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NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 1
A B CD P Q RSoit un carréABCD. On construit un rectangleAPQR tel que : PetRsont sur les côtés[AB]et[AD]du carré;AP=DR.
Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ)et(PR)sont perpendiculaires.1)Justifier que :
CQ!PR=!CQ(!AR!AP)
2)En déduire que les droites(CQ)et(PR)sont per-
pendiculaires.IllustrationD. LE FUR 1/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 2
A B CI3ABCest un triangle etIest le milieu de[BC].
On donne :BC= 4,AI= 3et(!IA;!IB) =3
Calculer :
1)!AB!AC;
2)AB2+AC2;
3)AB2AC2;
4)ABetAC.Illustration
D. LE FUR 2/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 3
On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j).Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon
du cercle.1)x2+y22x6y+ 5 = 0.
2)x2+y2x3y+ 3 = 0.Illustration
D. LE FUR 3/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 4
On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j).Déterminer l"équation du cercle de centre
(5 ; 1)tangent à la droite(D)d"équation : x+y4 = 0:Indication : on rappelle que la distance entre un pointA(;)et une droite(D)d"équationax+by+c= 0est
donnée par la formule : d(A;D) =ja+b+cjpa 2+b2:IllustrationD. LE FUR 4/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 5
On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j). On considère un triangleABCavecA(1 ; 2),B(3 ; 1)etC(2 ; 4).1)Déterminer une équation de la médiatrice du segment[AB].
2)Déterminer une équation de la hauteur issue deAdans le triangleABC.Illustration
D. LE FUR 5/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 6
Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on donne un point (2 ;3).1)Déterminer l"équation du cercle(C)de centre
et de rayonR= 5.2)Démontrer que le pointA(2 ; 0)est un point du cercle(C).
3)Déterminer une équation cartésienne de la tangente enAau cercle(C).Illustration
D. LE FUR 6/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 7
Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on considère les points suivants :A(2 ; 1),B(7 ; 2)etC(3 ; 4).
Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.1)Calculer les coordonnées du barycentreGde(A; 3),(B; 2)et(C;4).
2)Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de[BC].
3)Calculer!CB!CA. L"anglebCest-il droit?Illustration
D. LE FUR 7/ 50
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Exercice 8
ABCest un triangle équilatéral de côté5cm.Iest le milieu de[BC].Calculer les produits scalaires suivants :
1) !BA!BC;2)!CA!CI;
3)(!AB!AC)!AI.
IllustrationD. LE FUR 8/ 50
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Exercice 9
ABCest un triangle dans lequelAB= 2etAC= 3. De plus!AB!AC= 4. Ce triangle est-il rectangle? Si oui, préciser en quel sommet.IllustrationD. LE FUR 9/ 50
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Exercice 10
MNPQest un carré avecMN= 6.Iest le centre du carré.Calculer les produits scalaires suivants :
1) !MN!QP; 2) !MN!PN;3)!IN!IP;
4)!QI!NI.
IllustrationD. LE FUR 10/ 50
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Exercice 11
ABCDest un parallélogramme avecAB= 4,AD= 5etAC= 7.Calculer
!AB!AD. En déduireBD.IllustrationD. LE FUR 11/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 12
Démontrer que :k!u+!vk2 k!u!vk2= 4!u!vetk!u+!vk2+k!u!vk2= 2 k!uk2+k!vk2Lien avec le losange, le parallélogramme?
Démontrer que :
(!u+!v)(!u!v) =k!uk2 k!vk2En déduire qu"un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.D. LE FUR 12/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 13
A B CDEABCDest un rectangle tel queAD= 3etAB= 5.
Eest le milieu de[AB].
1)Calculer les longueursACetDE.
2)En exprimant chacun des vecteurs!ACet!DEen
fonction des vecteurs!ABet!AD, calculer le pro- duit scalaire!AC!DE.3)En déduire la valeur de l"angle= (!DE;!AC)en
degrés à0;01près.IllustrationD. LE FUR 13/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 14
Soit le triangleABCetKle projeté orthogonal deAsur[BC].On donne :AB= 6,BK= 4etKC= 7.
1)Iest le milieu de[BC]etGest le centre de gravité du triangleABC. Faire une figure.
