[PDF] [PDF] ´Equations différentielles ordinaires

[PDF] ´Equations différentielles ordinaires

11 mai 2007 · Définition III 1 On appelle résolvante de l'équation différentielle Proposition III 4 (Formule de Duhamel) Soit A ∈ C(I;L(X)) et R la résolvante 

[PDF] Equations Différentielles Ordinaires et Partielles

Définition 1 (EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE) Définition 6 ( COURBE INTEGRALE-ORBITE) 7 Proposition 5 (FORMULE DE DUHAMEL)

[PDF] Équations différentielles

Définition 1 1 Un équation différentielle d'ordre 1 s'écrit x′(t) = f(t, x(t)) Théorème 3 2 Formule de Duhamel La solution du problème de Cau- chy :

[PDF] Une introduction aux équations aux dérivées partielles

26 sept 2018 · Par ailleurs, comme pour tout 0 < t < T, on a par définition de (x0,T) l'inégalité v( x0,t) formule duhamel, donne, après changement de variable

[PDF] Equations aux dérivées partielles - Centre de mathématiques

fonction S est continue (pour avoir une définition d'extrema) et sans hypoth`ese sur les dérivées Elle est donnée par la formule de Duhamel u(t) = e −tA u0 +

Équations différentielles ordinaires - Aix-Marseille Université

22 août 2018 · Equations de Lotka-Volterra, Wikipédia 50 Les figures de l'ombre, Wikipédia Montrons que la formule de Duhamel (1 26) définit bien une

[PDF] Equations Différentielles Ordinaires Equations aux Dérivées Partielles

26 fév 2021 · Dans la définition ci-dessus les deux normes qui apparaissent sont différentes (la et on utilise alors la formule de Duhamel pour écrire

[PDF] EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - EMIS

2 jui 1996 · utilisant la définition de ∆(λ), on montre aisément que h (0) = Lh C'est `a dire nous avons, d'apr`es Proposition 4, la formule de Duhamel

[PDF] Mes leçons dagrégation

Mercier : définition de IspPq, structure de groupe, relation entre Is`pPq et AF : déf de cos et sin, formule d'Euler et de Moivre, on donne les cosinus et sinus des Pour le cas des coefficients variables, on met la formule de Raabe-Duhamel 

[PDF] résolvante equation différentielle

[PDF] hno3 fiche signalétique

[PDF] acide chlorhydrique fiche signalétique

[PDF] acide muriatique fiche signalétique

[PDF] inhalation acide chlorhydrique traitement

[PDF] fiche technique acide chlorhydrique

[PDF] acide chlorhydrique effet santé

[PDF] acide chlorhydrique densité

[PDF] parking définition

[PDF] nf-p 91-120 (parcs de stationnement privés)

[PDF] définition intérêt

[PDF] mission d'intérêt général service public

[PDF] droit administratif

[PDF] concept géographique définition

[PDF] concepts géographie

Equations diff´erentielles ordinaires

Sylvie Benzoni

11 mai 2007

2

Chapitre I

Introduction

La forme la plus g

´en´erale d"une´equation diff´erentielle ordinaire(en abr´eg´e´E.D.O.) est

F(t,u,u?,...,u(k)) = 0,

o `uuest une fonction inconnue de la variable r´eellet`a valeurs dansRnou plus g´en´eralement dans un espace de BanachX,u?,...,u(k)d´esignent les d´eriv´ees successives deu, etFest une fonction donn ´ee, suppos´ee"r´eguli`ere»(on pr´ecisera comment par la suite) surI×U×U1× ···Uko`uIest un intervalle ouvert deR,U,U1, ...,Uksont des ouverts connexes deX. On ne s"int

´eressera dans ce cours qu"`a des´equations diff´erentiellesr´esolues, pour lesquelles il existe

une fonctionG, r´eguli`ere surI×U×U1× ···Uk-1telle que

F(t,u,u?,...,u(k)) = 0?u(k)=G(t,u,u?,...,u(k-1)).

On observe de plus que

u (k)=G(t,u,u?,...,u(k-1))?U?=G(t,U), U:=( (((u u u (k-1)) ))),G(t,U) :=( (((0I ...0 I

0...0)

)))U+( (((0 0...

G(t,u,u?,...,u(k-1)))

k= 1. D ´esormais, on consid`ere"une»1´equation dite d"ordre1, de la forme dudt=f(t,u) o `uuest une fonction inconnue de la variable r´eellet`a valeurs dans un espace de BanachX, et fest une fonction donn´ee surI×U, ouvert connexe non vide deR×X. Lorsquefne d´epend pas det, l"´equation diff´erentielle est diteautonome. Remarque I.1On peut toujours se ramener, par une astuce,`a une´equation autonome. En effet, il suffit de consid

´erer l"´equation´etendue

dds? u t? =?f(t,u) 1? .1

Les guillemets sont l`a pour souligner qu"en g´en´eral il s"agit en fait d"unsyst`emed"´equations!

