DS 1-3 : suites (durée 90mn) Exercice 1 D'apr`es BAC ES 2013 sujet métropole MATHS-LYCEE terminale ES Correction compl`ete sur MATHS- LYCEE
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to u reactiers dont quartitatives (K'>> 104 d'ap es questions II A2 e IIA) o Certains acidetés sat litries simultanément to 2 acidités de l'acide fumarique sont
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Année 2012-2013 la probabilité qu'une lentille présente un défaut pour le traitement T1 est P(A)=0, 10 ; Sachant que pour un individu ω, le test a réagi, donner les probabitités : Correction 2 T : “événement mesuré plus de 1, 80m”
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MATHS-LYCEE
{Devoir 1-3 : suitesMATHS-LYCEE {Devoir 1-3 : suitesTES-Devoir Chapitre 1:suitesDS 1-3 : suites(duree 90mn)Exercice 1(10 points )D'apres BAC ES 2013 sujet metropole
Un industriel etudie l'evolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise.
En 2000, lorsqu'il l'a achetee, elle pouvait produire 120 000 jouets par an. Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2% par an. On modelise le nombre total de jouets fabriques au cours de l'annee (2000 +n) par une suite (Un). On a doncU0= 120000.1.Montrer que, pour tout entier natureln:Un= 1200000;98n.
*Solution: Chaque annee on applique une baisse de 2% donc on applique le coecient multiplicateur 12100= 0;98 On a doncUn+1= 0;98Undonc (Un) est une suite geometrique de premier termeU0= 120000 et de raisonq= 0;98doncUn=U0qn= 1200000;98n2.a)Quel a etele nom brede jouets fab riquesen 2005 ? *Solution:
2005 = 2000 + 5 donc on prendn= 5.
U5= 1200000;985108470En 2005, l'entreprise fabriquera 108470 jouets.
Chapitre 1:suites Page 1/6MATHS-LYCEE terminale ESMATHS-LYCEE
{Devoir 1-3 : suitesMATHS-LYCEE{Devoir 1-3 : suitesTES-Devoir Chapitre 1:suitesb)D eterminer apartir de quelle ann ee,le nom brede jouets fabr iquessera strictemen tinf erieur a100000.
*Solution: u n100000()1200000;98n100000 ()0;98n100000120000 ()0;98n1012 ()0;98n56 Avec le MENU TABLE en saisissant Y1= 0;98Xon a :Or 560;83333 et 0;9890;8337 et 0;98100;817
donc a partir de l'indicen= 10, on aU10<100000. Avec le MENU RECUR (suites) de la calculatrice, on peut aussi acher directement les valeurs des termes de la suite. MENU RECUR puis selectionner TYPEan.Chapitre 1:suites Page 2/6MATHS-LYCEE terminale ESMATHS-LYCEE
{Devoir 1-3 : suitesMATHS-LYCEE{Devoir 1-3 : suitesTES-Devoir Chapitre 1:suitesOn a alorsU9100049 etU1098048.On a doncUn100000 pourn10 soit a partir de 2005 + 10 = 2015.Remarque
Si le chapitre sur le logarithme a ete traite, on peut resoudre l'inequation 0;98n560;98n56
()ln(0;98n)ln56 ()nln(0;98)ln56 ()nln56 ln(0;98)L'inegalite change de sens carln(0;98)<0 On a ln56 ln(0;98)9;02 etnest un entier naturel doncn10 c) Cet industriel d ecidequ'il c hangerala mac hinelorsqu' ellepro duiramoins de 90 000 jouets par an. Recopier et completer les lignes 8 et 9 de l'algorithme ci-dessous an qu'il permette de determiner le plus petit entier naturelntel queUn<90000.*Solution: naugmente de 1 a chaque passage dans la boucle et on calcule le terme suivant de la suite. Aprend donc successivement les valeursU1,U2...Chapitre 1:suites Page 3/6MATHS-LYCEE terminale ESMATHS-LYCEE
{Devoir 1-3 : suitesMATHS-LYCEE{Devoir 1-3 : suitesTES-Devoir Chapitre 1:suites3.a)Exprimer 1 + 0 ;98 + 0;982++ 0;98nen fonction den.
*Solution: Si (vn) est la suite geometrique de premier termev0= 1 et de raisonq= 0;98 on a alorsvn=v0qn= 0;98n1 + 0;98 + 0;982++ 0;98n=v0+v1+v2++vn=10;98n+110;98=10;98n+10;2dans la sommev0+v1+v2++vn, il y an+ 1 termes.1 + 0;98 + 0;982++ 0;98n=10;98n+10;2b)On p oseSn=U0+U1+U2++Un.
Montrer queSn= 600000010;98n+1.
*Solution: S n=U0+U1+U2++Un = 120000 + 1200000;98 + 1200000;982++ 1200000;98n = 120000(1 + 0;98 + 0;982++ 0;98n) = 12000010;98n+10;2
1200000;2(10;98n+1)
= 6000000(10;98n+1)S n= 6000000(10;98n+1)Chapitre 1:suites Page 4/6MATHS-LYCEE terminale ESMATHS-LYCEE
{Devoir 1-3 : suitesMATHS-LYCEE{Devoir 1-3 : suitesTES-Devoir Chapitre 1:suitesc)En d eduirel enom bretotal de jouets fabriqu esp endantles 15 premi eresann eesde pro duction.
*Solution: S15= 6000000(10;9815+1) = 6000000(10;9816)8289609Au total, il y aura 8 289 609 jouets fabriques en 15 annees.
Exercice 2(10 points )
Le responsable du foyer des jeunes d'un village a decide d'organiser une brocante annuelle. Pour la premiere brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.D'apres les renseignements pris aupres d'autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d'une
annee sur l'autre, 90% des exposants se reinscriront et que 30 nouvelles demandes seront deposees. On designe parunle nombre d'exposants en (2012 +n) avecnun entier naturel. Ainsiu0est le nombre d'exposants en 2012, soitu0= 110.1.Quel est le nombre d'exposants attendu pour 2013?
*Solution: Correction complete surMATHS-LYCEE.FRclasse de terminale ES2.Justier que, pour tout entier natureln:un+1= 0;9un+ 30.
3.Vu la conguration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d'exposants ne peut pas
exceder 220.Recopier et completer l'algorithme propose ci-dessous an qu'il permette de determiner l'annee a partir
de laquelle l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription.4.Pour tout entier natureln, on posevn=un300.
a)D emontrerqu ela suite ( vn) est une suite geometrique de raison 0;9.Chapitre 1:suites Page 5/6MATHS-LYCEE terminale ES
MATHS-LYCEE
{Devoir 1-3 : suitesMATHS-LYCEE{Devoir 1-3 : suitesTES-Devoir Chapitre 1:suitesb)D eterminerle r esultatrec herchepar l'algorithme de la question 3 en r esolvantune in equation.