenterdestextestr`eslongsqu elesexamin ateursnepourrontpas´e tudiercorrectem ent,ou d'yadjoind redesannexespl´ethoriq ues.` Apl usforteraisonle spi`ecessup pl´ementaires pr´esent´ ees lejourd el'´epre uvenes erontpasprisesenconsid´eration. L'oralproprem entditdure40minutes.Lecandidat esttoutd'ab ordinvit´e`a pr´ esenterson

travail,enabordantrapideme ntlec ontenumath´ematiqu e.Lechoixestlaiss´eaucandidatdepr´esentersontravailsurtranspare ntsouau tableau(untableauetunr ´etroproj ecteursont`asa

dispositiondanslasalled'interr ogation).Lecand idatpeu ts'appuyersu rsonrapportquelejury asou slesyeuxl orsdel'´e preuve.Cetexpos´e d'introductionser t`aentrerdanslevifdusujet,le

juryl'interr omptrapidementpourv´erifierlacompr´e hensiondesconceptsutilis´esen posantdesquestionspluspr´ecisesouenp roposantdese xercicescourtsenrapportavecl esujet tr ait´e.

1 Lecan didatnedoitpass'inqui ´eter den'avoire uletem psdepr´esenter,`alafindel'´epreuve, qu'unepetitepartie duplanpr´evu,niduf aitquelejuryaitcon centr ´esesques tionssurunpoint particulier.Onnedoitpasnonplusˆetre gˆen´e parlefai tquelese xaminate urspose ntbeaucoup d'exercicesouqueleurrapportaveclesu jet nesoitpasim m´ediatement ´evident(ilpeu tnese d´egagerqueprogressi vement).

Crit`eresd'´evaluation

L'´epreuvedeTIPEdemath´ematiq uesest ,avanttout,un e´epr euvedemath´ematiques.Le

premiercrit`ered'´eval uationestdonclabonnem aˆıtriseducontenumath´ematiquedel'´et udeet

bienentendude celleduprogrammed eMP. Bienquecomport antuneparti e´ecrite(lerapport)qui sedoitd'a voiruncontenumath´ ema- tiques´erieux,l eTIPEdemath´ematiquesestune´ epreuv eoraleetc'est doncpri ncipalementla discussionentrelecandidatetle juryquiestpris eencomp tedanslanotefinale. Lessuje tspluridisciplinai ressontlesbienvenus,toutcommelesconsid´erationsd'ordreem-

piriqueetexp´erimental ,oules impl´ementationsinformatiques,maislecandidatd oitˆ etre`amˆ eme

delesr elier`aun eanalysemath´ematique .Lejury souhaitetr ouver,notamment,de s´enonc´es math´ematiquespr´ecissurlesquelsilpour raasseoirsesquestions.Le soinapport´e `ad'autres ´el´ementsdurapportnepeutenaucun casrem ´edier`al'insusancedecontenu math´em atique quenousavon sconstat´ee danscertainst ravaux.Enparticulier,nousat tironsl'att entiondu candidatsurl'importanc educhoixd eladisciplinedanslaquelleilpr´e senter asonTIPE(math - ´ematiques,informatiqueouphysique )etquiconditionnelejuryquil'´e cout era:unTIPEcentr´e surlaprogr ammationi nformatiqued'unalgorithmeder ´esolution(typeRubik'scube)aurait

peut-ˆetre´et´eplusavantageuseme ntpr´esent´eeni nformatique.Le sjurysnesontpasmixtesetle

jurydemath´e matiqu esn'apasvocation`atesterlesprogrammesinfor matiques.

Comp´etencesattendues

L'´epreuvedeTIPEalaparticular it´ede permettreaucan did atdech oisirleth`emesurlequel ilsera interrog´e.E ncontrepartie,lejuryattenddesapar tunebon necompr´ehensiondece sujetetdesoutils math´em atiquesem ploy´espourletrai ter.Ilvadesoiqu'onnesupposedu candidataprioriaucunec onn aissanceau-del`adu programmedesclasse spr´eparatoires,etnous luiconseil lonsderesterautantquepossibled anscecad re,nes'en´ecartantq uesicelaest n´ecessaireausujetchoisi.Nouspenson sde fa¸cong´en´eraleq u'ilestpossibledetr ouverd es th`emesrichesetoriginaux sanss'´eloignerbeaucou pduprogr amme.Enrevanche,lam aˆıtrise

desconcept saveclesquelsonpr´ete ndavoirtravail l´eestindispensable.Lescan did atspr´esentant

unsuje tdeprobabilit´es doivent savoirpr´esenterrigoureusementleform alismeauprogramme (univers,´ev`enement,variabl eal´eatoire)surunexempledebase,commelelan cerdedeuxd´es. Lacom posante"initiativepersonn elle"enmath´ematiqueestpeut- ˆetreplusdicile`ace rner qu'eninformatiqu eouenphysique.Certainscandidatsse sen tentai nsioblig´esded´elivrerun programmeinformatiqueen annexequelejuryn'apasvocation`at ester. L'initiativepersonnelle doitcorrespo ndre`aunquestionnementducandidattout aulon gdelap r´eparationdesonTIPE enmath´e matiques:p ourchaquer´ esultatintrodui tondoitˆetrecapabledefourniru nexemple ouun contre- exemple,v´erifiersonapplicationdansuncassimple, justifierdelan´ecessit´e de toutesleshypoth` eses,´eval uerla"force"dur´esultat... S'agissantd'unth´eor`eme, lecandidatdoit ˆetrecapable,sionleluidemande,def airela

d´emonstrationsicelle-ciestsimpleoud 'expose rlesid´ees-cl´essansentr erdanslesd ´etails,et

