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Exercices de colle

Léonard Blier et Jonathan Laurent

16 février 2016

Table des matières

1 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Caractérisation fonctionnelle de l"injectivité

1.2 Caractérisation fonctionnelle de la surjectivité

1.3 Caractérisation fonctionnelle des ensembles infinis

1.4 Une preuve du théorème de Cantor-Bernstein

2 Relations d"ordre, relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Recouvrements d"ensemble

2.2 Ensembles totalement ordonnés dénombrables

2.3 Relation d"équivalence sur les fonctions réelles

2.4 Treillis complet

2.5 Fonction entre classes d"équivalence

3 Fonctions usuelles, convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Inégalité sur l"exponentielle

3.2 Tangente et polynomes

3.3 Entropie et Divergence de Kullback-Leibler

4 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1 Equation de Bernoulli

4.2 Solutions des équations linéaires d"ordre quelconques.

4.3 Equations différentielles et involutions

4.4 Résolution générale des équations linéaires d"ordre 1

5 Suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.1 Suites entières

5.2 limsup, liminf

5.3 Une généralisation du théorème de Césaro

5.4 Séries

5.5 Fonction contractante

5.6 Caractérisation des ensembles de valeurs d"adhérence

5.7 Suite à variation décroissante

6 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.1 Unique antécédent

6.2 Involution dansR+

6.3 Continuité de fonction croissante

6.4 Borne supérieure glissante

6.5 Fonction réelle surjective

6.6 Continuité et convergence uniforme

6.7 Semi-Continuité

6.8 Caractérisation par les ouverts

7 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.1 Croissante sur un voisinage?

7.2 Bornes d"une intégrale

7.3 Surjectivité des tangentes

7.4 Minoration de la dérivée seconde

8 Développements limités et analyse asymptotique . . . . . . . . . 12

8.1 Questions courtes

8.2 Convergence simple de la série de Taylor de sinus

8.3 Racines imbriquées

8.4 Développement asymptotique des solutions d"une equation

8.5 Un calcul de limite

8.6 Arccosinus

9 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

9.1 Questions courtes

9.2 Critère d"Euler

9.3 Somme de parties entières

10 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

10.1 Formule de Legendre

10.2 Sommes d"inverses

10.3 PGCD et suite de Fibonacci

10.4 Parties stables deN

10.5 Infinité des nombres premiers

11 Groupes, anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11.1 Questions courtes

11.2 Groupe dihedral

11.3 Groupe des fonctions affines

11.4 Sous-groupes maximaux

12 Polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12.1 Anneaux, quotients, polynomes, ...

12.2 Division de polynomes

12.3 Nombre de solutions d"une équation

12.4 Minoration du module des racines

13 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

13.1 (Quasi) surjectivité des fractions rationnelles

13.2 Fraction rationnelle et longueurs d"intervalles

13.3 Calcul de série

14 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

14.1 Exemples

14.2 Quelques supplémentaires

14.3 Intersections, unions, sommes

14.4 Equation de Cauchy

14.5 Endomorphismes nilpotents

14.6 Supplémentaire commun

14.7 Identité de Leibniz

14.8 Un peu de dénombrement

14.9 Pour ceux qui aiment l"algèbre

14.10Petits exos faciles

14.11Contraintes indépendantes

14.12Décomposition de l"unité

14.13Division polynomiale et projecteurs

14.14Corps et sur-corps

1 Théorie des ensembles

1.1 Caractérisation fonctionnelle de l"injectivité

1. Soien tEetFdes ensembles, etf:E!Fune fonction injective.

SoitGun ensemble, etg:E!Gune fonction quelconque.

Montrer qu"il existe une fonctionh:F!:Gtelle queg=hf Ef > F G g _h ...................2.Récipro quement,supp osonsque fn"est pas injective. Construire un en- sembleGet une fonctiongtelle qu"on ne puisse pas construire une telle fonctionh

1.2 Caractérisation fonctionnelle de la surjectivité

1. Soien tEetFdes ensembles, etf:E!Fune fonction surjective.

SoitGun ensemble, etg:F!Gune fonction quelconque.

