L'existence du pgcd est établie, comme pour les entiers, par l'al- somme de deux carrés dans R[X] 1 4 Racines : multiplicité, relations coefficients- racines
L'existence du pgcd est établie, comme pour les entiers, par l'al- somme de deux carrés dans R[X] 1 4 Racines : multiplicité, relations coefficients- racines
pgcd ← b1 // Affichage du résultat Afficher(« Le pgcd de »,a, « et »,b, « est : », pgcd) } Exercice 5 Calcul d'une racine carrée par itérations Variables x : réel
Remarque : Si le PGCD de deux nombres est égal à 1 alors, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux Exercice 5 Calcul d'une racine carrée par
Avec le polynôme unitaire x ↦→ 1x2 +(−28), vous obtenez que toute nombre rationnel dont le carré est 28 est obligé d'être un nombre entier Etc 5 PGCD Ci -
il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 4 c'est 2 or leur pgcd vaut 1 Ce qui est une racine carrée peut être un nombre décimal non entier
Pour le contenu du chapitre "Polynˆomes", on peut se reporter au chapitre
10 du Cours de math´ematiques - Alg`ebre 1
reann´ee de F. Liret et D. Martinais (´editions Dunod), ou au chapˆıtre 13 du livre "Toute l"alg`ebre du 1ercycle" de
J.-P. Escofier (´editions Dunod).
1.1 G´en´eralit´es
Un polynˆome `a une variable sur un corpsK(nous serons essentiellement int´eress´es par les cas o`uKestRouC) est une expression a
0+a1X+···+anXn,
o`u lesaisont des ´el´ements deK(lescoefficientsdu polynˆome). Formellement, on peut d´efinir un polynˆome comme la suite infinie (a0,a1,...,an,...) de ses coefficients, tous nuls `a partir d"un certain rang. Par exemple, le polynˆome
1 + 2X2-X3est cod´e par la suite (1,0,2,-1,0,0,...).
On noteK[X] l"ensemble des polynˆomes surK. Il est muni des deux op´erations de l"addition et de la multiplication, qui en font un anneau commutatif, comme Z. On identifie un ´el´ementadeKau polynˆome constant (cod´e (a,0,0,...)). La multiplication par les ´el´ements deKmunit alorsK[X] d"une structure d"espace vectoriel surK. SoitPun polynˆome non nul. Ledegr´edePest le plus grand entierntel que le coefficientandeXndansPsoit non nul. Ce coefficientans"appelle alors lecoefficient dominantdeP, et on dit quePestunitairesi son coefficient dominant est 1. Par convention on peut d´ecr´eter que le degr´e du polynˆome nul est-∞. On a deg(PQ) = deg(P) + deg(Q). On dit qu"un polynˆomeBdiviseun polynˆomeAs"il existe un polynˆomeQ tel queA=BQ. Noter que le fait qu"`a la foisBdiviseAetAdiviseB´equivaut au fait qu"il existe une constantec?= 0 telle queA=cB. Noter aussi que siB diviseAet deg(A)4CHAPITRE 1. POLYNˆOMES Soitc?KetP=a0+a1X+···+anXnun polynˆome surK. On pose P(c) =a0+a1c+···+ancn. On dit quecestracinedePquandP(c) = 0. L"applicationc?→P(c) deKdans lui-mˆeme est lafonction polynˆomeassoci´ee au polynˆomeP. On peutsubstituerun polynˆomeQ`a la variableXdans un autre polynˆome Ppour obtenir un nouveau polynˆomeP(Q) (not´e aussiP◦Qchez Liret- Martinais) : siP=a0+a1X+···+anXn, alorsP(Q) =a0+a1Q+···+anQn. On aP1(Q) +P2(Q) = (P1+P2)(Q) etP1(Q)×P2(Q) = (P1P2)(Q).
Exercice 1.1
Calculer par r´ecurrence (1 +X)(1 +X2)(1 +X4)···(1 +X2n).
Exercice 1.2
SiPest un polynˆome de degr´en`a coefficients dansKetcun ´el´ement deK, combien faut-il d"op´erations (additions et multiplications) dansKpour calculer P(c)? Combien faut-il d"op´erations dansKpour multiplier deux polynˆomes de degr´en?
Exercice 1.3
SoientA,B,C,U,Vdes polynˆomes deK[X]. Montrer que siAdiviseBetC, il divise aussiUB+V C.
Exercice 1.4
Montrer que, si les trois polynˆomesP,Q,RdeR[X] v´erifient la relation P
2(X)-XQ2(X) =XR2(X),
ils sont nuls (faire jouer la parit´e du degr´e et les signes des coefficientsdomi- nants). Est-ce encore vrai dansC[X]?
