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4ème Cours : puissances
1I Puissances d'exposant entier positif
a) DéfinitionSoit a un nombre non nul et n un entier positif :
On note " a exposant n" le nombre noté a
n égal à : an = a ´ a ´ a ´ ....... ´ a n fois n s'appelle l' exposant. b) Exemples 63 = 6 ´ 6 ´ 6 = 216
(-2)4 = (-2) ´ (-2) ´ (-2) ´ (-2) = 16.
32= 2 3 ´2 3 = 4 9 c) Cas particuliers
Exemples
n = 1 : a1 = a 191 = 19 n = 2 : a² se lit aussi " a au carré » 3² = 3´3 = 9
n = 3 : a3 si lit aussi " a au cube » (-2)3 = (-2)´(-2)´(-2) = 8
Remarque :
Il est utile de connaître les carrés des premiers nombres entiers.1² = 1 4² = 16 7² = 49 10² = 100 13² = 169
2² = 4 5² = 25 8² = 64 11² = 121 14² = 196
3² = 9 6² = 36 9² = 81 12² = 144 15² = 225
Convention :
Pour a ≠ 0, on vient que a0 = 1.
Exemple : (-7)
0 = 14ème Cours : puissances
2Attention
· Il ne faut pas confondre 53 = 5´5´5 = 125 et 5´3 = 15 ; donc 53 ≠ 5´3· Attention au rôle des parenthèses !
(-4)² = (-4) ´(-4) = 16 et -4² = -(4´4) = -16 ; donc (-4)² ≠ -4² c) Puissance et calculatrice Les puissances de nombres peuvent se calculer à la machine ; il suffit d'utiliser la touche x ouII Puissances d'exposant entier négatif
a) Définition a désigne un nombre relatif non nul. n désigne un entier non nul. a -n désigne l'inverse de an. a -n = 1 an. b) DéfinitionExemples :
· 3-2 est l'inverse de 3².
Donc 3
-2 = 13² = 1
3´3 = 1
9· (-2)-3 = 1
(-2)-3 = 1 (-2)´(-2)´(-2) = - 1 8 c) Cas particulier Pour a ≠ 0, a-1 est l'inverse de a ; donc a-1 = 1 a.Exemple : 3
-1 est l'inverse de 3 ; donc 3-1 = 1 3 x ^4ème Cours : puissances
3III Calculer avec des puissances
a) Exemples de calculCalcul littéral Exemple numérique
a désigne un nombre relatif a2´a3 = a ´ a ´ a ´ a ´ a = a52 facteurs 3 facteurs
5 facteurs égaux à a
5² ´ 53 = 5´5´5´5´5 = 55
a désigne un nombre relatif non nul a2 a5 = a´a a´a´a´a´a = 1
a´a´a = 1 a3 = a-3 (-2)² (-2)5 = (-2)´(-2) (-2)´(-2)´(-2)´(-2)´(-2) = 1 (-2)3 = (-2)-3 b) Règle de priorité Pour calculer une expression sans parenthèses, on calcule d'abord les puissances.Exemples
A = 7- 5´4² B = 2´[7 :10² - (-2)3]A = 7 - 5
´16 B = 2´[7 :100 - (-8)]
A = 7 - 80 B = 2
´(0,07 + 8)
A = -73 B = 2
´8,07
B = 16,14
c) Règles de calcul n et p désignent deux nombres entiers relatifs. 10 n´10p = 10n+p 10 n10p = 10n-p (10n)p = 10n´p
Exemples
104 ´ 102 = 104+2 = 106 10-2 ´ 105 = 10-2+5 = 103
107104 = 107-4 = 103 10 -1
103= 10-1-3 = 10-4 (104)3 = 104´3 = 1012 (10²)-4 = 102´(-4) = 10-8