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Fiche : Méthodes en Probabilités

Ce document vous rappelle :

La liste des questions de cours, et ce qu"il faut en tirer : exercice classique, métho declassique, résultat

incontournable. II)

Les métho deset résultats par c hapitre,a vecune graduation : ne v ousattaquez pas au niv eau2(♥)

tant que le niveau1(♠) du chapitre n"est pas maîtrisé, etc. ♠ : niveau1, ♥ : niveau2, ♦ : niveau3, ♣ : niveau4.

I) Questions de cours

(?)= difficile(c)= classique, peut tomber tel quel (m)= méthode à connaître(ci)= classique, peut tomber avec indications (th)= théorème ou résultat incontournable 35)
(th) SoitXune variable aléatoire discrète, rappelerX(Ω)et la loi deXlorsqueX ?→B(N,p), X ?→G(p)etX ?→P(λ), avecN?N,p?]0,1[etλ?R+. 36)
(th) Formule des probabilités totales. 37)

façon indépendante selon une loi de BernoulliB(p). Loi du nombreYd"oeufs éclot. 38)

(m) (loi de couple) On effectue une suite de lancers indépendants avec une pièce non équilibrée

(probabilitép?]0,1[d"avoir pile). Donner la loi de la longueurXde la première chaîne, etYde la

deuxième chaîne. 39)
(cm) SoitXetYdeux variables aléatoires discrètes indépendantes. Loi deX+YlorsqueX ?→P(λ)etY ?→P(μ), avecλ,μ?R?+. Loi deZ= min(X,Y)lorsqueX ?→G(p)etY ?→G(q), avecp,q?]0,1[.

40)Une variable aléatoire discrèteXsuit une loi géométrique si et seulement si c"est une loi sans mémoire.

II) Probabilités, lois

♠Vérification: Nature des objets •Événements : et/ou/non ,∩/?/. •Nombres :+,×, etc.

•À l"intérieur duP( ), est-ce bien un événement. C"est-à-dire un ensemble ou une proposition vrai ou

fausse. Pour les variables aléatoire :(X=k),(X>k), etc... ♠Méthodevariables aléatoires : commenceravant toute autre chosepar donnerX(Ω).

♠Méthode: Décrire les événements (au besoin les nommer). Ne pas se précipiter sur les calculs de

probabilités.

♠Méthodede calcul deP(Z=n), loi de la variable aléatoireZ: Formule des probabilités totales, où

(X=k)k?X(Ω)est le système complet d"événement.ex : grenouilles, longueurYde la deuxième chaîne, loi de

X+Y.

Résultats:♦Les théorèmes de continuité croissantes et décroissantes.♠Système complet d"événements.

♠Événements disjoints.

Résultats: Les diverses formules :♠probabilités conditionnelles,♠composées,♠totales,♦de Bayes.

Le plus difficile étant de retenir le nom des énoncés.♠Évènements indépendants.♥Couple de variables

aléatoires,♥variables aléatoires indépendantes. 1 FicheMéthodes en ProbabilitésIII) Moments : espérance, variance, covariance

Résultats:♠Espérance,♠théorème de Transfert,♥variance,♥écart-type.♥Espérance d"un produit,

♥Covariance,♦coefficient de corrélation.

Méthodesde mémorisation.

•Ese comporte comme une♠intégrale : on commence avant tout par regarder la♥convergence.♥

Eest linéaire, positive, croissante.♥Le théorème de Transfert est un théorème de changement de

variable. •Vse comporte comme une norme euclidienne au carré :?x?2=?x,x?. •Covse comporte comme un produit scalaire : bilinéarité, Cauchy-Schwarz,... Méthodede calcul deE(X2), deE(XY): théorème de Transfert.

E(XY) =?

x?X(Ω)? y?Y(Ω)xyP(X=x,Y=y).

IV) Lois usuelles

Résultat:♠Lois usuelles : tableau à connaître.

Résultats: Inégalités de Markov♦et Bienaymé-Tchebychev♥(avec une inégalité large) loi faible des

grands nombres♦.

Méthode: Si on vous demande de prouverP([une inégalité sur une variable aléatoireX])6...: commencez

par écrire Bienaymé-Tchebychev pour cette variable aléaoire. 2quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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