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BASESD'ANALYSE FONCTIONNELLE

Jean-YvesCHEMIN

LaboratoireJ.-L.Lions,Case187

UniversitéPierreetMarieCURIE,4Plac eJussieu

75230ParisCedex0 5,France

Télécopie:0144277200,adre ss eélect roniqu e:chem in@an n.jussieu .fr

17décem bre2017

2

Sommaire

1Espacesmétriques7

1.1Définiti ondesespacesmétriques........ ...... ........... ..7

1.2Espacesco mplets......... .................. ... .. ... 14

1.3Lanoti ondeco mpacité........... ...... ..............18

2Es pacesnormés,espacesd eBanach27

2.1Définit iondesespacesnormésetdesespacesde Banach. ........... .27

2.2Lesespa cesd'ap plicationslinéair escontinues...................32

2.3Espacesd eBanach,compacité etdimens ionfinie.......... .......38

2.4Compacit édanslesespacesdefonctions continues:leth éorèmed 'Ascoli....40

2.5Autour duthéorèmedeStone-Wei erstras s................ .....4 1

2.6Notion sd'espacesséparables..... ................. .......46

3Du alitédanslesespacesd eBanach51

3.1Présenta tionduconceptdedualité.......... ...... .........51

3.2Identifi cationd'unespacenorméavecundual..... ........... ...54

3.3Unedéfin itiona

aibliedelaconvergence dansE .................57

4EspacesdeHilbert63

4.1Leconcep td'ort hogonalité.. ............................63

4.2Lesprop riétésdes espacesdeHilbert........... ..... ........65

4.3Dualit édesespacesdeHilbert..... ...... ........... ...... 70

4.4Adjoin td'unopérateuretopérat eursauto-adjo ints................ 73

5EspacesL

p 81

5.1Rappels urlathéoriedela mesureetdéfin itiond esespacesL

p ..........82

5.2Lesespa cesL

p commeespacesdeBan ach........ ...... .......84

5.3Densité danslesespacesL

p .............................90

5.4Convolu tionetrégularisation........... ... ..............97

5.5Dualitée ntre L

p etL p ................................103

6LeproblèmedeDirichlet109

6.1Uneap procheclas siqueduproblème......... ...............110

6.2Leconcept dequas i-dérivée.... ...... ...................111

6.3L'espace H

1 0 )etle probl èmedeDirichlet......... ..... ......113 3

7LatransformationdeFourier117

7.1Latran sforméed eFouriersurL

1 (R d )........................117

7.2Laformu led'in versionetlethéorèmede Fourier-Plancherel...........121

7.3Démons trationduthéorèmedeRellich............ ...... .....123

8.1Définit iondesdistributionstempér ées;Exemp les.................126

8.2Opérati onssurlesdistributionstempérées ......... ..... ........131

8.3Deuxexemp lesd'appli cations........ ....................142

4

Introduction

Cetex teestlesuppo rtducou rs"Bases d'Analysefonctionnelle" delapr emièreannéedu MasterdeMathémati quesde l'UniversitéParisetMarieCurie.Lebutd ececours estd'acquérir unemaîtri seélémentrairemaissolided' outilsquisontfondamentauxpou rlacompréhensi on demath ématiquesintervenantaussibiendanslecoeu rdeladiscipline(géométrie,pro babilités, équationsauxdérivéespartielles )qu'enphy sique,enmécanique,ou biendanslesapplications desmath ématiquesàl'analysedesgrandssystèmes, l'a nalysed'image,statistique... . Toutd'abord, quelquesremarquesgénéralespour utilisercesnotes.Tout d'abord,ilne s'agitpasd'untrait é.Certainsr ésultatsclassi quessontabsentscomme lethéorèmedeCauchy- Lipschitzparcequ'exposésdansd 'autrescours, oubientraitésdansuncaspart iculiercomme lethéor èmedeStone-Weierstras s.Ilar rivequedesdémonstrationsfacilesquinesontque desappl icationssimplesdesdéfinitionssoientesqu isséesetmêmeomises.Iles tévident que

leurrédactio ndétailléeconstitueunexcel lentexerciced'apprentissag e.D'unemanièregéné-

rale,lelecteurdés ireuxd' acquérirdebon nesconnaissancesdesconcep tsintroduitsdevrase réapproprierlesdémonstrationsducou rs. Desdémon strationsqui,soitnesontpasconsidéréescomme centralesdansle courssoit sontconsidéréesco mmetropdi ciles,sontprésen téesdanscesnotes enpetitscaractères.Elles nesont pastraitéesencou rsmaisso ntlàpoursatisfaire la curiositéd'au diteursmotiv és. Lastru cturedecesnotesestlasuivante :Dans lec hapitre1,son texpos éeslesn otionsde basedelatopo logied esespacesm étriquesavecnotammentlesnotion sd'esp acescompletset

d'espacescompacts.Ils' agitd'unchapitredont lesrésul tatsdoiventabsolum entêtremaîtris és.

