[PDF] DROITES, PLANS ET VECTEURS DE LESPACE PDF Chapitre_11

Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l'espace Terminale S d1 d2 Attention Deux droites distinctes de l'espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si

Quand deux droites sont coplanaires, d'après le cours de géométrie plane, on sait qu'il existe trois types de positions relatives de ces deux droites : sécantes,

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- Les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires 2) Positions relatives de deux plans Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles

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rappel Deux vecteurs de l'espace sont colinéaires si et seulement si leurs Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes

[PDF] 1 DROITES ET PLANS DANS LESPACE - Pierre Lux

deux droites sécantes C B A d 2) LE PARALLELISME DANS L'ESPACE A) POSITION RELATIVE DE DEUX PLANS PROPRIETE 1: Deux plans peuvent être :

[PDF] Vecteurs, droites et plans dans lespace - Lycée dAdultes

1 fév 2021 · Deux droites sécantes ou strictement parallèles définissent également un plan (P ) Exemple : Dans le cube ABCDEFGH le plan (P) est défini

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Deux droites sécantes sont coplanaires Exemples : Ci-contre est tracé le cube ABCDEFGH Les droites (FG) et (EH) sont coplanaires et

[PDF] Les droites (AB) et ∆ sont coplanaires si elles sont parallèles ou

Ex1 Dans un repère de l'espace ; , , , on donne les points ( −4 ; 4 ; 2 ) et ( −3 ; 6 ; 3 ) et la droite ∆ de représentation paramétrique : =1− =2+2 =1+ avec ∈ ℝ

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démontrer que les plans (IJK) et (ABC) sont parallèles Indice : Pour prouver que deux plans sont paralleles, il suffit de trouver deux droites secantes d'un plan qui

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Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l'espace Terminale S d1 d2 Attention Deux droites distinctes de l'espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si

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Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L"ESPACE

I- Droites et plans de l"espace

1. Positions relatives de droites et de plans

(a) Position relative de deux droites Deux droites distinctes de l"espace peuvent être soit coplanaires soit non copla- naires. Si elles sont non coplanaires, alors elles n"ont aucun pointcommun (elles ne sont pas sécantes). d1 d2 ?A Si elles sont coplanaires, il y a deux situations possibles : soit elles sont sécantes (elles ont un point commun); d1 d2 A soit elles sont parallèles (elles n"ont aucun point commun). 1 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S d1 d2

Attention

Deux droites distinctes de l"espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si elles n"ont aucun point commun. Deux droites de l"espace qui ne sont pas sécantes ne sont pas nécessairement pa- rallèles. (b) Position relatives d"une droite et d"un plan Soit une droite et un plan de l"espace, il y a a trois situations possibles : soit la droite et le plan ont un point commun, on dit qu"ils sont sécants; P d A soit la droite et le plan n"ont aucun point commun, on dit que la droite est strictement parallèle au plan; 2 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S P d

soit la droite est contenue dans le plan.

P d (c) Position relative de deux plans Soit deux plans distincts de l"espace, il y a deux situationspossibles : les deux plans n"ont aucun point commun, on dit qu"ils sont parallèles; P1 P2 l"intersection des deux plans est une droite, on dit qu"ils sont sécants. 3 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S P1 P2

2. Parallélisme

Définition 1

Soit deux droitesD1etD2de l"espace. On dit queD1etD2sont parallèles lorsqu"elles sont distinctes et parallèles (strictement parallèles) ouconfondues.

Définition 2

Soit une droiteDet un planPde l"espace. On dit deDest parallèle àPlorsque

D∩P=∅ouD?P.

Définition 3

Soit deux plansP1etP2de l"espace. On dit queP1etP2sont parallèles lorsque P

1∩P2=∅(strictement parallèles) ou lorsqueP1etP2sont confondus.

Propriété 1

Soit trois droitesD1,D2etD3de l"espace.

SiD1est parallèle àD2etD2parallèle àD3, alorsD1est parallèles àD3.

Théorème 1

Une droitedest parallèle à un planPsi et seulement si elle est parallèle à une droite

Δ contenue dans ce planP.

Démonstration

Sidest parallèle àPet quedn"est pas contenue dansP, on cherche une droite deP qui soit parallèle àd. SoitAun point dePetQle plan passant parAet contenant Δ. Les plansPetQsont sécants : ils ont le pointAen commun et ils ne sont pas confondus card∩P=∅. Soit Δ la droite d"intersection dePetQ.

Δ est une droite deP.

