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triques et des propriétés donnés en hypothèse Soit, par exemple Lorsqu'il estime avoir fini sa construction, il le signale en cliquant sur un bouton il produit en sortie une figure stockée dans un fichier nommé erot ch dont le format est bmp;

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Constructions à la règle et au compas

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

C"est au cours d"une méditation que je découvre cette chose - évidente à vrai dire pour peu qu"on se pose la question - que dans ma démarche spontanée à la découverte des choses, que ce soit en mathématiques ou ailleurs, le "ton de base» est "yin», "féminin», et aussi et surtout, que contrairement à ce qui se passe le plus

souvent, je suis resté fidèle à cette nature originelle en moi, sans jamais l"infléchir ou

la corriger pour me conformer aux valeurs dominantes en honneur dans les milieux environnants. AlexandreGROTHENDIECKy

1.Compas celtes (gaulois)

L"archéologie démontre qu"à partir du V

èmesiècle avant Jésus-Christ, l"art celtique a

commencé à élaborer des instruments de précision pour dessiner des décors géométriques,

architecturaux, artistiques.Lespremières"machinesàtracerdescercles»ontdisparu,etellesétaientprobablement

fabriquées en bois.

Mais certains compas

1métalliques gaulois "à pas variables» se sont conservés. Voici

l"un d"entre eux, retrouvé sur le site de l"Oppidum de Bibracte2. Jambes mobiles, écartement variable : le principe n"a pas évolué depuis plus de deux

mille cinq cent ans!1. Le terme est undéverbal-on prend le verbe, et on enlève le caractère verbal - decompasser, lui-

même issu du bas latincompassaresignifiantmesurer avec le pas, qui s"est spécialisé dans le sens actuel dès

le XII

èmesiècle.

2. La ville de Bibracte était la capitale desÉduens, peuple celte (gaulois) qui a connu son apogée au Ier

siècle avant Jésus-Christ. Centre névralgique du pouvoir de l"aristocratie éduenne, Bibracte fut aussi un lieu

d"artisanat et de commerce où se côtoyaient mineurs, forgerons, frappeurs de monnaie. Au sommet duMont Beuvraydans le Massif du Morvan, à 850 m d"altitude, cette métropole disparue

était situé sur le territoire actuel des communes de Saint-Léger-sous-Beuvray (Saône-et-Loire), de Glux-en-

Glenne et de Larochemillay (Nièvre).

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud, 2014-2015Les compas deviennent abondants dans les fouilles archéologiques à partir de la fin du

II èmeavant Jésus-Christ.Déjà au tout début de l"âge du Fer, à savoir aux V

èmeet IVèmesiècles avant J.-C., on

trouve des motifs circulaires très raffinés, notamment sur des vases en céramique, sur des

sculptures en os, sur des fourreaux d"épé en fer, sur des coupes à boire en or, sur des pièces

de harnachement en bronze. Rosaces, croissants, amandes, pétales, lunules, enchevêtrements élégants d"arcs de

cercles : l"art de prestige fourmille de réussites esthétiques.Comme le laisse deviner le raffinement de phalères

3en bronze ajouré remarquablement

conservées, certaines figures géométriques ne peuvent avoir été construites que sur des

bases mathématiques extrêmement bien maîtrisées.Depuis le 25 septembre 1984, le site héberge leMusée de la civilisation celtique, lequel retrace la vie de

cette cité de quelque 5 à 10 milliers d"âmes au sein d"un oppidum fortifié que les fouilles archéologiques du

mont Beuvray ont révélé peu à peu.

3. Dans l"Antiquité romaine, lesphalèresétaient des plaques métalliques brillantes utilisées comme

ornement (signets d"un casque, par exemple).

2. Compas divers 3

Les archéologues ont pu démontrer que le découpage d"un cercle ennparties égales, pourn= 3;4;5;15, était généralement maîtrisé par les artistes celtes. Mais relativement peu de motifs polygonaux à six côtés réguliers (hexagonaux) semblent avoir existé, probablement parce qu"ils étaient trop simples à réaliser.