Montrer qu"il existe une fonctionh:E!:Gtelle queh=gf Ef > F G h _. ........g< 2. Récipro quement,supp osonsq uefn"est pas surjective. Construire un en- sembleGet une fonctiongtelle qu"on ne puisse pas construire une telle fonctionh

1.3 Caractérisation fonctionnelle des ensembles infinis

SoitEun ensemble. Montrer queEest infini si et seulement si pour toute fonctionf:E!E, il existeAEtel queAest stable parf.

1.4 Une preuve du théorème de Cantor-Bernstein

On rappelle le théorème de Cantor-Bernstein : Théorème 1.SoientEetFdeux ensembles, etf:E!Fetg:F!Edeux injections. Alors il existeh:E!Fune bijection. Autrement dit, siEs"injecte dansFetFs"injecte dansE, alors ces deux ensembles sont equipotents. 4 Les définitions sont ici très formelles, car c"est la manière la plus rigoureuse de rédiger. On s"attachera à bien faire comprendre les définitions. Soitx2E. On définit(un(x))nla suite (éventuellement finie) deESFdéfinie par : u

0(x) =x

2n+1=g1(u2n)si cela a un sens

2n=f1(u2n1)si cela a un sens

On définit de même les suites(vn(y))npour touty2F.

On définit :

1:=fx2Ej(un(x))est infinieg

E:=fx2Ej(un(x))finit enEg

F:=fx2Ej(un(x))finit enFg

On fait de même pourF1;FE;FF.

1. Mon trerque (F1;FE;FF)est une partition deF, et que(E1;EE;EF)est une partition deE(dont certaines des parties sont éventuellement vides). 2.

Construire une bijection en treE1etF1.

3. Construire des bijec tionsen treEEetFEd"une part, etEFetFFd"autre part. 4. En conclure le théorème de Can tor-Bernstein.

2 Relations d"ordre, relations d"équivalence

2.1 Recouvrements d"ensemble

SoitEun ensemble. On dit que(Ui)i2Iest un recouvrement deEsi8i2 I;U iEetS iUi=E. 1. Une partition e st-elleun recouvremen t?Un recouvremen test-il u neparti- tion. Soit X un ensemble.P(X)est-il un recouvrement deX? 2. Soien t(Ui)i2Iet(Vj)j2Jdeux recouvrements. On dit que(Ui)est plus fin que(Vj)si8i2I;9j2j UiVj. Cette relation forme-t-elle une relation d"ordre? Montrer qu"il existe un recouvrement "maximal" qui soit plus fin que(Ui)et(Vj). Maximal signifie que tout recouvrement vérifiant la propriété sera plus fin que celui-ci. 3. Soit X un ensem ble,et soien tfi:Ui!Xdes fonctions. Montrer l"équiva- lence suivante : 5 (i)8i;j2I;8x2Ui\Uj;fi(x) =fj(x) (ii)

Il existe f:E!Xtelle que8i2I;8x2Ui;f(x) =fi(x)

2.2 Ensembles totalement ordonnés dénombrables

Montrer que tout ensemble dénombrable totalement ordonné est isomorphe (en tant que qu"ensemble ordonné) à un sous-ensemble deQ.

2.3 Relation d"équivalence sur les fonctions réelles

On considère l"ensemble des fonctions deRdansR. On dit quefetgsont équivalentes s"il existec >0tel que8x > c;f(x) =g(x). Montrer que cette relation est bien une relation d"équivalence.

2.4 Treillis complet

Soit(E;<)un ensemble (partiellement) ordonné. On dit queEest un treillis complet si tout sous ensemble deEpossède une borne supérieure. 1. Les ensem blessuiv antsm unisde leur relation d"ordre canonique son t-ilsdes treillis complet?[0;1];]0;1[;R;P(X)(oùXest un ensemble quelconque). 2. Soit (E;<)un treillis complet. Soitfune fonction croissante deEdansE.

Montrer quefpossède un point fixe.

Indication :On introduiraA=fx2Ejxf(x)g

3. En déduire que toute application croissan tede [0;1]dans lui-même possède un point fixe. 4. On se sert de ce résultat p ourdémon trerle théorème de Can torBernstein. SoientEetFdeux ensembles,fetgdes injections deEdansFet deF dansE. On définit :P(E)! P(E)

M7!(Eng(Fnf(M)))

Montrer quepossède un point fixeM. Construire une bijection entreM etf(M)d"une part, et entreEnMavecFnf(M)d"autre part. En déduire le théorème de Cantor Bernstein.