Exercice 1.5
Soita?K. Montrer queP(X) =X(X+a)(X+2a)(X+ 3a) +a4est un carr´e dansK[X]. En d´eduire une d´ecomposition deQ(X) =X(X+1)(X+2)(X+3)-8 en produit dansR[X].
Exercice 1.6
SoientPetQdes polynˆomes deK[X].
1. Montrer queP(X)-XdiviseQ?P(X)?-Q(X).
2. Montrer queP(X)-XdiviseP?P(X)?-X.
Exercice 1.7
Montrer que l"applicationP?→P(X+a) est une bijection deK[X] sur lui-mˆeme.
Quelle est la bijection r´eciproque?
1.2. DIVISION EUCLIDIENNE, PGCD DE DEUX POLYNˆOMES5
1.2 Division euclidienne, pgcd de deux polynˆomes
Un point important qui fait que l"anneau des polynˆomes `a une variable sur un corpsKest tr`es semblable `aZest l"existence d"une division euclidienne. Th´eor`eme 1.1SoientAetBdeux polynˆomes deK[X], avecBdiff´erent du polynˆome nul. Alors il existe des polynˆomesQ(quotient) etR(reste) tels que
A=BQ+Ravec degR De plus, le couple(Q,R)v´erifiant ces propri´et´es est unique. Proposition 1.2Le reste de la division euclidienne dePparX-cestP(c). En cons´equence, un ´el´ementc?Kest racine dePsi et seulement siPest divisible parX-c. D´efinition 1.3SiAetBsont deux polynˆomes deK[X], on dit quele polynˆome Dest un plus grand commun diviseur (en abr´eg´e, pgcd) deAetBquand
1.Dest un diviseur commun deAetB,
2. tout diviseur commun deAetBdiviseD.
Autrement dit, l"ensemble des diviseurs deDest ´egal `a celui des diviseurs com- muns deAetB. Ceci ne d´efinit pas le pgcd de mani`ere unique, mais `a un facteur constant non nul pr`es. L"existence du pgcd est ´etablie, comme pour les entiers, par l"al- gorithme d"Euclide. SoientAetBdeux polynˆomes. On pose R
0=A R1=B
et, pourn≥1, tant queRnest non nul, on d´efinitRn+1comme le reste de la division euclidienne deRn-1parRn: R n-1=RnQn+Rn+1avec deg(Rn+1)Comme pour les entiers, on a :
Th´eor`eme 1.5SoientAetBdeux polynˆomes,Dun pgcd deAetB. Il existe des polynˆomesUetVtels queD=UA+V B. D´efinition 1.6Deux polynˆomesAetBsont ditspremiers entre euxquand1 est pgcd deAetB, autrement dit si et seulement si les seuls diviseurs communs deAetBsont les constantes non nulles.
6CHAPITRE 1. POLYNˆOMES
Th´eor`eme 1.7 (Identit´e de Bezout)Deux polynˆomesAetBsont premiers entre eux si et seulement s"il existe des polynˆomesUetVtels queUA+V B= 1. Corollaire 1.8SoitAun polynˆome premier avec chacun des polynˆomesB1,...,Br. AlorsAest premier avec le produitB1···Br. Th´eor`eme 1.9 (Lemme de Gauss)SoientA,BetCdes polynˆomes tels que AetBsoient premiers entre eux et queAdivise le produitBC. AlorsAdivise C. D´efinition 1.10Un polynˆomeMest unplus petit commun multiple(ppcm) de deux polynˆomesAetBsi et seulement si
1.Mest un multiple commun deAetB,
2. tout multiple commun deAetBest multiple deM.
SiAouBest nul, le ppcm deAetBest 0. SiAetBsont tous les deux non nuls, et siDest un pgcd deAetB, alorsAB/Dest un ppcm deAetB. Th´eor`eme 1.11SoientA1,...,Ardes polynˆomes premiers entre eux deux `a deux (Aipremier avecAjsii?=j). Si chaqueAidiviseB, alors la produit A
1···ArdiviseB.
Dans les exercices on dira "le pgcd" ou "le ppcm", et on noterapgcd(A,B) ou ppcm(A,B) pour le pgcd ou le ppcm unitaire.
Exercice 1.8
Effectuer les divisions euclidiennes de
2X5-5X3-8XparX+ 3,
4X3+X2parX+ 1 +i ,
X
5-2X4+ 3X3-4X2+ 5X-5 parX2+X+ 1.
En d´eduire pgcd(X5-2X4+ 3X3-4X2+ 5X-5,X2+X+ 1).
Exercice 1.9
Calculer le reste de la division dansR[X] de
1. (cosa+Xsina)nparX2+ 1,
2. (X-1)m+Xm-1 parX2-X+ 1 selon la valeur demmodulo 6.
Exercice 1.10
SoitP(X)?R[X] etaetbdeux nombres r´eels distincts. Calculer le resteR(X) de la division deP(X) par (X-a)(X-b) en fonction deP(a) etP(b).