C"est le motif pentagonal régulier (cinq côtés), qui témoignait de la valeur de l"artiste,

en raison de la difficulté relative d"exécution. Comme exemple de l"excellence de l"art dès le V

èmesiècle avant J.-C., citons la phalère

de Somme-Bionne sur-Retourne qui présente 9 demi-cercles, et dont le décor a nécessité le

tracé de 120 cercles, ainsi que la phalère de Cuperly, qui a demandé 193 cercles de 8 à 10

rayons différents, soit 180 coups de compas!Si l"utilisation du compas est flagrante dans l"art décoratif, il peut aussi, mais plus rare-

ment, s"illustrer dans l"architecture, bien que de moindre valeur d"apparât. Le bassin monumental de Bibracte en est un exemple.

2.Compas divers

Un compas est un instrument de géométrie qui sert à tracer des cercles ou des arcs de

cercle, mais aussi à comparer, à reporter ou à mesurer des distances. Il est constitué de

deux branches jointes par une articulation. Les compas sont, ou ont été, utilisés en mathé-

matiques, en architecture, en dessin industriel, en géographie. Les Grecs attribuaient son invention à Talos, le neveu de Dédale.

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud, 2014-2015Dans l"inconographie, le compas est un instrument de mesure du monde, témoin d"une

concentration mathématique avisée.3.Prologue sur les constructions à la règle et au compas

et sur les problèmes impossibles

Si l"on souhaite réussir à enseigner de bellesMathématiques à l"Écoleavec une élégance

proche de celle des Grecs, il importe de soigner, face à un public d"enfants attentifs et curieux, l"aspectdynamique et esthétiquedes constructions géométriques. Les constructions de géométrie dans le plan trouvent leurs racines dans la haute Anti-

quité, et elles ont connu un essor spectaculaire dans les mathématiques grecques.Les constructions à la règle et au compas occupent une place considérable dans lesÉlé-

ments d"Euclide. Pour les mathématiciens Grecs, les cercles et les droites sont des figures

idéales, puisqu"en elles, tous les défauts et toutes les impuretés de leurs réalisations phy-

siques - dans le sable, au tableau, sur un papyrus - ont disparu.

3. Prologue sur les constructions à la règle et au compas et sur les problèmes impossibles 5

Presque tous les problèmes de construction géométrique à la règle et au compas que l"on

sait résoudre aujourd"hui étaient déjà parfaitement maîtrisés par les Grecs.

Euclide a fondé sa géométrie sur un système d"axiomes qui assure en particulier qu"il est

toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu"il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné.La géométrie

d"Euclide est donc la géométrie des droites et des cercles, tracés à la règle et au compas.

L"intuition (conjecturale) d"Euclide était que tout point géométrique pouvait être construit,

ou "obtenu», à l"aide de ces deux instruments. En particulier, tout "nombre» devait pou- voir être accessible comme grandeur géométrique constructible. Mais une telle conjecture fondée sur une croyance intuitive en la puissance des objets

géométriques avait déjà été remise en question chez les Grecs. On savait en effet depuis

l"École de Pythagore que les nombres rationnels ne suffisent pas à exprimer toutes les lon-

gueurs géométriques, puisque la diagonale d"un carré de côté1, qui correspond au nombrep2, ne peut jamais s"exprimer comme une fractionpq

avec deux entiers non nulsp;q2N.

Rappelons en effet :

Théorème 3.1.Le nombre :p2 = 1;414213562373095048801689 n"est pas rationnel, à savoir plus précisément, pour tous entiersp; q2N, on a :p26=pq

Démonstration.Ce théorème bien connu et considéré comme très élémentaire par les ma-

thématiciens contemporains est en fait beaucoup plus subtil, complexe et puissant qu"il semble en avoir l"air. En effet, il affirme que dans l"univers extrêmement grand de toutes les fractions ration- nelles pq , aucune ne donne la valeur exacte dep2. Ceci est quelque peu contre-intuitif, car l"on sait que les fractions rationnelles, avec de grands nombres entiers, peuvent approximer tout nombre réel à un nombre quelconque de décimales près. Voici par exemple le développement décimal d"une fraction rationnelle de taille pas si modeste que cela :1234567823456789 = 0;5263157715:

Et d"ailleurs, si l"on veut par exemple capturer les 15 première décimales de :p2 =1;414213562373095048801689;

il suffit évidemment de choisir la fraction : pq :=14142135623730951000000000000000 La force du théorème, c"est que quelle que soit la complexité de deux entiersp; q2N, on ne pourra jamais capturer avec pq toutesles décimales dep2jusqu"à l"infini! Pour démontrer cela, supposons au contraire, en raisonnant par contradiction, qu"il soit possible de représenter :p2 = pq Rappelons qu"un nombre entierr2Nquelconque est toujours soit pair, soit impair.

