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La série de Fourier d'un élément f de E sera notée [f] Lorsque f f(x)2 dx Exercice 1 Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction f définie sur R par
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Quel est son rayon de convergence ? Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : ∑( ) ( ) ∑
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1 10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1 7 Nous allons étudier un cas de convergence des séries de Fourier Donnons d'abord une
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Corrigé Il s'agit d'un exercice classique d'analyse Raisonnons par l'absurde en niant la Montrer que la série harmonique (terme général 1/n) diverge Montrer que la suite On dira que ˆu est la transformée de Fourier de u a Montrer que
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Exercices - Transformation de Fourier: corrigéFonctions intégrables Exercice 1- Fonction triangle-Troisième année-? Sans détailler les calculs, et en faisant notamment une intégration par parties, on a : 0 -1(1 +x)e-2iπξxdx=i2πξ+14π2ξ2-e2iπξ4π2ξ2.
De même, on trouve
1On en déduit :
f(ξ) =sin2(πξ)π2ξ2.
Exercice 2- Calcul d"une transformée de Fourier par résolution d"une équation différentielle-L3/Math Spé-?? On remarque d"abord quefest bien définie pour toutx. En effet, on a ?????e -t⎷t Cette fonction est intégrable sur[0,+∞[, car en 0 elle est équivalente à1⎷t qui est intégrable (intégrale de Riemann), et, au voisinage de+∞, elle vérifie ?????e -t⎷t 2. Prouvons également quefest de classeC1. Pour cela, on remarque que la fonction g: (x,t)?→e-t⎷t eitx admet en tout point deR×]0,+∞[une dérivée partielle par rapport àxégale à ∂g∂x (x,t) =i⎷te -teitx.De plus, on a, pour toutx?R,????∂g∂x
-tet la fonction apparaissant à droite dans l"inégalité précédente est intégrable sur]0,+∞[(elle
est continue en 0, et au voisinage de+∞, elle est négligeable devant1/t2). On en déduit par le
théorème de dérivation des intégrales à paramètres quefest dérivable, avec f ?(x) =?0i⎷te
-teitx.http://www.bibmath.net1Exercices - Transformation de Fourier: corrigéOn exprime le membre de droite de cette égalité en fonction defgrâce à une intégration par
parties, en posantv(t) =⎷tetu(t) =1ix-1e(ix-1)t. Puisqueu(0)v(0) = 0etlimt→+∞u(t)v(t) =
0, on en déduit
f ?(x) =-i2(ix-1)? 0e -t⎷t eitxdt -i(-ix-1)2(x2+ 1)f(x) x+i2(x2+ 1)f(x).Il ne reste plus qu"à résoudre cette équation différentielle. On l"écrit sous la forme
f ?f =x2(x2+ 1)+i2(x2+ 1) ce qui donne ln|f|=14 ln(x2+ 1) +i2 arctan(x) +K. On en déduit qu"il existe une constanteC?Rtelle que f(x) =C(x2+ 1)1/4exp?i2 arctanx? On détermine la valeur de la constanteCen calculantf(0) =C. On a par ailleurs f(0) =? 0e -t⎷t dt= 2?0e-u2du
en effectuant le changement de variablest=u2. Utilisant le rappel, on trouve queC=⎷π. Exercice 3- Semi-groupe de Poisson-Troisième année-?1. On a :
f(ξ) =?0e(-α-2iπξ)xdx+?
0 -∞e(α-2iπξ)xdx1α+ 2iπξ+1α-2iπξ=2αα
2+ 4π2ξ2.
2. Pourα= 2π,ˆf(ξ) =1π(1+x2).Cette fonction étant dansL1, sa transformée de Fourier est
f(-x). La transformée de Fourier dex?→11+x2est doncx?→π×e-2π|x|.3. On commence par calculer le produit de convolution. On a :
f ? f(x) =? R e-α(|x-y|+|y|)dy 0 -∞e-α(|x-y|-y)+? Exercices - Transformation de Fourier: corrigéSix >0, on a : f ? f(x) =? 0 -∞e-α(x-2y)dy+? x0e-αxdy+?
xe-α(2y-x)dy =e-αx? x+1α La fonctionfétant paire,f ? fl"est aussi, et on a doncf ? f(x) =e-α|x|(|x|+ 1/α). Maintenant, la transformée de Fourier de cette fonction, pourα= 2πestx?→π2(1+x2)2, puisque la transformée de Fourier transforme le produit de convolution de deux fonctions en produit usuel. On applique une fois encore la formule d"inversion de la transformée de Fourier (ce qui est légitime puisque toutes les fonctions sont intégrables). La transformée de Fourier dex?→1(1+x2)2est la fonctionx?→e-2π|x|(|x|+ 1/2π)π 2.4. Remarquons que la dérivée de la fonctionx?→11+x2estx?→-2x(1+x2)2. En utilisant les
formules habituelles sur l"influence de la dérivation sur le produit de convolution, on en déduit : F ?x(1 +x2)2? (ξ) =-12 F?ddx11 +x2??