2)Calculer les produits scalaires suivants :!BA!BC,!BC!CAet!IG!IBainsi que la somme :
!GA!AC+!GB!AC+!GC!AC3)Déterminer et représenter en rouge l"ensemble des pointsMdu plan tels que :!BM!BC= 44.
4)Déterminer et représenter en vert l"ensemble des pointsMdu plan tels que :(!MA+!MB+!MC)!AC= 0.Illustration
D. LE FUR 14/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 15
Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on considère le pointA(3 ; 5). Chercher une équation de la tangente enAau cercle(C)de centreOet de rayonOA.IllustrationD. LE FUR 15/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 16
Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), trouver une équation du cercle(C)de centreA(1 ; 2)et de rayon3et
déterminer les coordonnées des points d"intersection de(C)avec les axes de coordonnées.IllustrationD. LE FUR 16/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 17
SoientA(3 ; 1)etB(2 ; 4)dans un repère orthonormé(O;!i ;!j). Déterminer l"ensembledes pointsMdu plan dont les coordonnés(x;y)vérifient l"équation : (x3)(x+ 2) + (y1)(y4) = 0:IllustrationD. LE FUR 17/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 18
A B CD E (C)est un cercle de centreO, de rayonRetAest un point fixé du plan.Le but du problème est d"établir la propriété suivante : " Quelle que soit la droite(d)passant parA, coupant le
cercle(C)en deux pointsPetQ, le produit scalaire!AP!AQest constant. »1)SoitP0le point diamétralement opposé àP.
Montrer que :!AP!AQ=!AP!P0:
2)Montrer que :!AP!AP0=AO2R2:
3)Conclure.
IllustrationD. LE FUR 18/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 19
On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j). Déterminer le centre et le rayon du cercle(C)dont une équation est : x2+y2x+ 8y+ 10 = 0:Illustration
D. LE FUR 19/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 20
[AB]est un segment de milieuIetAB= 2cm.1)Montrer que pour tout pointMdu plan :
MA2MB2= 2!IM!AB:
2)Trouver et représenter l"ensemble des pointsMdu plan tels que :MA2MB2= 14.Illustration
D. LE FUR 20/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 21
On considère un segment[AB]tel queAB= 1dm.
Déterminer l"ensemble des pointsMdu plan tels que : 1) !MA!MB= 1;2)MA2+MB2= 5.
IllustrationD. LE FUR 21/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 22
Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O;!i ;!j). Déterminer l"équation du cercle(C)passant parA(2 ; 1)etB(1 ; 3)et dont le centre soit situé sur la droite(D) d"équationx+y+ 1 = 0. Indication : chercher d"abord les coordonnées deIllustrationD. LE FUR 22/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 23
SoitABCDun rectangle etMun point quelconque du plan.Démontrer que :
MA2+MC2=MB2+MD2:
SoitABCDun parallélogramme etMun point quelconque du plan.Démontrer que :
MD2MC2=MA2MB2:
IllustrationD. LE FUR 23/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 24
ABCDest un tétraédre régulier de côtéa.Iest le milieu du côté[AB]etJest le milieu du côté[CD].
1)Calculer en fonction deales produits scalaires suvants :!AB!ACet!AB!DA.
2)Calculer et interpréter le produit scalaire suivant :!AB!DC.
3)Calculer et interpréter le produit scalaire suivant :!AB!IJ.
IllustrationD. LE FUR 24/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 25
ABCest un triangle tel queAB= 2,AC= 3et!AB!AC= 4.
1)Démontrer que le triangleABCest rectangle enB.
2)Calculer!CA!CBpuis une mesure des anglesbAetbCen degrés, à0;1près.Illustration
D. LE FUR 25/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 26
Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O;!i ;!j). On considère le cercle(C)passant par les pointsA(4 ; 2)etB(2 ; 6)et dont le centre est situé sur la droite(D) d"équationx+y+ 2 = 0.1)Faire une figure.
2)Déterminer les coordonnées de
3)Déterminer une équation de(C).
IllustrationD. LE FUR 26/ 50
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S
Exercice 27
Le but de cet exercice est de démontrer, à l"aide du produit scalaire, que les hauteurs d"un triangle sont concou-
rantes. SoitABCun triangle. On noteA0,B0etC0les projetés orthogonaux respectifs deA,BetCsur(BC),(AC)et (AB).