lna > lnb est équivalent à a > b 5 Nombre e On appelle e le nombre (unique) dont le logarithme vaut 1 (notation due à Euler) : ln(e) = 1 Valeur approchée : e
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[PDF] Fonction logarithme népérien
Théorème 1 Pour tous réels a et b stritement positifs : lnab = lna + lnb Démonstration lna 3 Etude de la fonction ln 3 1 Limites Théorème 2 lim x→+o lnx = +1
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a + lnb = eln a × eln b = ab Sachant que si e x = y, alors x = ln y , on en déduit lna + lnb = ln(ab) Conséquence Pour tous réels a et b strictement positifs on a :
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Chapitre 9 : Logarithme 9 2 Propriétés algébriques Pour tous réels a et b de ]0; +∞[, ln(ab) = lna + lnb Démonstration Soit a et b deux réels strictement positifs,
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1 nov 2011 · Conséquences Pour tous réels a et b strictement positifs : lna = lnb si et seulement si a = b lna > lnb si et seulement si a > b Puisque ln1 = 0
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3 a ≤ b ⇐⇒ lna ≤ lnb Le principe On utilise simplement les définitions Les démonstrations 1 La fonction f(x) = lnx est dérivable donc continue 2 f′(x) = 1
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lna − lnb and ln ( ab ) = b lna We can use the last property to show that lim x→ 0+ lnx = −∞ and lim x→∞ lnx = ∞ : We know that ln 2 > 0, so ln 2x = x ln2
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lna e lnb , donc que lna lnb d'après les propriétés de la fonction exponentielle La fonction logarithme népérien conserve l'ordre des nombres, elle est donc
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) = lna – lnb C2) ∀a ε ℝ* + ; ln ( a 1 )
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Fonction logarithme népérien
Table des matières
I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
II Sens de variation, courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
III Fonctionx?→ln[u(x)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
IV Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Activiténo1 page141
I Définition
Définition
On appelle fonction logarithmenépérien, notée ln, l"unique fonction telle que : ln est définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ln(1)=0
Pour toutx>0, ln?(x)=1
x Remarque: on écrit souvent lnxà la place de ln(x). Remarque: une expression de la forme ln(u(x))est définie si, et seulement si,u(x)>0Exemples:
ln(x-3) est définie si, et seuelement si,x-3>0 donc pourx>3. ln(1-x) est définie pour 1-x>0, donc pourx<1. ln(x2+x+1) est définie surRcarx2+x+1>0 pour toutx,x2+x+1=? x+1 2? 1 +34>0II Sens de variation, courbe représentative
1.Sens de variation:
On a vu que : ln?(x)=1x; commex>0, ln?(x)>0 donc la fonction ln eststrictement croissantesur ]0 ;+∞[. 12.Tableau de variations
La tabeau de variations est :
x0+∞ f?(x)+ f(x)3.Signe
On a vu dans la définition que ln(1)=0.
On en déduit que :
si 0 six>1, lnx>0
4. Équationset inéquationsSoientaetbdeux nombres strictement positifs. lna=lnbest équivalent àa=b.
lna lna>lnbest équivalent àa>b. 5. Nombre e
On appelle e le nombre (unique) dont le logarithmevaut 1 (notation due à Euler) :ln(e)=1. Valeur approchée : e≈2,718
6. Courbe représentative
O11 -1012345678910 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 e y=lnx Équations du type :ln(u(x))=0
ln(u(x))=0?ln(u(x))=ln1?u(x)=1 Exemple :ln(x-3)=0 équivaut àx>3 etx-3=1 doncx=4 Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs; il faut alors queu(x)=v(x).
III Fonction x?→ln[u(x)]
Soituune fonction définie, strictement positive et dérivable surun intervalleI. On considère la fonctionf, composée deusuivie de la fonction ln :f=ln◦u. fest définie parf(x)=ln(u(x)). Page 2/3
fest dérivable etf?=u?udonc, pour toutx?I,f?(x)=u?(x)u(x) Exemple :
Soitfla fonction définie surRparf(x)=ln(x2+x+1). f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x2+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetu?x=2x+1. Alorsf?(x)=u?(x)
u(x)= 2x+1 x2+x+1 IV Propriétés algébriques
Préliminaire : étude d"une fonction :
Soita>0 un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonctionfdéfinie parf(x)=ln(ax)-ln(x).
Pour toutx>0 on a :f?(x)=a
ax-1x=1x-1x=0. La dérivée defest nulle, donc la fonctionfest constante. Pour calculer cette valeur constante, il suffit de calculerfpour une valeur particulièredex. Pourx=1, on obtientf(1)=ln(a)-ln(1)=ln(a).
