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Fonction valeur absolue

I) Définition

On appelle fonction valeur absolue, la fonction définie sur Թ , qui a tout réel ࢞ associe le réel noté |࢞| tel que : • Si ࢞ est positif ou nul |࢞| = ࢞ • Si ࢞ est négatif |࢞| = - ࢞ (l'opposé de ࢞ ) On notera dans la suite la fonction telle que ࢌ(࢞) = |࢞| On notera ࢌ la fonction qui, à ࢞, associe |࢞|.

Exemples :

+ = - ( 1 - ξ͵ ) = ξ͵ - 1 ݔെʹȁ = ݔȂʹ si ݔ 2 et ȁݔെʹȁ = - ݔ + 2 si ݔ 2

Propriétés :

• ȁݔȁ 0 pour tout x réel = 0 ݔ = 0

II) Etude

1) Variations de f sur Թ

La fonction ࢌ est donc strictement décroissante sur ]- ; 0], et strictement croissante sur [0 ; + [

2) Tableau de variations et courbe :

a) Tableau de variations :

ݔ - 0 +

0 b) Courbe

Remarques :

• La courbe de la fonction f coïncide sur ] - ; 0] avec la demi droite d'équation ݕ ൌȂݔ

et sur [0 ; + [ avec la demi droite d'équation ݕ ൌ ݔ • La courbe de la fonction f admet donc ( en repère orthogonal ) l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. La fonction f est dite paire.

III) Compléments

1) Equations et inéquations:

a) Equation ȁ࢞ȁൌ ࢑ • Si ࢑ est strictement négatif cette équation n"a aucune solution • Si ࢑ = 0 cette équation a une unique solution ࢞ ൌ ૙ • Si ࢑ est strictement positif cette équation a deux solutions ࢞ ൌ ࢑ ou ࢞ ൌȂ࢑

Illustration :

Exemples :

1°) Résoudre l'équation

Les solutions de cette équation sont ݔ ൌ ͷ ou ݔ ൌȂͷ

ݔ ൌ ͵ ou ݔ ൌͳ

b) Equation ȁ࢞ȁൌȁ࢟ȁ Cette équation équivaut à ࢞ ൌ ࢟ ou ࢞ൌȂ࢟

Exemple :

Résoudre l'équation

Cette équation équivaut à 2ݔ + 4 = 5 - ݔ ou 2ݔ+ 4 = - (5 - ݔ)

Soit encore à 3ݔ = 1 ou ݔ = - 9

Les solutions sont donc ݔ ൌͳ

ou ݔ ൌȂͻ c) Inéquations |࢞|൑ ࢇܜ܍

Inéquation ȁ࢞ȁ൑ ࢇ

• Si a < 0 l'inéquation n'a aucune solution car ȁݔȁ est positif ou nul • Si a 0 l'inéquation a pour ensemble de solutions l'intervalle [ - a ; a ]

Inéquation ȁ࢞ȁ൒ ࢇ

• Si a < 0 l'inéquation a pour solutions l'ensemble

Թ car

ȁݔȁ est positif ou nul

• Si a 0 l'inéquation a pour ensemble de solutions l'ensemble ] - ; - a[

Exemples :

1°) Résoudre l'inéquation

2°) Résoudre l'inéquation

ȁݔȁ൒െʹ Solutions : Թ

3°) Résoudre l'inéquation

ȁݔȁ൑െͳ Solutions :

4°) Résoudre l'inéquation

ହ Solutions : ݔ ג

5°) Résoudre l'inéquation | 2ݔ- 1 | 5

Cette inéquation est équivalente à l'encadrement Ȃͷ ൑ ʹݔȂͳ ൑ ͷ

Soit - 2 ݔ 3 Solutions : ݔ [- 2 ; 3 ]

Soit ݔ - ଵ଴

ଷ Solutions : ݔ גquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50