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud, 2014-2015Nombres pairs

Nombres impairs

1013129678 54321

On peut écrire cela sous forme d"une réunion disjointe : N =2N[2N+ 1: Par définition,être pair, c"est être multiple de2. Tout nombre pairr22Nest donc de la forme : r= 2r0; avecr02N. Mais à nouveau,r0est ou bien pair ou bien impair. Lorsquer0est pair, on

écrit :

0= 2r00;

d"où : r= 2r0= 22r00= 22r00: Par récurrence, on se convainc aisément que la chasse à la présence d"un facteur2doit se terminer, et donc, que tout nombrer2Ns"écrit de manière unique comme : r= 2ar; avec un certain entier-exposanta>0et avec un certain reste-facteurr22N+ 1qui est impair. Alors en revenant à la question de savoir si l"on peut écrirep2 = pq , décomposons de la sorte : p= 2apetq= 2bq; aveca;b>0et avec deux restes-facteursimpairsp;q22N+ 1. Par règle de simplification des fractions, lorsquea>b, on peut écrire : pq =2ap 2 bq =2abp q =nouveaupnouveauqimpair; et de même lorsqueb>a: pq =2ap 2 bq =p 2 baq =nouveaupimpairnouveauq: En résumé, nous avons donc montré que si jamais l"on pouvait écrire p2 = pq sous fraction :p2 = p0q 0; dont les deux nouveaux élémentsp0etq0ne sont pas tous les deux des nombres pairs: au moins l"un d"eux est impair.

3. Prologue sur les constructions à la règle et au compas et sur les problèmes impossibles 7

Et c"est là que tout va se "casser la gueule», puisqu"en élevant au carré : 2 = p02q 02; puis en chassant le dénominateur :

2q02=p02;

on obtient une identité montrant quep02estpair. Or on se souvient par réminiscence arith- méticienne que tout nombreimpair1 + 2rpossède un carré qui estaussiimpair :

1 + 2r2= 1 + 4r+ 22r2|{z}

pair!; donc sip02est pair, c"est quep0lui-mêmedoitêtre pair : p

0= 2p00:

Mais alors l"identité laissée en chemin devient :

2q02=2p002;

ce qui, après division par2, fournit une identité : q

02= 2p002;

qui montre queq0doit lui aussi être pair! Nous débouchons donc malencontreusement sur la conséquence quep0est pair et queq0 est lui aussi pair, en contradiction avec la réduction à laquelle nous étions parvenus.

Conclusion : puisque l"hypothèsep2 =

pq nous a conduit à une contradiction, c"est qu"elle est fausse, donc le Théorème est juste!!p2 1

Néanmoins, bien que

p2soit un nombre irrationnel, il est très facilement accessible à

la règle et au compas, puisque dès qu"on possède un carré de côté1, le compas peut être

"piqué» en deux sommets diagonalement opposés dans le carré, ce qui construitp2. Le traité géométrique desÉlémentsd"Euclide, de par sa puissance et sa nouveauté, a contribué pendant deux millénaires à engager la communauté mathématique dans la re- cherche de résolutions de problèmes de plus en plus difficiles, et ce avec une confiance très forte. En effet, puisquep2est constructible à la règle et au compas, et (voirplus bas) puisque toutes les racinespnsont elles aussi constructibles à la règle et au compas, pen-

dant près de 2000 ans, les mathématiciens-géomètres ont été persuadés que la règle et le

compas permettraient d"atteindre toutes les longueurs visibles naturellement dans le plan. Les géométres Grecs considéraient que la droite et le cercle sont les deux seules figures fondamentales, parfaites, idéales, et ils ne validaient un problème de construction que s"il était réalisé à la règle et au compas.

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud, 2014-2015Mais historiquement parlant,trois ou quatreproblèmes épineux ont indéfiniment résisté

à l"assaut des chercheurs, amateurs ou 'professionnels", sans jamais épargner leurs souf- frances. Les plus connus de ces problèmes très difficiles sont : la quadrature du cercle(le plus difficile de tous); la construction d"un polygone régulier à7côtés; la duplication du cube(le plus 'mélancolique" de tous); la trisection de l"angle.