Exercice 1.11
SoitP(X) = 3X3+ 2X2+ 2 etQ(X) =X2-2.
1. Utiliser l"algorithme d"Euclide pour d´eterminer le pgcdDdePetQ.
2. En d´eduire deux polynˆomesUetVtels queUP+V Q=D.
1.3. D´ECOMPOSITION EN FACTEURS IRR´EDUCTIBLES7
Exercice 1.12
On noteR[X] l"ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels et degPle degr´e d"un polynˆomePdeR[X]. SoitA(X) =X3+2X2-X-2 etB(X) =X3-3X-2.
1. CalculerDle pgcd unitaire deAetB.
2. Trouver deux polynˆomesU0etV0deR[X] v´erifiantAU0+BV0=Davec
degU03. Trouver le ppcm unitaire deAetB.
Exercice 1.13
On consid`ere les polynˆomesA(X) =X5-X4+2X3+1 etB(X) =X5+X4+
2X2-1. D´eterminer leur pgcdDet ´ecrireDsous la formeAU+BV.
Exercice 1.14
Soientaetbdeux entiers strictement positifs. Quel est le pgcd deXa-1 et X b-1?
Exercice 1.15
SoitD= pgcd(A,B) (o`uAetBne sont pas nuls tous les deux), et soit (U,V) tels queAU+BV=D. Quel est le pgcd deUetV?
Exercice 1.16
SoientA(X) = (X-1)2etB(X) = (X+ 1)2.
1. Calculer le pgcd unitaireDdeAetB.
2. Trouver deux polynˆomesUetVdeR[X] tels queUA+V B=D.
3. D´eduire une d´ecomposition en ´el´ements simples de
1 (X2-1)2.
Exercice 1.17
SoitPetQdansK[X] deux polynˆomes premiers entre eux. Montrer que, sim etnsont des entiers strictement positifs,Pmest premier avecQn.
Exercice 1.18
restes dans la division dePparX-2,X-3 etX-4 soient ´egaux.
1.3 D´ecomposition en facteurs irr´eductibles
D´efinition 1.12Un polynˆomeP?K[X]est ditirr´eductiblesi ce n"est pas une constante et si ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et les polynˆomes de la formecPo`ucest une constante non nulle (autrement dit,deg(P)>0et il n"y a pas de factorisationP=Q1Q2avecdeg(Q1)8CHAPITRE 1. POLYNˆOMES Qest un autre polynˆome irr´eductible, alors ou bien il existe une constante non nullectelle queQ=cP, ou bienPetQsont premiers entre eux. Les polynˆomes irr´eductibles jouent le rˆole des nombres premiers. Th´eor`eme 1.13SoitAun polynˆome non constant deK[X]. Alors il existe une d´ecomposition
A=cPα11···Pαkk
o`ucest une constante non nulle,P1,...,Pksont des polynˆomes irr´eductibles unitaires distincts deK[X], etα1,...,αkdes entiers strictement positifs. De plus, une telle d´ecomposition est unique, `a l"ordre des facteurs irr´eductibles pr`es. L"identification des polynˆomes irr´eductibles surCetRrepose sur le fameux Th´eor`eme 1.14 (D"Alembert - Gauss)Tout polynˆome non constant deC[X] a une racine dansC. La d´emonstration de ce th´eor`eme sort du cadre du cours. Onen d´eduit : Th´eor`eme 1.15SurC, les polynˆomes irr´eductibles unitaires sont lesX-c avecc?C. SurR, les polynˆomes irr´eductibles unitaires sont lesX-cavec c?Ret lesX2+bX+csans racine r´eelle (c.-`a-d. avecb2-4c <0). Rappelons que, sicest un nombre complexe, (X-c)(X- c) =X2-
2 Re(c)X+|c|2?R[X].
Exercice 1.19
SoitP(X) = 3X3-2X2-7X-2 etQ(X) = 2X2+ 3X+ 1.
1. Utiliser l"algorithme d"Euclide pour d´eterminer le pgcd dePetQ.
2. Donner la d´ecomposition dePen facteurs irr´eductibles dansR[X].
3. Quel est le ppcm dePetQ?
Exercice 1.20
D´ecomposer dansR[X] puis dansC[X] les polynˆomes suivants en facteurs irr´eductibles X
3+ 1X3-1X3+ 2X2+ 2X+ 1
X
4+ 1X4+X2+ 1 1 +X+X2+X3+X4+X5
Exercice 1.21
D´ecomposer dansR[X], puis dansQ[X] le polynˆomeP(X) =X4+ 1.
Exercice 1.22
Montrer qu"un polynˆome de degr´e 2 ou 3 est irr´eductible sur un corpsKsi et seulement s"il n"a pas de racine dansK. En est-il de mˆeme pour un polynˆome de degr´e 4?
