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En particulier, si l'action est transitive, ie s'il n'y a qu'une seule orbite, alors X est en bijection avec un quotient de G C'est là une des clefs de l'importance des 

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6 mai 2010 · Si ce morphisme est injectif, on dit que l'action est fidèle tr—nsl—tion à g—u™ he sur le quotient l'action de G sur le groupe quotient G/H 

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As a basic example, the Klein bottle will be defined as a quotient of S1 × S1 by the action of a group of order 2 (We will also see how this is related to the usual 

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notion avec les groupes quotient et les produits diédraux dans les chapitres suivants 3 Le produit semi-direct est un premier exemple d'action de groupes

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l'action est fid`ele si G → S(E) est injective – l'action est transitive s'il n'y a qu'une seule orbite; notion d'action n-transitive • Cas o`u E E est un quotient de G:

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Montrer que si le quotient d'un groupe par son centre est cyclique alors le groupe est abélien, donc égal à son centre 3 Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est 

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Donc la représentation adjointe Ad de GLn(K) est l'action par conjugaison de l' algèbre de Lie quotient de L(S) par l'idéal engendré par R à valeurs dans g

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Cours : Théorie des groupes (THGR)

Emily Clement

Licence de Mathématiques

Semestre 1

2014-2015

Table des matières

Introduction

4

1 Groupes et rappels

5

I Définitions et propositions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II Premiers exemples de groupes.

. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1Z=nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Groupe symétrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III Sous-groupes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Brefs rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Sous-groupes engendrés par une partie

. . . . . . . . . 9 IV Morphisme, osomorphisme et théorème de Cayley . . . . . . . 12

1 Morphismes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Quelques rappels et propositions sur les isomorphismes

et propriétés universelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Translation à gauche et théorème de Cayley.

. . . . . . 14

2 Produit direct et semi-direct de groupes

16

I Généralités et but

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II Cas du produit direct de deux groupes

. . . . . . . . . . . . . 17

III Cas d"une famille finie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IV Cas d"une famille quelconque

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V Preuve de la propriété universelle

. . . . . . . . . . . . . . . . 21

VI Produit semi-direct de groupes

. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Théorème de Lagrange

26
I Relation d"équivalence modulo un sous-groupe. . . . . . . . . 26 II Théorème de Lagrange et formule des indices. . . . . . . . . . 28

4 Sous-groupes normaux

34
I Relations d"équivalence compatibles avec une loi de composition. 34

II Notion de sous-groupes normaux

. . . . . . . . . . . . . . . . 36 III Structure de sous-groupe sur l"ensemble(G=H). . . . . . . . 38 IV Propriétés des sous-groupes distingués . . . . . . . . . . . . . 40

V Classes de conjugaison et normalisateur

. . . . . . . . . . . . 44 1

TABLE DES MATIÈRES

VI Produit semi-direct d"un sous-groupe normal, pour un autre sous-groupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Groupe quotient

51

I Introduction et buts

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II Définitions et construction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III Application nilpotente de ces résultats

. . . . . . . . . . . . . 53

IV Sous-groupes quotient

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Premier exemple de groupes : Groupes monogènes

56

I Généralités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

II Sous-groupes d"un groupe monogène

. . . . . . . . . . . . . . 58

III Générateur d"un groupe cyclique

. . . . . . . . . . . . . . . . 61

1 Généralités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2 Théorème des restes chinois

. . . . . . . . . . . . . . . 63

7 Deuxième exemple de groupes : Groupes symétriques

66

8 Notion de groupe opérant sur un ensemble

74

I Généralités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

II Exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9 Stabilisateur et orbite

78
I Notions d"orbite et de stabilisateur et application à une preuve 78

1 Définitions et exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2 Retour à la décomposition d"une permutation en pro-

duit de cycles disjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 II Propriétés des stabilisateurs et orbites. . . . . . . . . . . . . . 83 III Illustration : Structure affine linéaire sur un ensembleE. . . 88 IV Sous-ensemble des points fixes desGensembles. . . . . . . 89

10 Formule de Burnside

92

I Théorème et démonstration.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

II Applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1 Développement classique : Une application en combi-

natoire - Coloriage de cube. . . . . . . . . . . . . . . . 93

2 Développement classique à nouveau : Encore une ap-

plication en combinatoire - Colliers de perles. . . . . . 9 4

11 Groupes finis et théorèmes de Sylow

96

I Groupes finis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

II Premier théorème de Sylow

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III Second théorème de Sylow

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

IV Application des théorèmes de Sylow

. . . . . . . . . . . . . . 102

1 Dans A

4, il n"existe pas de sous-groupe d"ordre 6. . . 102 Emily Clementpage 2

TABLE DES MATIÈRES

2 Générateurs et sous-groupes de Sylow

. . . . . . . . . 103

3 L"argument de Frattini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 Unicité despSylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Quelques critères de simplicité et de non-simplicité.

. . 105

12 Groupes abéliens de type fini

110

I Somme directe de groupes abéliens

. . . . . . . . . . . . . . . 110

1 Somme directe de sous-groupes (d"un groupe abélien)

. 110

2 Définition de la somme directe de groupes

. . . . . . . 111

II Groupes abéliens, libres de types finis

. . . . . . . . . . . . . 116

1 Caractérisation des groupes abéliens libres

. . . . . . . 116

2 Rang d"un groupe abélien libre de type fini

. . . . . . 118

III Groupes abéliens de torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 IV Théorème de structure des groupes abéliens de type fini . . . 120

13 Troisième exemple de groupes : les groupes Diédraux

123

I Définitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

II Caractérisation de D

n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

III Étude de D

n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1 Éléments de D

n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2 Sous-groupe normaux de D

n.. . . . . . . . . . . . . . 128

3 Centre et groupe dérivé de D

n.. . . . . . . . . . . . . 1 31Emily Clementpage 3

Introduction

Ce cours portera sur la théorie des groupes et se basera quasi-exclusivement sur mes notes du cours de Monsieur Sebag, professeur de mathématiques à la faculté de Rennes 1, mais ne respecte pas la structure interne des cha- pitres, et se basera également sur le livre de Daniel Perrin, et de quelques démonstrations et résultats que j"aurai ajoutées (polycopié anonyme sur les groupes diédraux, Travaux dirigés d"Axel Rogue" démonstrations non faites en cours et laissé au lecteur) notamment sur les groupes quotients, cycliques et symétriques. En espérant que les lecteurs de ce polycopié trouveront ici une lecture inté- ressante et claire...Pour la moindre coquille, ou suggestion, n"hésitez pas a m"en faire part. 4

Chapitre 1

Groupes et rappels

I Définitions et propositionsSoitEun ensemble, on appelle loi de composition interne surE toute application ::EE!EOn rappelle queEE=

f(x;y);x2E;y2Eg.Définition 1.1(Loi de composition interne sur un ensemble).Un groupe(G;)est la donnée d"un ensemblenon videGetune

loi de composition interne deGtelle que : -est associative -possède un élément neutree:

9e2G;8x2G;xe=ex=x

T outélé mentde Gpossède un élément symétrique :

8x2G;9y2G;xy=yx=e

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