2.5 Fonction entre classes d"équivalence

SoientEetFdes ensembles,Rune relation d"équivalence surEetSune rela- tion d"équivalence surF. Soitfune fonction deEdansF. Donner une condition 6 nécessaire et suffisante telle qu"il existe ^ftelle que ce diagramme commute Ef > F E=Rp _^ f> F=Sq _oùpetqsont les projections canoniques.

3 Fonctions usuelles, convexité

3.1 Inégalité sur l"exponentielle

Montrer que pour toutn2Netx0, on a :

e xnX i=0x kk!(3.1)

3.2 Tangente et polynomes

Montrer que toutes les dérivées successives dex!tan(x)peuvent s"exprimer comme un polynome entan(x).

3.3 Entropie et Divergence de Kullback-Leibler

Soitp= (p1;:::;pn)un n-uplet tel que8i;0pi1etPn

i=1= 1. Ce n-uplet s"interprète comme une distribution de probabilité sur un ensemble fini. On définit l"entropie de cette distribution par :

H(p) =nX

i=1p ilog(pi)(3.2)

Mon trerque H(p)0

Énoncer l"inégalité d eJensen. En dédu ireune b ornesup érieurep ourH(p), et déterminer une distribution où elle est atteinte On a maintenant deux distributions de probabilitépetq. On définit la diver- gence de Kullback-Leibler par :

D(p;q) =nX

i=1p ilog(qi)H(p)(3.3)

Mon trerque D(p;q)est positive.

T rouverune cond itionnécessaire et suffisan tep ourque D(p;q) = 0 7

4 Equations différentielles

4.1 Equation de Bernoulli

On considère une modélisation de l"évolution d"une population. L"équation la définissant est : N

0(t) =aN(t)(1NN

max) oùa;Nmax2R+. Trouver toutes les solutions de cette équation.

4.2 Solutions des équations linéaires d"ordre quelconques.

Soienta0;:::;an2C. On considère l"équation différentielle suivante : a ny(n)+:::+a1y0+a0y= 0 On considère le polynomeP(X) =anXn+:::a1X+a0, et1;:::;nses racines (supposées distinctes). Montrer que pour tout n-uplet1;:::;n2C, la fonction t!P ieiest solution de l"équation différentielle.quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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1 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Caractérisation fonctionnelle de l"injectivité

1.2 Caractérisation fonctionnelle de la surjectivité

1.3 Caractérisation fonctionnelle des ensembles infinis

1.4 Une preuve du théorème de Cantor-Bernstein

2 Relations d"ordre, relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Recouvrements d"ensemble

2.2 Ensembles totalement ordonnés dénombrables

2.3 Relation d"équivalence sur les fonctions réelles

2.4 Treillis complet

2.5 Fonction entre classes d"équivalence

3 Fonctions usuelles, convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Inégalité sur l"exponentielle

3.2 Tangente et polynomes

3.3 Entropie et Divergence de Kullback-Leibler

4 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1 Equation de Bernoulli

4.2 Solutions des équations linéaires d"ordre quelconques.

4.3 Equations différentielles et involutions

4.4 Résolution générale des équations linéaires d"ordre 1

5 Suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.1 Suites entières

5.2 limsup, liminf

5.3 Une généralisation du théorème de Césaro

5.4 Séries

5.5 Fonction contractante

5.6 Caractérisation des ensembles de valeurs d"adhérence

5.7 Suite à variation décroissante

6 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.1 Unique antécédent

6.2 Involution dansR+

6.3 Continuité de fonction croissante

6.4 Borne supérieure glissante

6.5 Fonction réelle surjective

6.6 Continuité et convergence uniforme

6.7 Semi-Continuité

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7 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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8 Développements limités et analyse asymptotique . . . . . . . . . 12

8.1 Questions courtes

8.2 Convergence simple de la série de Taylor de sinus

8.3 Racines imbriquées

8.4 Développement asymptotique des solutions d"une equation

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10.2 Sommes d"inverses

10.3 PGCD et suite de Fibonacci

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10.5 Infinité des nombres premiers

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11.1 Questions courtes

11.2 Groupe dihedral

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12.1 Anneaux, quotients, polynomes, ...

12.2 Division de polynomes

12.3 Nombre de solutions d"une équation