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1) DROITES ORTHOGONALES Soit d et d' deux droites ( non obligatoirement coplanaires ) de l'espace et A1 et A2 deux points de l'espace d1 et d1' sont les
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Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales
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Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan Exemple Dans le cube ABCDEFGH , la droite (AE) est
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Ainsi, deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si des vecteurs directeurs de ces droites sont orthogonaux Ce résultat fournit un outil très
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2) Deux droites D et D/ sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et coplanaires (donc sécantes) En effet, par hypoth`ese, D est parall`ele `a
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26 jui 2013 · 1 6 1 Droites orthogonales 1 6 2 Orthogonalité entre une droite et un plan Propriété 1 : Deux droites, dans l'espace, peuvent être :
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Parallélisme et orthogonalité dans l'espace 1 Parallélisme et intersection ➢ Par deux points A et B distincts il ne passe qu'une seule droite, la droite (AB)
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Savoir-Faire : Déterminer la position relative de deux droites, un plan et une droite, deux plans (ex 33 p 278 pour le parallélisme) Dans le cas o`u des objets
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Exposé 47 : Orthogonalité dans l"espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, plan perpendiculaires, application.
Pre requis :
- produit scalaire - vecteur directeur d"une droite, vecteur normal à un planCadre :
E espace affine euclidien d"esp. Vectoriel associé E??.1) Droites orthogonales
a) Vecteurs orthogonaux Definition : deux vecteursu?et v? sont orthogonaux si et seulement si . 0uv=? ? b) Droites orthogonalesDefinition :
- deux droites D et D" de vecteur directeurs u?et v? non nul sont orthogonales si les vecteurs u?et v? sont orthogonaux. - Si de plus elles sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"une est orthogonale à l"autre Remarque : dans le plan, deux droites orthogonales à une même troisième sont paralleles, mais pas dans l"espace (prendre les axes du repere orthgononal.)Proposition : Soit
Pun plan, A P? et une droite D P?. Il existe une unique droite D"de P passant par A et perpendiculaires à D.2) Orthogonalité d"une droite et d"un plan
Remarque : existence d"une droite perpendiculaire à un plan.P un plan
?sous espace de dimension 2, P possède un vecteur normal qui dirige toute droite orthogonale D... a revoir a) Definition Definition : Soit D une droite de E et P un plan de E. D est orthogonale à P si D est orthogonale à toute droite de P Autrement dit : D et P sont orthogonaux lorsque pour toutes bases (v?,w??)vectorielles de P?? on a : u?.v?=0 et u?.w?? = 0 avec u?vecteur directeur de D. Remarque : pour qu"une droite soit perpendiculaires à un plan, il suffit qu"elle soit perpendiculaires à deux droites secantes de ce plan b) Proprietes Soient deux droites D et D" distinctes et deux plan P et P" distincts.Propriétés :
- Si D et D" sont paralleles, alors tout plan orthogonal à l"une est orthogonal à l"autre. - Si P et P" sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"un est orthogonale à l"autrePreuve :
- Soit u? (resp. "u??) vecteur directeur unitaire de D (resp.D"). Alors "u u= ±? ??. Si P est dirigé par ( v?,w??) alors . 0 . 0 ". 0 ". 0 "P D u v et u w
P D u v et u w P D
Si// " "P P P P? =?? ???, on pose (v?,w??) une base de vecteur unitaire. Soit D une droite perpendiculaire à P alors . 0 . 0 "P D uv et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ?? " . 0 . 0P D u v et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ??Corollaire :
Si deux droites distinctes sont orthogonales à un même plan, alors elles sont paralleles. Si deux plans distincts sont orthogonaux à une même droite alors ils sont paralleles Si un plan P et une droite D?P sont orthogonaux à une même droite alors D et P sont paralleles. Proposition : Il existe une unique droite D passant par un point A de E donné et orthogonale à un plan P donné.3) Plans perpendiculaires
Proposition : L"intersection de deux plans non parallèles et distincts est une droite. Preuve : par les equations de plan ou par les dimensions Definition : Deux plans P et P" de E sont dits perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.Propriété : Un plan P est perpendiculaire à un plan P" si et seulement si il contient une droite