4 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S Δ etdsont coplanaires et, commed∩P=∅, on ad∩Δ =∅, donc Δ etdsont parallèles. Réciproquement, si il existe une droite Δ dePparallèle àdet quedn"est pas contenue dansP, on va montrer par l"absurde queP∩d=∅. SoitQle plan contenantdet Δ. Supposons qu"il existe un pointA?P∩d, alors A?P∩Q, c"est-à-direA?Δ, ce qui est absurde puisquedet Δ sont strictement parallèles.

On en conclut quedest parallèle àP.

d P

Propriété 2

SoitDune droite de l"espace etP1,P2deux plans de l"espace. Si les plansP1etP2sont parallèles et siDest parallèle àP1, alors elle est aussi parallèle àP2.

Propriété 3

Soit deux droitesD1etD2de l"espace etPun plan de l"espace. Si les droitesD1etD2sont parallèles et siD1est parallèle àP, alorsD2est également parallèle àP.

Théorème 2

Un planP1est parallèle à un planP2si et seulement si il contient deux droites sécantes d

1etd?1parallèles au planP2.

Démonstration

Si les plansP1etP2sont parallèles, considérons deux droitesd1etd?1deP1sécants en un pointA1et un pointA2du planP2. SoitQle plan passant parA2contenantd1etQ?le plan passant parA2contenantd?1. QcoupeP2suivant une droited2etQ?coupeP2suivant une droited?2. Les droitesd2etd?2sont deux droites sécantes du planP2respectivement parallèles à d

1etd?1.

Réciproquement siP1contient deux droites sécantesd1etd?1parallèles respectivement à deux droites sécantesd2etd?2du planP2, démontrons par l"absurde queP1etP2 sont parallèles. 5 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S Supposons queP1etP2sont sécants et soitdla droite d"intersection de ces deux plans. d

1est parallèle àP2etd1parallèle àP1doncd1est parallèle àd.

De même,d?1est parallèle àP2etd?1est parallèle àP1doncd?1est parallèle àd. On a alorsd1parallèle àd?1, ce qui est absurde, doncles deux plansP1etP2sont parallèles. d1 P2 d?1P1

Propriété 3

Soit trois plansP1,P2etP3de l"espace. SiP1est parallèle àP2etP2parallèle àP3, alorsP1est parallèle àP3.

Théorème 3

SoitP1etP2deux plans strictement parallèles. Alors tout plan qui coupe l"un coupe l"autre et les droites d"intersection sont parallèles.

Démonstration

SoitQun plan sécant avecP1suivant une droited1, alorsQest sécant avecP2suivant une droited2. d

1etd2sont coplanaires. Si elles étaient sécantes en un pointA,Aserait un point de

1∩P2, ce qui est absurde, doncd1etd2sont parallèles.

P1P 2 Pd 1 d 2

Théorème 4

6 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S Soit deux plansPetQsécants suivant une droite Δ et une droitedparallèle àPet

àQ, alorsdest parallèle à Δ.

P1P2 d

Démonstration

SoitAun point de Δ etd?la droite passant parAparallèle àd. d ?passe parA?Petd?est parallèle àPdoncd?est contenue dansP. De même,d?passe parA?Qetd?est parallèle àQdoncd?est contenue dansQ. d ?=P∩Qc"est-à-dired?= Δ, et on adparallèle à Δ.

Théorème 5

(théorème du toit) Soit deux plansP1etP2sécants suivant une droite Δ. Sid1est une droite du planP1etd2une droite du planP2telles qued1etd2sont parallèles, alors Δ est parallèle àd1et àd2. 7 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S P1 P2 d1 d2 ×A

Démonstration

d1est parallèle àd2, elle est donc parallèle au planP2, elle est également parallèle à

1, elle est donc parallèle à la droite d"intersection de ces deux plans.

On a doncd1etd2parallèles à Δ.

Exemple

SABCDest une pyramide dont la baseABCDest un parallélogramme. ?A?B? D?C? S L"intersection des plans (SAB) et (SCD) est la droite Δ passant parSparallèle à (AB) et à (CD). Ces deux plans possèdentSen commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite Δ. Δ passe parS. 8 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S (AB) est une droite du plan (SAB). (CD) est une droite du plan (SCD). CommeABCDest un parallélogramme, (AB) et (CD) sont parallèles . D"après le théorème du toit, Δ est la parallèle à (AB) et à (CD) passant parS.

