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[PDF] Fonction logarithme népérien

Théorème 1 Pour tous réels a et b stritement positifs : lnab = lna + lnb Démonstration lna 3 Etude de la fonction ln 3 1 Limites Théorème 2 lim x→+o lnx = +1

[PDF] Fonction logarithme népérien - Blog Ac Versailles

lna > lnb est équivalent à a > b 5 Nombre e On appelle e le nombre (unique) dont le logarithme vaut 1 (notation due à Euler) : ln(e) = 1 Valeur approchée : e  

[PDF] Chapitre 9 : Logarithme

Chapitre 9 : Logarithme 9 2 Propriétés algébriques Pour tous réels a et b de ]0; +∞[, ln(ab) = lna + lnb Démonstration Soit a et b deux réels strictement positifs,  

[PDF] cours ln

a + lnb = eln a × eln b = ab Sachant que si e x = y, alors x = ln y , on en déduit lna + lnb = ln(ab) Conséquence Pour tous réels a et b strictement positifs on a :

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1 nov 2011 · Conséquences Pour tous réels a et b strictement positifs : lna = lnb si et seulement si a = b lna > lnb si et seulement si a > b Puisque ln1 = 0 

[PDF] corrigé

3 a ≤ b ⇐⇒ lna ≤ lnb Le principe On utilise simplement les définitions Les démonstrations 1 La fonction f(x) = lnx est dérivable donc continue 2 f′(x) = 1

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Rewriting this using logs instead of exponents, we see that ln (a · b) = m + n = lna + lnb (vi) If, in (v), instead of multiplying we divide, that is a b

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lna − lnb and ln ( ab ) = b lna We can use the last property to show that lim x→ 0+ lnx = −∞ and lim x→∞ lnx = ∞ : We know that ln 2 > 0, so ln 2x = x ln2

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) = lna – lnb C2) ∀a ε ℝ* + ; ln ( a 1 ) 

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lna e lnb , donc que lna lnb d'après les propriétés de la fonction exponentielle La fonction logarithme népérien conserve l'ordre des nombres, elle est donc

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Démonstrations fonction logarithme népérien

1 Existence de la fonction logarithme népérien

A retenir

La fonction logarithme népérien est la fonction qui à t réel strictement positif , associe

x réel tels queex=t ln1 = 0

Le principe

On utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires avec la fonction exponentielle

La démonstration

Par étude de la fonction exponentielle , on obtient le tableau suivant : x f(x)

0+∞

Soit t un réel strictement positif , alors par le corollaire du théorème des valeurs intermé-

diaires , il existe un unique réel x tel queex=t. On pose alorsln(t) =x On sait quee0= 1donc par la construction précédente ,ln1 = 0

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien

A retenir

1. La fonctionf(x) =lnxest continue sur]0;+∞[

2. La fonctionf(x) =lnxest strictement croissante sur]0;+∞[

Le principe

On utilise simplement les définitions

Les démonstrations

1. La fonctionf(x) =lnxest dérivable donc continue .

2.f?(x) =1

x>0sur]0;+∞[donc f est croissante

3. Par définition d"une fonction strictement croissante .

1 Démonstrations fonction logarithme népérien

3 Formules de la fonction logarithme népérien

A retenir

1.ln(ab) =lna+lnb

2.ln?a

b? =lna-lnb

3.ln?1

b? =-lnb

4.ln⎷

a=12lna

5.ln(an) =nlnaavec n entier naturel non nul .

Le principe

On va utiliser les propriétés de la fonction exponentielle pour la première puis utiliser cette

formule pour démontrer les autres .

Les démonstrations

1. On pose :X=lnaetY=lnb. Alors :eX+Y=elna+lnb=elnaelnb=abEn utilisant le

fait que les fonctions sont réciproques :X+Y=ln(ab)??lna+lnb=ln(ab)

2.ln?a

b×b? =ln?ab? +lnb??lna=ln?ab? +lnb??ln?ab? =lna-lnb

3.ln?1

b? =ln1-lnb= 0-lnb=-lnb

4.ln(⎷

a⎷a) =ln⎷a+ln⎷apar la première formule ??lna= 2ln⎷ a

5. Par récurrence : l"initialisation est immédiate pour n = 1.

Hérédité :On suppose que pour un n donné ,ln(an) =nlna, alorsln(an+1) = ln(ana) =ln(an) +lna=nlna+lna= (n+ 1)lna 2 Démonstrations fonction logarithme népérien

4 Limites de la fonction logarithme népérien

A retenir

1.limx→+∞lnx= +∞

2.limx→0lnx=-∞

3.limx→0ln(x+ 1)

x= 1

Le principe

On utilise les formules de limites de la fonction exponentielle pour la première puis on en déduit la deuxième . La troisième découle du nombre dérivé .

Les démonstrations

1.limx→+∞elnx= limx→+∞x= +∞ ??limx→+∞lnx= +∞

carlimt→+∞et= +∞ ??limt→+∞t= +∞

2.limx→+∞lnx= +∞donclimx→+∞-lnx=-∞ ??limx→+∞ln?1

x? =-∞.Orlimx→+∞1x=0 donclimx→0lnx=-∞

3. On posef(x) =ln(x+ 1)alorsf?(x) =1

x+ 1et par la définition du nombre dérivé : lim x→0f(x)-f(0) x-0=f?(0)??limx→0ln(x+ 1)-0x-0=10 + 1??limx→0ln(x+ 1)x= 1 3quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22