Lechap itre2estconsacréàl'étudedes espa cesvector ielsnormés.L'exemplefonda ment al desespaces defonctionsyest trait é.L'undespointsclefsestlaco mpr éhension duchangement induitsurlatopolog ieparlad imensio ninfinie(casnotammentdesespacesde fonctions). Le théorèmed'Ascoliquido nneuncritèredecompacitép ourlespar tiesdesespacesdefoncti ons continuesestuneillustrat iondes di cultésquisurgi ssentdansl ecadredeladimensioninfinie. Lechap itre3estconsacréàlanotiond edu alité.Bi enquebref,ilestfondamen tal .La

notiondedualitéest àlabas edelathéoriedesdistrib utions ,qu iarévo lutionnél'an alyseà

l'oréedelaseconde moitié duXXièm esiècle.Cettethéori eseraétudiéeauxchapi tre8Ou tre

leconcept d'applicatio nlinéairetransposée,onexpliquedanscecha pitrelaprocéduredite d'identificationduduald'unespacedeBanachàuna utreesp acedeBanachai nsiqu'une notiona aibliedelaconvergence quiestd éfinieda nslecadreduduald'unesp acedeBanach : laconv ergencedite"faibleétoile". Lechap itre4estunclassique:ilestco nsa créàl' étudedes espacesdeHilbertquisontune extensionàladimensionin fini edesespa ceseuclidiens. Lechap itre5estconsacréàl'étudedeses paces depuis sancepièmeintégra leparrapport àun emesure.O nrappellesansdémonst ratio nlesrésultatsfondamentau xdelathéoried e 5 l'intégration.Lanotionfondamentaledeconvol utiond esfonctionsestdéfinieetét udiée,puis appliquéeàlathéoriedel'ap pro ximat ion. Lechap itre6estconsacréàl'étudedup rob lèmedit deDirichletdansund oma ineborné. L'objectifdecechapitreestd edémon trer quepourtoutefonctionfdecarré intégrablesu r unouver t!connexebornédeR d ,il existeu neuniquesoluti onudansunespacefon ctionnel quel'ondéfi nira(l'espaced itH 1 0 )etap peléespacedeSobol ev)telleque,enu nsensél argi, onait d j=1 2 u x j 2 =f ettel quelaf onctionusoitnullesur lafrontièredel'o uvert!.On trouv elasolutionen cherchantsilaborneinférieur e(surl 'ensembl edesfonctionscont inûmentdérivablesur!età supportcompactdans!)de lafoncti on u"!# d j=1 u x j 2 dx! f(x)u(x)dx.

estattei nte.Nousverronsàl'oeuvr ebeaucoupdecon ceptsetderésultatsétab lis précédemment.

Onytro uve engermebeaucoupdesidéesd ela théoriedesdist ributionsétudiéeauc hapitr e8 Lechap itre7estconsacréàl'étudedel atr ansform éedeFouriersurl'espa ceR d des fonctionsintégrablesetàpl usieursdecesappications.Fondam enta l,ce chapitreestcrucial pourlesdeuxsui vants.

Lechap itre8estconsacréàlaprésenta tio ndelat héoriedesdistributions dit estempérées .

Lechoi xdeneprésenterquecet tethé orieetn onlathéoriegénéraled esdistribu tionstient à

unevolont édesimplicité.L'idéefond amental eestquelorsquel'onsaitdéfini runeopération

surlesfoncti onstrès régulièresettrèsdécroissant es(parexempl esurl'espacedeSchwartz) ,on

saitparduali téladéfini rsurl'espacedesdistribu tions tempéréesquigénérali selesfoncti onset

quicontien tdesobjettrèssingulier s.Cecha pitreestbi ensûrill ustréd'exemplesquidoivent êtreconnuset maîtriséssansqu oicet tethéorienepeutêtrenicompri seetniappliqu ée.Il seconclu tpardeuxapplicati ons:ladém onstratio ndufaitquelatransforméedeHilbertet,

àun econstante près,uneisométriedeL

2 (R)etpa rlarésolu tionexp licited'uneéquation di

érentiellesurR.

6

Chapitre1

Espacesmétriques

Introduction

Cech apitrecondensedesrésultatsd ebasesurlesespacesmétri ques.L apremièresection présentelanotiontrès intuit iveetnaturellededis tanceetmont recommentellepermetunetrès grandegénéralisatio ndesnotions(familièresdanslescasréeloucompl exe)desu iteconvergente etde fonctio nscontinues.Cettenotiondedi stancepermetaussidedéfinirles notionsab straites d'ouvertsetdefermésquisontut ili séscon stammentena nalysefonct ionnelle. Dansledeuxième section, onintroduitlanoti ond'espacecomplet,esp acedans lequeltoute suitedeCauchyconv erge.Cette notionestfondamen tale:cesontdanscesesp acesquel'on peutdémont rerquedessuitesconvergentsa nsavoira priori aucuneidéesurlal imite.Ils'agit làd'un outilfondamen taletd'usagetrès fréquentenanalysepourdémontrerdesthéo rèmes d'existence.LethéorèmedeCauch y-Lips chitzenestl'unedesillus tratio ns. Danslatroisi èmesectio n,onintroduitleconceptd'esp acecompact.Lapratiqu edel'a na- lysefonctionnel lenécessitededépasserlareprésentation élémentairedescompactsd ansles espacesR N L'ensembledecechapitreestas sezabst rai t.Lesexemples,illustrations etappli cationsde desnoti onsfondamentalesprésentéesd anscechapitreserontfréquentesdansla suiteducours.

1.1Définition desespacesmétriques

Définition1.1.1.SoitXunensemb le,onappelledistance surXtouteapplication ddeX$X dansR telleque d(x,y)=0%&x=y d(x,y)=d(y,x) d(x,y)'d(x,z)+d(z,y)

Lecoupl e(X,d)estappel éunespacemétrique.

Quelquesexemples

- Pr enonsX=Retd(x,y)=|x!y|.Cela définitu nespacemétrique. 7 - Pr enonsX=R N etch oisissonslesdi

érentesdistances suivantes:

d e (x,y) déf N j=1 (x j !y jquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33