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Ex 12 : Résoudre une équation du second degré sans Δ Résoudre dans ℝ 2 ) Répondre aux questions précédentes dans chacun des cas suivants : a ) Q :x

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Question du jeudi #51 Culture Math

Une équation du second degré

Question

Résoudre (à la main!) l"équationx2+x=1111111122222222.

Réponse

Le discriminant de l"équation est=1+4444444488888888=4444444488888889. On

pourrait résoudre l"équation par la méthode standard, en utilisant une méthode d"extraction

de racine carrée à la main, mais nous allons contourner ce calcul. En revanche, vu la forme singulière du second membre, on peut facilement récrire x

2+x=1111111122222222()x(x+1) =111111111111111111+11111111

()x(x+1) =1016-19 +108-19

car len-ièmerepunit, c"est-à-dire le nombre dont l"écriture est consituée den" 1 », vaut

R n=10n-19 comme on peut le voir, soit à l"aide de la formule pour la somme d"une suite géométrique : R n=1+10++10n-1=10n-110-1; soit en remarquant que le nombre constitué den" 9 » est manifestement10n-1(mais ces deux arguments ne sont pas si différents...)?

L"équation devient alors

x(x+1) =1016-19 +108-19
()x(x+1) =(108-1)(108+1)9 +108-19
()x(x+1) =(108-1)(108+2)9 ()x(x+1) =108-13

108+23

et l"on voit quex=108-13 =999999993 =33333333est une solution " évidente ». Il suffit ensuite de se souvenir que les deux racines d"un trinômex2+bx+cont pour somme-b(et produitc) pour en déduire que l"autre racine est-33333334. 1quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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