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Ph. Loubaton

Echantillonnage et signaux `a temps discret.

Fili`ere R´eseau1/20

Ph. Loubaton

Motivation

signal de parole x(t)x(nT_e)quantificateur mot binaireéchantillonneur

Questions.•Comment choisirTe?•Comment reconsituer le signalx(t) `a partir des bits qui le repr´esentent ?

Tep´eriode d"´echantillonnage,Fe=1

Tefr´equence d"´echantillonnage.

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Ph. Loubaton

Reformulation.

0 5 10 15 20 25
30
35
40
45
50
-1.5-1-0.5

00.511.5

t en multiple de Te x(t) x(t) x(nTe) Peut-on reconstituer de fa¸con unique la courbe bleue `a partir des points rouges ?

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Ph. Loubaton

Th´eor`eme de Shannon.

Soitx(t) un signal de bande passante [-B,B]. Alors, siTe<1

2B??B 2, la fonctionx(t) est d´efinie de fa¸con unique par la suite (x(nTe))n?Z. De plus, x(t) =? n?Zx(nTe)sin(π(t-nTe) Te)

π(t-nTe)

Te x(t) est la seule courbe suffisemment douce passant par les points(x(nTe))n?Z.

Fili`ere R´eseau4/20

Ph. Loubaton

Preuve du th´eor`eme de Shannon I.

Bas´ee sur la formule sommatoire de Poisson. Formule fondamentale qui poss`ede son int´erˆet propre.Soitx(t) une fonction etX(f) sa TF. Alors: Te? n?Zx(nTe)e-2iπnfTe=?k?ZX(f-k Te)

Fili`ere R´eseau5/20

Ph. Loubaton

Preuve du th´eor`eme de Shannon II.

SoitY(f) =?

k?ZX(f-k

Te) =Te?

n?Zx(nTe)e-2iπnfTe

SiTe<1

2B??B <1

2Te.

B-B 1/2T_e-1/2T_e1/T_e 3/2T_e-3/2T_e -1/T_e

|X(f)||X(f-1/T_e)||X(f+1/T_e)|

X(f) =Y(f) sur [-1

2Te,1 2Te] x(t) =?B -BX(f)e2iπftdf=? 12Te -12TeY(f)e2iπftdf. On remplaceY(f) par son expression?formule d"interpolation de Shannon.

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Ph. Loubaton

Application aux convertisseurs num´eriques analogiques I.

Comment g´en´erer concr`etement le signalx(t) `a partir de la suite (x(nTe))n?Z.Soith(t) une fonction telle que

H(f) = 1 sif?[-B,B]

= 0 sif /?[-1 2Te,1 2Te]

Alors :

x(t) =Te? n?Zx(nTe)h(t-nTe)

Sih(t) =sin(πt/T)

πt, on retrouve la formule de Shannon.

Fili`ere R´eseau7/20

Ph. Loubaton

Application aux convertisseurs num´eriques analogiques II.

Principe g´en´eral.

x_a(nT_e)suite x_a(nT_e) par un créneau.\sum_n x_a(nT_e) g(t-nT_e)

Mise en forme de la x_a(t)Filtrage passe-bas

K(f)

K(f) G(f) = 1 sur [-B, B]

K(f) = 0 hors de [-1/2T_e,1/2T_e]

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Ph. Loubaton

Application aux convertisseurs num´eriques analogiques III. Un exemple avec un filtre passe-bas non optimis´e 0 5 10 15 20 25
30
-1.5-1-0.5

00.511.5

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Ph. Loubaton

Signaux `a temps discrets. G´en´eralit´es

Signal `a temps discret = suite (xn)n?Z.Exemple typique :xn=xa(nTe) o`uxa(t) est un signal `a temps continu etTesa

p´eriode d"´echantillonnage.

Fili`ere R´eseau10/20

Ph. Loubaton

Signaux `a temps discrets. Transform´ee de Fourier, I X(f) la transform´ee de Fourier de (xn)n?Zest la fonction d´efinie sur [-1 2,1

2] par:

X(f) =?

n?Zx ne-2iπnf

Bien d´efini si?

n?Z|hn|2<∞: signal d"´energie finie.La variablefest appel´ee fr´equence normalis´ee

Fili`ere R´eseau11/20

Ph. Loubaton

Signaux `a temps discrets. Transform´ee de Fourier, II

Justification de l"expression fr´equence normalis´ee.xn=xa(nTe) o`uxa(t) est de bande passante [-B,B] etB <1

2Te.

Grˆace `a la formule de Poisson :

Xa(ν) =Te?

n?Zx ne-2iπnνTesiν?[-1 2Te,1 2Te]

On pose alorsf=νTe=ν

Fequi appartient `a [-1/2,1/2] :

X(f) =FeXa(fFe) sif?[-1/2,1/2]

Aux renormalisations pr`es, TF du signal `a temps discret (xa(nTe)n?Z= TF du signal `a temps continuxa(t).