On en déduit que, pour toutx>0,f(x)=ln(a), donc ln(ax)-ln(x)=ln(a). Par conséquent :
ln(ax)=ln(a)+ln(x)(le logarithmed"un produit est égal à la somme des logarithmes). Propriétés
aetbsont deux nombres strictement positifs;nest un entier relatif. 1. Produit :ln(ab)=lna+lnb
2. Inverse :ln?1a?
=-lna 3. Quotient :ln?ab?
=lna-lnb 4. Puissances :ln?an?=nlna
5. Racine carrée :ln?a=12lna
Démonstrations:
ln(ab)=lna+lnbdécoule de ce qu"on a vu dans l"étude préliminaire. ln?
a×1 a? =ln(a)+ln?1a? et ln? a×1a? =ln(1)=0 donc ln?1a? =-ln(a). ln?a
b? =ln? a×1b? =ln(a)+ln?1b? =ln(a)+(-ln(b))=ln(a)-ln(b). ln(a)=ln??
a×?a?=ln??a?+ln??a?=2ln??a?donc ln??a?=12ln(a). Exemples:
ln6=ln(2×3)=ln2+ln3
ln1
3=-ln3
ln2
3=ln2-ln3
ln(109)=9ln10 (remarque : ln10≈2,3, donc
ln?109?≈20,7) ln?
5=12ln5
ln?e3?=3lne=3×1=3
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six>1, lnx>0
4. Équationset inéquationsSoientaetbdeux nombres strictement positifs.lna=lnbest équivalent àa=b.
lna lna>lnbest équivalent àa>b. 5. Nombre e
On appelle e le nombre (unique) dont le logarithmevaut 1 (notation due à Euler) :ln(e)=1. Valeur approchée : e≈2,718
6. Courbe représentative
O11 -1012345678910 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 e y=lnx Équations du type :ln(u(x))=0
ln(u(x))=0?ln(u(x))=ln1?u(x)=1 Exemple :ln(x-3)=0 équivaut àx>3 etx-3=1 doncx=4 Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs; il faut alors queu(x)=v(x).
III Fonction x?→ln[u(x)]
Soituune fonction définie, strictement positive et dérivable surun intervalleI. On considère la fonctionf, composée deusuivie de la fonction ln :f=ln◦u. fest définie parf(x)=ln(u(x)). Page 2/3
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Soitfla fonction définie surRparf(x)=ln(x2+x+1). f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x2+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetu?x=2x+1. Alorsf?(x)=u?(x)
u(x)= 2x+1 x2+x+1 IV Propriétés algébriques
Préliminaire : étude d"une fonction :
Soita>0 un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonctionfdéfinie parf(x)=ln(ax)-ln(x).
Pour toutx>0 on a :f?(x)=a
ax-1x=1x-1x=0. La dérivée defest nulle, donc la fonctionfest constante. Pour calculer cette valeur constante, il suffit de calculerfpour une valeur particulièredex. Pourx=1, on obtientf(1)=ln(a)-ln(1)=ln(a).
On en déduit que, pour toutx>0,f(x)=ln(a), donc ln(ax)-ln(x)=ln(a). Par conséquent :
ln(ax)=ln(a)+ln(x)(le logarithmed"un produit est égal à la somme des logarithmes). Propriétés
aetbsont deux nombres strictement positifs;nest un entier relatif. 1. Produit :ln(ab)=lna+lnb
2. Inverse :ln?1a?
=-lna 3. Quotient :ln?ab?
=lna-lnb 4. Puissances :ln?an?=nlna
5. Racine carrée :ln?a=12lna
Démonstrations:
ln(ab)=lna+lnbdécoule de ce qu"on a vu dans l"étude préliminaire. ln?
a×1 a? =ln(a)+ln?1a? et ln? a×1a? =ln(1)=0 donc ln?1a? =-ln(a). ln?a
b? =ln? a×1b? =ln(a)+ln?1b? =ln(a)+(-ln(b))=ln(a)-ln(b). ln(a)=ln??
a×?a?=ln??a?+ln??a?=2ln??a?donc ln??a?=12ln(a). Exemples:
ln6=ln(2×3)=ln2+ln3
ln1
3=-ln3
ln2
3=ln2-ln3
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ln?109?≈20,7) ln?
5=12ln5
ln?e3?=3lne=3×1=3
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Nombre e
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6.Courbe représentative
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ln(u(x))=0?ln(u(x))=ln1?u(x)=1 Exemple :ln(x-3)=0 équivaut àx>3 etx-3=1 doncx=4Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs; il faut alors queu(x)=v(x).
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Soitfla fonction définie surRparf(x)=ln(x2+x+1). f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x2+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetu?x=2x+1.Alorsf?(x)=u?(x)
u(x)= 2x+1 x2+x+1IV Propriétés algébriques
Préliminaire : étude d"une fonction :
Soita>0 un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonctionfdéfinie parf(x)=ln(ax)-ln(x).