3.1.Bissection et trisection d"un angle quelconque.Il se trouve que les deux construc-

tions les plus simples et naturelles à la règle et au compas sont :lamédiatriced"un segmentAB(nous effectuons un rappel page 18 plus bas);

plus bas). Ensuite,puisqueaprèslechiffre2,toutlemondesait - mêmelesAustralopithèques - qu"il y a le chiffre3, il est naturel de se demander si l"on peut diviser un segment un trois parties égales? et aussi, si l"on peut diviser un angle en trois parties égales? Or diviser un segment donné en trois segments de longueurs égales est assez facile avec une règle et un compas (nous effectuons aussi un rappel de cette construction page 34 plus bas).Au contraire,diviser un angle en trois parties égales à la règle et au compas est un problème que les Grecs n"ont pas su résoudre.

3. Prologue sur les constructions à la règle et au compas et sur les problèmes impossibles 9

Problème légué par les Grecs.Peut-on toujours, à la règle et au compas, diviser un angle

donné en trois parties égales? C"est un des premiers problèmes qui a fait très mal pendant très longtemps.

3.2.Duplication du carré et duplication du cube.Ensuite, étant donné un carré de côté

de longueur1, donc d"aire11 = 1, il est facile de trouver un carré d"aire double : il suffit de tracer la diagonale, et de former (avec une règle et un compas) un nouveau carré sur cette diagonale

4.4. Dans le dialogue socratiqueLe Ménonde Platon, Ménon est un aristocrate noble de Thessalie origi-

naire de Pharsale, mercenaire des Perses, élève sophiste, et ami du rhéteur sophiste Gorgias.

À la demande de Socrate qui veut illustrer saThéorie de la réminiscence, Ménon fait venir l"un de ses

esclaves.

Socrate trace un carré dont il marque les transversales (en gras et pointillé) et il demande au jeune esclave

de trouver la marche à suivre pour construire un carré dont la surface serait le double de l"original (en gras).

Le côté du carré vaut2. Il a donc une surface de4, et il faut construire un carré dont l"aire vaut8.

L"esclave répond qu"il faut doubler la longueur des côtés. Cette réponse erronée (pourquoi?) constitue

alors un premier pas vers la réminiscence.Socrate demande en effet alors à Ménon d"observer l"esclave en train de se remémorer la suite, "car c"est

ainsi qu"on doit se remémorer».

Puis pour containcre l"esclave de son erreur, Socrate trace le carré de côté double : il faut se rendre à

l"évidence, son aire n"est pas deux, mais quatre fois plus grande, elle vaut44 = 16, soit le double de8,

l"aire recherchée.

L"esclave propose alors de construire un carré dont le côté vaut3. Mais un tel carré a une aire de9, ce

qui n"est pas non plus le résultat demandé.

L"esclave est désormais dans l"embarras, ce qui rappelle une forme de torpeur que Ménon avait déjà

éprouvée face à Socrate, lequel y fait explicitement allusion en utilisant le terme deraie-torpille, un poisson

qui se défend en provoquant des électrochocs.

Mais selon Socrate, l"esclave a, sans s"en rendre compte, déjà parcouru du chemin : "à présent le voilà

qui considère désormais qu"il est dans l"embarras, et tandis qu"il ne sait pas, au moins ne croit-il pas non plus

10 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud, 2014-2015Alors le nouveau carré sera effectivement d"aire double :

p2p2 = p2

2= 2 = 212:p2

Mais qu"en est-il pour un cube?Étant donné un cube peut-on construire un cube ayant le double du volume? Sachant

que le volume d"un cube de côté de longueura >0vaut : a 3; il s"agit de construire un nouveau cube de côtéb >0tel que : b

3= 2a3;

et en se ramenant àa= 1après normalisation, cela revient à construire un cube de côté de

longueur :

b=3p2:qu"il sait». Il est maintenant dans une meilleure situation qu"avant, et Ménon en convient. En particulier, cela

est profitable parce quejamais on ne cherche ce que l"on croit savoir.

Socrate trace les diagonales. Il apparaît que le carré construit sur la diagonale du carré initial est le carré

recherché. L"esclave le découvre et affirme maintenant que c"est sur cette ligne que l"on construit un carré

deux fois plus grand que le premier - ce qu"il ignorait complètement un instant auparavant.