3

4CHAPITRE I. INTRODUCTION

Cette approche, parfois utile, est malgr

´e tout artificielle. Il faut savoir´etudier directement certaines propri ´et´es des´equations dites`a coefficients variables, o`ufd´epend vraiment det. Ce sera le cas au moins dans les deux premiers chapitres. Exemples etcontre-exemples.De nombreuxmod`eles physiques(en m´ecanique,´electricit´e, chimie, ´ecologie, etc.) s"expriment au moyen d"´equations diff´erentielles ordinaires en dimen- sion finie. Citons simplement l" ´equation de la m´ecanique des points mat´eriels : m d2xdt2=F(x), qui s" ´ecrit de fac¸on´equivalente dans leplan de phase ???dxdt=v , dvdt=1m F(x).

Dans cette

´equation, pos´ee dansR2et autonome,F(x)repr´esente la r´esultante des forces ap- pliqu ´ees au pointx, suppos´e de massem. Des exemples d"´equations diff´erentielles en dimen- sion infinie peuvent venir de la discr ´etisation d"´equations aux d´eriv´ees partielles. Prenons par exemple l"

´equation de la chaleur

tv=∂2xxv .

Une fac¸on d"approcher les solutions de cette

´equation est de chercherv(jΔx,t)?uj(t)(o`u

Δxest unpasde discr´etisation etj?Z) avec

dujdt=1Δx2?uj+1-2uj+uj-1?.

Ceci est une

´equation diff´erentielle ordinaire dans l"espace de suites?p(Z), qui est un espace de Banach quel que soitp?[1,...,+∞]. Attention, pour voir l"´equation de la chaleur elle- m

ˆeme comme une´equation diff´erentielle ordinaire, il faudrait disposer d"un espace fonctionn-

nel qui soit un espace de Banach stable par∂2xx! De fac¸on g´en´erale, la th´eorie des´equations

diff

´erentielles ordinaires ne s"applique pas aux´equations aux d´eriv´ees partielles. (Toutefois, les

equations aux d´eriv´ees partielles d"´evolutionlin´eairespos´ees danstout l"espacese ram`enent`a

des ´equations diff´erentielles ordinaires grˆace`a la transformation de Fourier...)

"R´esolution»des´equations diff´erentielles.Dans le chapitre II, on va s"int´eresser`a l"exis-

tence, `a l"unicit´e, et`a la d´ependance des solutions par rapport aux"conditions initiales»

u(t0) =u0. On (re)verra des r´esultats essentiellement th´eoriques, car il y a tr`es peu d"´equations

diff

´erentielles dont on connaˆıt explicitement les solutions, en dehors des´equations lin´eaires`a

coefficients constants (dont les solutions s"expriment `a l"aide de l"exponentielle de matrice) et des ´equations scalaires d"ordre 1 autonomes (dont le calcul des solutions se ram`ene`a un calcul de primitive). Le chapitre III sera consacr ´e aux propri´et´es sp´ecifiques des´equations lin´eaires, en insistant sur le cas `a coefficients variables.`A partir du chapitre IV, on s"attaquera auxpropri´et´es obtenir beaucoup d"informations sur le comportement de leurs solutions. (Cette id

´ee g´en´erale

remonte

`a Poincar´e.) On´etudiera notamment l"existence et la stabilit´e de solutions particuli`eres,

comme les solutions stationnaires et les solutions p ´eriodiques (qui jouent un grand rˆole dans les applications). 5 (ou l"in ´egalit´e) de Gronwall. Ce chapitre introductif est l"occasion de le rappeler.

Parfois, on appelle (

`a tort) lemme de Gronwall le fait suivant : si une fonctionu`a valeurs dansR, de classeC1, satisfait une in´egalit´e diff´erentielle du type : u alors t

0a(s)dsu(0) +?

t 0 b(τ)eR t

τa(s)dsdτ ,pour toutt?[0,T].

En effet, l"in

´egalit´e diff´erentielle implique

ddt? e -Rt

0a(s)dsu(t)?

0a(s)dsb(t),

et donc par int ´egration entre0etton obtient imm´ediatement l"in´egalit´e annonc´ee. Le lemme de Gronwall est un peu plus subtil, puisqu"il suppose une in ´egalit´e int´egrale et non une in´egalit´e diff ´erentielle (la seconde impliquant la premi`ere mais pas l"inverse). Or lesestimations a priori que l"on obtient en g ´en´eral sont plutˆot du type int´egral, d"o`u l"int´erˆet de ce lemme, dont la preuve est n

´eanmoins´el´ementaire.