1. D´eterminer le reste de la division euclidienne deP(X) =X2m+(X+1)n-1
parX(X+ 1). Dans toute la suite, on d´esigne parA(X) un polynˆome de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1 deC[X] et on poseB(X) = [A(X)]2m+ (A(X) + 1)n-1.
2. Montrer que [A(X)]2+A(X) diviseB(X).
3. Montrer que, six0est racine de multiplicit´e 1 deA(X), alorsx0est racine
de multiplicit´e 1 deB(X).
4. On suppose queA(X) =X2+1,m= 1,etn= 3. Donner la d´ecomposition
en produit de facteurs irr´eductibles du polynˆomeB(X) dansR[X], puis dansC[X].
5. On suppose queA(X) = 1-X+X2,m= 1 etn= 2.
Donner la d´ecomposition en produit de facteurs irr´eductibles du polynˆome
B(X) dansR[X], puis dansC[X].
Exercice 1.24
SoitPun polynˆome `a coefficients r´eels. Montrer que, siP(x)≥0,?x?R, alors il existeAetBdansR[X] tels queP=A2+B2. On pourra montrer que, siA,B,C,D?R[X], alors(A2+B2)(C2+D2)est encore une somme de deux carr´es dansR[X]. D´ecomposerX4+X2+ 1 en une somme de deux carr´es dansR[X].
racines D´efinition 1.16Soitc?K,Pun polynˆome non nul deK[X]. On dit quec estracine de multiplicit´ekdePsi(X-c)kdivisePet(X-c)k+1ne le divise pas. Autrement dit,P= (X-c)kQavecQ(c)?= 0. Une racine de multiplicit´e 1 est ditesimple, et une racine de multiplicit´e>1 multiple. D´efinition 1.17SoitP=a0+a1X+···+anXn. Sonpolynˆome d´eriv´eest par d´efinitionP?=a1+ 2a2X+···+nanXn-1. On noteP??,...,P(k),...les polynˆomes d´eriv´es successifs. Les r`egles usuelles de d´erivation de somme ou de produit s"appliquent. Pour les deux r´esultat suivants, il faut supposer queKcontientQ(par exempleK=Q,RouC) Th´eor`eme 1.18SoitPun polynˆome deK[X], etcun ´el´ement deK. Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
1.cest racine de multiplicit´ekdeP.
2.P(c) =P?(c) =...=P(k-1)(c) = 0etP(k)(c)?= 0.
10CHAPITRE 1. POLYNˆOMES
En cons´equence,cest racine de multiplicit´e≥kdePsi et seulement si
P(c) =P?(c) =...=P(k-1)(c) = 0.
Th´eor`eme 1.19 (Formule de Taylor pour les polynˆomes)SoitPun po- lynˆome deK[X]de degr´e inf´erieur ou ´egal `ad, etcun ´el´ement deK. Alors
P(X) =P(c)+P?(c)(X-c)+P??(c)
Soientc1,...,cpdes ´el´ements distincts deK. Siciest racine de multiplicit´eki deP, pouri= 0,...,p, alors (X-c1)k1···(X-cp)kpdiviseP. En cons´equence : Th´eor`eme 1.20Un polynˆome de degr´endeK[X]ne peut pas avoir plus den racines compt´ees avec multiplicit´e dansK. Ce th´eor`eme est souvent employ´e sous la forme suivante :si un polynˆome de nul. On en d´eduit par exemple la partie"unicit´e»du r´esultat suivant : Th´eor`eme 1.21 (Polynˆome d"interpolation de Lagrange)Soientc0,c1,...,cn des ´el´ements distincts deK. Soienta0,a1,...,andes ´el´ements deK(pas forc´ement distincts). Alors il existe un unique polynˆomePde degr´e inf´erieur ou ´egal `an tel queP(ci) =aipouri= 0,...,n. Ce polynˆome est donn´e par
P(X) =n?
i=0? j?=i(X-cj) j?=i(ci-cj)ai. Un polynˆome de degr´en >0 est ditscind´esurKs"il a exactementnracines compt´ees avec multiplicit´e dansK. Par exemple, le th´eor`eme de d"Alembert- Gauss entraˆıne que tout polynˆome non constant est scind´esurC. Th´eor`eme 1.22SoitP=a0+···+an-1Xn-1+Xnun polynˆome unitaire de degr´en >0, scind´e surK. Soitc1,...,cnses racines compt´ees avec multiplicit´e (une racine de multiplicit´ekfigurekfois). Alors : -an-1=? a n-2=? (-1)kan-k=? (-1)na0=c1c2···cn. Autrement dit,(-1)kan-kest la somme des produitsk`akdes racines. En particulier,an-1est l"oppos´e de la somme des racines et(-1)na0est le produit des racines.
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