II- Vecteurs de l"espace

1. Notion de vecteur de l"espace - Opérations sur les vecteurs de l"espace

La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise à l?espace. A tout couple de points (A,B) du plan on associe le vecteur--→AB.

SiA?=B,--→ABest caractérisé par :

sa direction (celle de la droite (AB));

son sens (deAversB);

sa norme (?--→AB?=AB).

Un vecteur non nul de l"espace pourra se noter?u,?uest caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. Soit quatre pointsA,B,CetDde l?espace.--→AB=--→CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme. Soit?uun vecteur de l"espace etAun point de l"espace, il existe un unique pointBtel que--→AB=?u. Les règles de calculs sont les mêmes qu"avec les vecteurs du plan. En particulier, le vecteur nul, noté-→0 , est le vecteur tel que, pour tout vecteur?ude l?espace,?u+-→0 =-→0 +?u=?u.

Exemple 1

ABCDEFGHest un cube.

?A?B? D ?C? E? H F? G

EH=--→ADet--→AD=--→BCdonc--→EH=--→BC, on en déduit queEBCHest un parallélo-

gramme et que--→EH=--→BC.

Exemple 2

ABCDEFGHest un cube.

9 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S ?A?B? D ?C? E? H F? G

Placer les pointsM,N,P,Q,Rtels que :--→AM=--→AB+--→DH;--→AN=-→AE+--→AB+--→AD;-→AP=--→FE+--→DG;-→AQ=1

2. Caractérisation d"une droite - Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Définition

Deux vecteurs?uet?vde l?espace sont colinéaires si et seulement si il existe un réelk tel que?u=k?vou un réelk?tel que?v=k??u. Cela signifie, lorsque?uet?vsont non nuls, qu"ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l"espace.

Propriété 1

SoientA,B,CetDquatre points de l?espace tels queA?=BetC?=D. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs--→ABet--→CD sont colinéaires.

Propriété 2

SoitA,BetCtrois points de l?espace.

Les pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires.

Exemple

ABCDIJKLest un parallélépipède rectangle.Gest le centre de gravité du triangle BIK. 10 Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l"espace Terminale S B? ?A?B? D ?C? I? L J? K ?G

Démontrer que les pointsJ,DetGsont alignés.

On va montrer que les vecteurs

JDet-→JGpar exemple sont colinéaires en les exprimant en fonction des vecteurs--→AB,--→ADet-→AI. On sait queGest le centre de gravité du triangleBIK. SiB? est le milieu de [IK], on a--→BG=2

3--→BB

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L"ESPACE

I- Droites et plans de l"espace

1. Positions relatives de droites et de plans

Attention

soit la droite est contenue dans le plan.

2. Parallélisme

Définition 1

Définition 2

D∩P=∅ouD?P.

Définition 3

1∩P2=∅(strictement parallèles) ou lorsqueP1etP2sont confondus.

Propriété 1

Soit trois droitesD1,D2etD3de l"espace.

Théorème 1

Δ contenue dans ce planP.

Démonstration

Δ est une droite deP.

On en conclut quedest parallèle àP.

Propriété 2

Propriété 3

Théorème 2

1etd?1parallèles au planP2.

Démonstration

1etd?1.

1est parallèle àP2etd1parallèle àP1doncd1est parallèle àd.

Propriété 3

Théorème 3

Démonstration

1etd2sont coplanaires. Si elles étaient sécantes en un pointA,Aserait un point de

1∩P2, ce qui est absurde, doncd1etd2sont parallèles.

Théorème 4

àQ, alorsdest parallèle à Δ.

Démonstration

Théorème 5

Démonstration

1, elle est donc parallèle à la droite d"intersection de ces deux plans.

On a doncd1etd2parallèles à Δ.

Exemple

II- Vecteurs de l"espace

1. Notion de vecteur de l"espace - Opérations sur les vecteurs de l"espace

SiA?=B,--→ABest caractérisé par :

sa direction (celle de la droite (AB));

son sens (deAversB);

sa norme (?--→AB?=AB).

Exemple 1

ABCDEFGHest un cube.

Exemple 2

ABCDEFGHest un cube.

2. Caractérisation d"une droite - Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Définition

Propriété 1

Propriété 2

SoitA,BetCtrois points de l?espace.

Exemple

Démontrer que les pointsJ,DetGsont alignés.

On va montrer que les vecteurs

3--→BB

soit la droite est contenue dans le plan.

sa direction (celle de la droite (AB));

son sens (deAversB);

sa norme (?--→AB?=AB).