Lemme I.1 (Gronwall)Siu? C([0,T];R+)est telle qu"il existeaetb? C([0,T];R+)avec t 0 a(τ)u(τ) dτ ,pour toutt?[0,T], alors t 0 b(τ)a(τ)eR t

τa(s)dsdτ ,pour toutt?[0,T].

D ´em.La seule astuce consiste`a majorer l"int´egrale du second membre v(t) =? t 0 a(τ)u(τ) dτ par la m ´ethode d´ecrite pr´ec´edemment. Comme v par hypoth `ese2, on a donc ddt? e -Rt

0a(s)dsv(t)?

0a(s)dsa(t)b(t),

d"o `u apr`es int´egration (notez quev(0) = 0par d´efinition) : t 0 a(τ)b(τ)eR t

τa(s)dsdτ ,pour toutt?[0,T].

En majorant de cette fac¸onv(t)dans l"in´egalit´e de d´epart, on obtient le r´esultat.?2

Attention, ici intervient de fac¸on cruciale le fait queasoit positive!

6CHAPITRE I. INTRODUCTION

Cette version du lemme de Gronwall est donn

´ee surtout pour mettre en´evidence la m´ethode de calcul. On pourrait donner une autre version de l"in ´egalit´e obtenue, en int´egrant par parties sibest d´erivable : t

0a(s)ds+?

t 0 b?(τ)eR t

τa(s)dsdτ ,pour toutt?[0,T].

En particulier, sibest constante, on obtient simplement : t

0a(s)ds.

En pratique, il est conseill

´e de refaire rapidement le calcul pour´eviter les erreurs.

Chapitre II

Le probl

`eme de Cauchy g´en´eral SoitUun ouvert connexe non vide d"unR-espace de BanachX,Iun intervalle ouvert de R, etf:I×U→Xune fonctioncontinue. On appellesolutionde l"´equation diff´erentielle (1) dudt=f(t,u) une fonctionude classeC1sur un intervalleJ?Iet`a valeurs dansU, dont la d´eriv´ee v´erifie u ?(t) =f(t,u(t))pour toutt?J . (Il est parfois d"usage de noter par une lettre diff

´erente la fonction inconnue dans (1) et les

solutions.) On appellecondition initialeune´egalit´e de la formeu(t0) =u0avec(t0,u0)? I×U. On appelleprobl`eme de Cauchyle syst`eme d"´equations (2) ?u?(t) =f(t,u(t)), t?J , u(t0) =u0. R ´esoudre le probl`eme de Cauchy (localement) revient`a trouver un intervalleJ?Icontenant t

0et une fonctionude classeC1surJsatisfaisant (3).

Lorsquefest"seulement»continue etXest de dimension infinie, on ne peut rien dire. Si repose sur le th ´eor`eme d"Ascoli) affirme l"existence d"au moins une solution de (3), quel que soit(t0,u0)?I×U. Mais il n"y a pas unicit´e en g´en´eral.

On supposera dans la suite un peu plus de r

´egularit´e surf, de sorte que l"on ait`a la fois existence et unicit

´e de solutions locales.

1 Existence et unicit

´e locale

Th ´eor`eme II.1 (Cauchy-Lipschitz)On supposef? C(I×U;X)etlocalement Lipschizienne par rapport `au. Existence:Quel que soit(t0,u0)?I×U, il existeτ >0etu? C1([t0-τ,t0+τ];U)solution de(3)avecJ= [t0-τ,t0+τ].

Unicit

´e:sivest une autre solution, elle co¨ıncide avecusur un intervalle d"int´erieur non vide

inclus dans[t0-τ,t0+τ]. R ´egularit´e:Si de plusfest de classeCr,r≥1, alorsuest de classeCr+1. 7

8CHAPITRE II. LE PROBL`EME DE CAUCHY G´EN´ERAL

D

´em.Pour´eviter de"traˆıner»des valeurs absolues, on fait la d´emonstration en remplac¸ant

l"intervalle centr ´e[t0-τ,t0+τ]par[t0,t+]avect+=t0+τ > t0(le cas de l"intervalle [t0-τ,t0]s"en d´eduisant par le changement de variablet?→(t0-t)). L" ´etape 0 consiste`a choisir un voisinage de(t0,u0)de la forme

C(t+,R) = [t0,t+]ׯB(u0,R)?I×U

avect+> t0etR >0, o`u¯B(u0,R)d´esigne la boule ferm´ee de centreu0et de rayonR, dansquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14