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B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaire Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux Démonstration Soient a et b deux réels

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[PDF] Racine carrée - Labomath

B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaire Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux Démonstration Soient a et b deux réels

[PDF] Racines carrées (cours de troisième) - Automaths

Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : a × b = a × b Démonstration : ( ) a b 2 = a × b × a × b = ( )a 2

[PDF] RACINES CARREES - maths et tiques

Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d'un nombre négatif est impossible n'existe pas 2) Quelques nombres de la

[PDF] Les racines carrées - AC Nancy Metz

on sous-entend les parenthèses 2 Règles de calculs 2 1 Racine carré d'un produit Soient a et b deux nombres positifs ; on a Enoncé1 : Simplifier l'écriture

[PDF] Chapitre N3 : Racines carrées 49

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier, sa racine carrée est un nombre entier positif Exemple 2 : À l'aide de la calculatrice, donne la valeur exacte ou la

[PDF] Chapitre 7 : Racines carrées

Retenons qu'on ne peut pas calculer exactement la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait : 2, 3, 5, 7, 8, 10, sont des nombres irrationnels

[PDF] Chapitre n°9 : « Racines carrées »

La calculatrice donne 3,16227766 qui est une valeur approchée De même : 7 52 8 ; 31 1000 32 ; 4 20 5 II Racine carrée d'un nombre positif

[PDF] racines carrées

b) Quotient de 2 racines carrées c) Lien avec les puissances d) Modification d' écritures avec des radicaux au dénominateur 3 Exercices de bases corrigés 4

[PDF] Racine carrée - Exercices corrigés - Collège Le Castillon

Remplaçons, dans l'expression A, ces racines carrées par leurs écritures simplifiées Nous avons : La simplification de 48 a été exécutée en deux étapes

[PDF] La racine carrée dun nombre

ment laisser √2 sous cette forme plutôt que d'en écrire une approximation Deux propriétés des racines carrées (a) Pour tout nombres positifs a et b, √a + b ≤

Racine carréeA- DéfinitionLa racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté xdont le carré est égal à x.

Ainsi, pour tout réel positif x,

x2=x et x≥0.

Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif.Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits; il est utile de lesreconnaître immédiatement : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc...En général on ne peut écrire que des valeurs approchées des racines carrées sous formedécimale. Ainsi :

2≈1,414; 3≈1,732; 5≈2,236B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaireDeux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux.DémonstrationSoient a et b deux réels positifs tels que a² = b².

On a alors a² - b² = 0, soit (a + b)(a - b) = 0. D'où les deux possibilités :-soit a + b = 0 et a = -b ce qui est impossible si a et b sont positifs-soit a - b = 0 et a = b.

2- PropriétésSoient a et b deux réels positifs. Comparons

ab et a×b.

On a :

ab2 =ab en appliquant la définition des racines carrées, et a×b2 =a2

×b2

=abOn en déduit que : ab=a×b.

La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de cesnombres.On démontre qu'il en va de même pour les quotients.Si a et b sont deux nombres positifs avec b≠0, alors

a b= a b.

AttentionIl n'y a pas de propriétés similaires pour l'addition et la soustraction.Le carré de

ab est a + b.

Par contre le carré de

ab est ab2=a22 abb2=ab2 abComme les expressions

ab et ab n'ont en général pas le même carré, elles ne sont paségales. 3- Utilisation des carrés parfaitsSi a et b sont deux nombres positifs, on a l'égalité

a2b=ab.

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En effet, a2b=a2b=abCette égalité permet de transformer certaines racines carrées et parfois de les ajouter ou de lessoustraire en faisant apparaître un facteur commun.Etudions les nombres

12 et 27.

En remarquant que 12 et 27 sont divisibles par des carrés parfaits (12 = 4 × 3 et 27 = 9 × 3),nous pouvons écrire :

12=4 ×3=4×3=2 3 et 27=9 ×3=9×3=3 3.

Ainsi, la somme de

12 et 27 est 1227=2 333=53.

C- Dénominateurs rendus rationnelsLorsque des quotients contiennent des racines carrées au dénominateur, il peut être intéressantde les faire disparaître du dénominateur, par exemple pour effectuer des additions. On utilise pour cela la propriété de simplification des quotients : on ne change pas la valeurd'un quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. 1- Premier casSoient a et b deux réels, b étant positif et non nul. On a alors l'égalité : a

b=a b b . Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par b.

Exemple

1 2=1 ×2 2×2=2 2.

2- Deuxième casSoient a et b deux réels positifs différents. On a l'égalité :

1 ab=a-b a-b. Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par a-b pour obtenir : 1 ab=1 a-b a-b.

L'idée est de faire apparaître l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² sous la forme

On dit que les expressions

ab et a-b sont des expressions conjuguées.Exemple1 3 1= 3 -1 3 13 -1= 3 -1 2.

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