Fili`ere R´eseau12/20

Ph. Loubaton

Quelques propri´et´es de la TF.

Philosophie : mˆemes types de propri´et´es que la TF des signaux `a temps continu.X(f) = TF dex= (xn)n?Z•Sixest r´eel,X(-f) =X(f)?

•TF de (xn-n0)n?Z=e-2iπn0fX(f)

•TF dee2iπnf0=δ(f-f0)

•Sixest r´eel,xn=?1/2

-1/2X(f)e2iπnfdf=?1/2

0C(f)cos(2πnf+φ(f))dfavec

X(f) =C(f)

2eiφ(f).

Retard temporel??multiplication fr´equentielle pare-2iπf

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Ph. Loubaton

Filtrage des signaux `a temps discret I

Produit de convolution de signaux `a temps discretxety:z=x?y: zn=?k?Zx kyn-k Mˆemes propri´et´es que dans le cas des signaux `a temps continus: en particulier;

TF dex?y=X(f)Y(f)

Fili`ere R´eseau14/20

Ph. Loubaton

Filtrage des signaux `a temps discret II

colorgreen Filtre = dispositif tel que :yn= (h?x)n=?

k?Zhkxn-kxest l"entr´ee du filtre,yla sortie du filtre, ethest sa r´eponse impulsionnelle.•Filtre `a r´eponse impulsionnelle finie (RIF) si seuls un nombre fini dehksont

non nuls

•Filtre `a r´eponse impulsionnelle infinie (RII) dans le cas contraireSihk= 0 sik < k0, alors, il n"a pas besoin d"ˆetre causal pour ˆetre implant´e.

Fili`ere R´eseau15/20

Ph. Loubaton

Filtrage des signaux `a temps discret III

H(f) =?

k?Zhke-2iπkfest la fonction de transfert.Relation d"entr´ee / sortie dans le domaine fr´equentiel :

Y(f) =H(f)X(f)Mˆeme utilisation que les filtres `a temps continu : couper des bandes de fr´equences.

Fili`ere R´eseau16/20

Ph. Loubaton

Filtrage des signaux `a temps discret IV : filtres r´ecursifs

Filtres RII particuliersExemple simple : filtre d´efini par l"´equationyn-ayn-1=xnpour toutnSous-entendu :xn= 0 sin <0,yn= 0 sin <0.

Instantn= 0 :y0=x0•Instantn= 1 :y1-ay0=x1?y1=x1+ax0•Instantn:yn-ayn-1=xn?yn=xn+axn-1+...+anx0 yn=?∞k=0akxn-k: filtre de r´eponse impulsionnelle d´efinie par h k= 0 sik <0 =aksik≥0

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Ph. Loubaton

Filtrage des signaux `a temps discret V : filtres r´ecursifs Fonction de transfert :Y(f)(1-ae-2iπf) =X(f)H(f) =1

1-ae-2iπf

R´eponse impulsionnelle `a partir deH(f).

1

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Ph. Loubaton

Filtrage des signaux `a temps discrets VI : filtres r´ecursifs

Le cas g´en´eral.yn+?pk=1akyn-k=?ql=0blxn-l,xn= 0,yn= 0 sin <0.Facile de voir queyn=?∞k=0hkxn-kFonction de transfertH(f) =?

q k=lble-2ilπf

1+?pk=1ake-2ikπf

D´evelopperH(f) en s´erie enti`ere dee-2iπfpour obtenir la r´eponse impulsionnelle.

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Ph. Loubaton

Filtrage des signaux `a temps discrets VII : stabilit´e des filtres r´ecursifsUn filtre est stable si toute entr´ee born´ee produit une sortie born´ee.Pas de probl`eme pour les filtres RIF, la question se pose pourles filtres RII.

Stabilit´e ssi?

k?Z|hk|<∞•Si le filtre est r´ecursif, et siA(z) = 1 +?pk=1akz-k, stabilit´e ssi

A(z)?= 0 si|z|>1

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Ph. Loubaton

Exemple d"application du filtrage num´erique I. Implantation num´erique d"un filtrage analogique. x_a(t)H_a(f) T_e

H(f) CNAy_a(t)

y_a(t)x_n y_n

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Ph. Loubaton

Exemple d"application du filtrage num´erique II.

Difficile,cher, et peu flexible de mettre en oeuvre un filtre analogiqueHa(f)Le remplacer par :•Echantillonnage `a une fr´equence suffisante, puis quantification de l"entr´ee•Filtre num´erique tel queH(f) =Ha(fFe)•Conversion num´erique / analogique de la sortie

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