d'indiquerenquoileshypoth`esess ontn´ec essaires.I ln'estbi ensˆurpasd´efendud'admettre uned´emons tration,maiscelle-cidoitˆetreindiqu´eec ommetelle danslerapport,etl'onveiller a

n´eanmoins`adonnerun´enonc´ epr´ec isdur´esultatenq uesti on.Nousmettonssp´ecialeme nten

gardelescan didatscontr elatentationd'aborderdes sujetstr`esambit ieuxe tparcons´equentmal 2

maˆıtris´es,ouencoredechoisirundomainemat h´e matiquevaste(comm elatopol ogiealg´ebrique

oul' analysecomplexe),etdepr ´esenterunrapportquin'estqu' unecomp ilationd eth´eor`emes sansiniti ativepersonnelleetsurlaquelle onn'auraaucunrecul.Lecandidatalaposs ibilit ´e d'apporterdesnotespersonnel les,etdel esconsulter`a saguiseencasdedoutesuruneformule

ouun ´enonc ´e,maisildoit´egalementsavoi rs'end´et acherdan slecadred udialogueaveclejury.

Th`emeschoisis

Leth `emedel'ann´ee´etai t"Optim alit´e:choix,contraintes ,hasard".Leju rydemath´ema tique

estcons cientdeladicult´edesuivreleth `emeim pos´echaqueann´ee etn'acc ordequepeud'im- portanceaulienavecleTIPE ducand idat.

Ati tred'exemple,v oiciquelques-unsdesth`emesles

plusfr´eque ntsdanslesquelss'inscriventles sujetsque nousavonsrencontr´escettean n´ee:

•Etudesd'´equationsd i↵´erentielles:´equationsdeLotka-Volterra,sy st` emeSI/SIS/SIR...,

stabilit´e,th´eor`emedePoincar´e- Bendixson. •Arithm´etique:corpsfinis,cryptographie,co des correcteursd 'erreurs. •Th´eoriedeGalois,courbese llipt iques,constructi ons`alar`egleetaucomp as. •Th´eoriedesgraphes:th´e or`emedes 5couleurs,probl`e med eDirichlet,th´eor`ememax-flow min-cut. •Probabilit´es:rotor-routeur,percolation, pro cessusdeGalton-Watson,mouvementbrown- ien,algorithme Page-Rank,filesd'attente. •Alg`ebrelin´eaire:invari antsdesimilitudes,d´ecomp osit iondeFrobenius,algorithmesde d´ecompositionsmatricielles. •Equationsauxd´eriv´eespar tiell es:´equationdeBurger,´equationdela chaleur. •Th´eoriedesgroupes:actions degroupes, repr´esentationsd es groupes.

•G´eom´etrie:invariantdeDehn,g´eom ´et rieprojective,groupesd etransf ormations(paradoxe

deBanach Tarski).

•Syst`emesdynamiques:suitesd ´efiniesparr´ecurrence,foncti onlogi stique,fractales,ergo d-

icit´e,chaos,conjugaisontop ologique,etc. •Logiquemath´emat ique:ind´ependancedel'axiomeduchoix,hyp oth`eseducontinu,th´eor`eme detrans fert. •Topologiealg´ebrique :groupefondamental,th´eor`emedeBrouw er, th´eoriedesn oeuds. •Pavages:dominos,algori thm edeThurston. •Th´eoriedesjeux:jeudeNi m,th´eor` emedeSprague-Grun dy Quelquesrarescandidatsontpr ´epar´eleurTI PEennes'appuyantsuraucu nelitt ´eratureex- istante,cherchant`ar´es oudrepareux-mˆemesunprobl` emede leurchoix.Pr´ecisonsquece typed'´etud en'estpasinint´eressantap riorimaisdemandeun lourdin vestissement,unbon encadrement,etqueleprobl`emesoitbie nchoisi .

Remarquessurlaforme

Leju rya´et´e,dans l'e nsemble,plutˆotsati sfaitdesdi ↵´erentsrapports.C'estle signeque

l'´epreuveestpriseaus´erieuxet travaill´e ependantlap´eri ode (pourtantcharg´ee)delapr´e pa.Il

estappr´e ciabledevoirunev´eritablebibliograp hiefigur erenfindu rapport.Ils emblepourtant

n´ecessairedepr´eciserque,mˆem es'iln es'agitpasd'une´epreuvedefran¸ cais,lerapport contient

dutext eetnousnepouvonsqu econse illerauxcan didatsd eserelireattent ivementav antde rendreleurrapport.Ce rtainscandidat sontpr´esent´euntr availcommunsurunsujet.C 'esttout

`afaitp ossibleetm ˆemeb´en´efiquepourlet ravailau coursdel'ann´ees colaire.Lejuryappr´ecieque,

dansuntelc as,lecan didatleme ntionne.Il seradan stouslescas´evalu´es ursacom pr´ehension personnelledusujetpr´esent´e.Nousrappelo nsqu'ilestinterditquedescandid atsdi↵´ere nts

pr´esententlemˆemerapport(cecasd efigurea malheureusemen t´et´erencontr´e`apl usieursre prises

cetteann´ee) . Encasd' usagedet ransparents,ceux -cidoiv entˆetrelisibles.Lasimplephotocopie dudoc- ument´ecritdonne g´en´eralementdesc aract`erestropp etits.Pr´ecisonsqu'ilnesert`ariende projeterletextedurapport, quelej uryasouslesyeux. Pourfin ir,noustenons`aremer cierceux qui,parlerecu lqu'il sontpr issurlaquestionq u'ils´etudiaient,l eniveau deleurtravai letla

qualit´edeleurexpos´e,n ousontd onn´el'occasion d'avoirun´echanged'unr´ eelint´er ˆetsc ientifique.

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