Conséquences générales sur la Théorie de la Réminiscence de Socrate.La connaissance mathématique

se tire de notre propre fonds - sinon l"esclave aurait soit reçu la connaissance à un moment donné, soit il

la possèderait depuis toujours. Pour posséder une connaissance, puisque la vérité est depuis toujours inscrite

dans l"âme (immortelle), ce que l"on se trouve ne pas savoir à un momement donné, c"est-à-dire ce dont on ne

sesouvientpas, c"est avec assurance et confiance que l"on doit s"efforcer de le chercher et de se le remémorer.

Socrate insiste sur les conséquences les meilleures selon lui : il faut oublier le scepticisme des sophistes pour

lui préférerl"ardeur et le zèle dans la recherche.

3. Prologue sur les constructions à la règle et au compas et sur les problèmes impossibles 11

Problème légué par les Grecs.Peut-on toujours, à la règle et au compas, étant donné un

segment de longueur1, construire un segment de longueur : 3 p2? L"histoire raconte que l"oracle de l"île de Délos demanda que l"on double l"autel de

forme cubique dédié à Apollon afin d"apaiser la colère des Dieux et de débarrasser l"île de

la peste. Les déliens (habitants de l"île de Délos) qui doublèrent alors la longueur des côtés

du cube ne résolurent pas le problème puisqu"ils multiplièrent ainsi le volume de l"autel

par huit. La peste redoubla d"intensité et les déliens, désemparés, allèrent trouver Platon

qui leur déclara qu"il est très préjudiciable aux grecs de négliger les mathématiques et la

géométrie.Dans la célèbre gravure d"Albrecht Dürer intitulée "Melancholia», l"ange est figure

etou de la mélancolie5. Une interprétation possible de cette gravure est la suivante. Dans un monde humain

sous l"emprise des ténèbres, Dürer laisse entrevoir une aspiration vers un monde angélique

éloigné, l"homme espérant accéder à une lumière divine oubliée.5. Étymologiquement, mélancolie signifiebile noire humeur noire. Un tempérament mélancolique com-

porte parfois dépression, neurasthénie.

12 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud, 2014-2015La gravure comporte aussi un aspect allégorique

6, puisque leputto7et l"ange sont deux

figures allégoriques parallèles (par leurs ailes). Assis tous deux, tournés dans la même di-

rection, ils tiennent des objets semblables, et notamment, un compas. Perchée sur une roue de meunier, ou sur une meule à aiguiser, la figure duputtorappelle manifestement l"image- rie de laRota fortunamédiévale. Loin de se ressembler, les deux personnages s"opposent :

le plus petit est occupé à griffonner, tandis que le plus grand semble avoir abandonné toute

velléité. Les outils sur le sol, près du grand ange, se rapportent au travail de la pierre, et peut-

être sont ils destinés à évoquer la réduction en pierre cubique du grand polyèdre, problème

vraisemblablement difficile et source demélancolie. et au compas un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centreO: en partant d"un point Psur le cercle, il suffit simplement de reporter6fois avec un compas, le rayondist(O;P).P OPO En choisissant un sommet sur deux, il est facile de déduire d"un hexagone régulier un triangle équilatéral inscrit dans le même cercle.P O

Il est facile, aussi, de construire un carré inscrit dans un cercle.6. Dans l"Art littéraire, uneallégorieconsiste en une narration inventée, souvent accompagnée de des-

criptions métaphoriques dont les éléments sont cohérents, afin de représenter avec précision une idée générale

de la Pensée. "Le Roman de la Rose, longue allégorie de la conquête amoureuse».

Dans les Arts plastiques, l"allégorie consiste en une représentation d"entités abstraites par des êtres ani-

més, auxquels sont associés des attributs symboliques. "L"allégorie du Printemps, par Sandro Botticelli».

7. Jeune garçon nu représentant l"Amour, dans la peinture italienne.

3. Prologue sur les constructions à la règle et au compas et sur les problèmes impossibles 13

Bien que cela soit moins élémentaires, il existe plusieurs constructions à la règle et au compas d"unpentagonerégulier -5côtés tous de même longueur - inscrit dans un cercle, lesquelles seront présentées ultérieurement.

3,4,5,6côtés, on espère pouvoir faire de même pour un polygone à7côtés.C"est encore un problème que les Grecs n"ont pas su résoudre!