=-12×2iπξF?11 +x2?
(ξ) =-iπ2ξe-2π|ξ|. Exercice 4- Régularité-Troisième année-? Prouvons d"abord queˆf?L1(R). Puisqueˆfest continue,ˆfest bornée sur[-1,1]ce qui justifie la convergence de?1 prouve la convergence de?+∞1|ˆf(ξ)|dξainsi que celle de?-1
-∞|ˆf(ξ)|dξ. Maintenant, d"après la formule d"inversion de la transformée de Fourier,fest égale presque partout à la fonction g(x) =? Rˆf(ξ)e2iπξxdξ.
Mais il est clair que cette fonctiongest de classeC1(ou bien parce qu"il s"agit de la transformée de Fourier conjuguée d"une fonctionhtel quex?→xh(x)est intégrable, ou bien en dérivant directement sous le signe intégrale).Exercice 5--Troisième année-??
On noteAl"espace vectoriel engendré par les translatées(τxf), etBson image dansC0(Rn) par la transformée de Fourier. Soitg?B, alors, l"effet de la transformée de Fourier sur unetranslation entraine l"existence d"un entierp, de complexesλ1,...,λpet de réelsx1,...,xptels
queg(t) =λ1eix1tF(f)(t)+···+λpeixptF(f)(t). En particulier,gs"annule enx0, et ainsiBn"est
pas dense dansC0(Rn). SiAétait dense dansL1(Rn), alorsF(A)serait dense dansF(L1(Rn)), et donc (par transitivité) dense dansC0(Rn).Exercice 6- Non-surjectivité de la transformée de Fourier-Troisième année-??http://www.bibmath.net3
Exercices - Transformation de Fourier: corrigé1. On découpe l"intégrale en 2, et on fait le changement de variablesu=-tdans la première
intégrale : f(x) =? 0 -∞f(t)e-i2πxtdt+?0f(t)e-i2πxtdt
0f(t)e2iπxtdt+?
0f(t)e-i2πxtdt
=-2i?0f(t)sin(2πxt)dt.
2. D"abord, la fonctionu?→sinuu
est continue sur[0,+∞[, une fois prolongée par 1 en 0. D"autre part, il est bien connu que, si la fonctionu?→sinuu n"est pas intégrable, l"intégrale?X1sinuu
duadmet une limite quandX→+∞. Il suffit pour cela de faire une intégration par parties : ?X1sinuu
du=?-cosuu X 1 X1cosuu
2du, la première quantité admettant une limite siXtend vers+∞, tandis que la fonction u?→cosuu2est intégrable sur[1,+∞[. Ceci justifie donc que la fonctionφest définie.
D"autre part, elle est continue sur[0,+∞[, car :φ(x+h)-φ(x) =-?
x+h xsinuu du, et ceci tend vers 0 sihtend vers 0. Enfin,φadmet0pour limite en+∞: on en déduit qu"elle est bornée sur[0,+∞[.3. On a :
?R 1ˆ f(t)t dt=? R 1? 0-2it f(x)sin(2πxt)dt? dx.Remarquons queh(t,x) =-2it
f(x)sin(2πxt)est dansL1([1,R]×[0,+∞[): on a en effet |f(x)|,et la fonction majorante est clairement intégrable sur[1,R]×[0,+∞[. Utilisant le théorème
de Fubini, on en déduit : R 1ˆ f(t)t dt=?0-2if(x)?
?R1sin2πxtt
dt? dx0-2if(x)?
?2πRx2πxsinuu
du? dx.Or,f(x)??2πRx
2πxsinuu
du? →f(x)φ(2πx)siR→+∞. D"autre part, on a :2πRx
2πxsinuu
Exercices - Transformation de Fourier: corrigéComme la fonctionφest bornée surR, on obtient :
?????f(x)? ?2πRxquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33